التناسب الطردي والمقلوب

النسبة الذهبية في الوصفات

• وصفة فطائر لـ 4 أشخاص تحتاج 200 غرام دقيق. كم لـ 10 أشخاص؟ $200 \div 4 = 50$ غرام لكل شخص، $50 \times 10 = 500$ غرام.
• هذا تناسب طردي: مضاعفة عدد الأشخاص تضاعف الدقيق. تبقى النسبة كما هي.

التناسب المباشر

• $y \propto x$ تعني $y = kx$ لمقدار ثابت $k$ (ثابت التناسب).
• إذا تضاعفت $y$، تتضاعف $x$ أيضاً — يتصعدان معاً.
• أوجد $k$ من زوج معروف، ثم استخدمه.

التناسب العكسي

• $y \propto \dfrac{1}{x}$ يعني $y = \dfrac{k}{x}$ — كلما ارتفع أحدهما، انخفض الآخر.
• عمال أكثر → وقت أقل. سرعة أكبر → وقت رحلة أقل.

التناسب مع القوى والجذور

• يمكن أن يكون التناسب مع مربع، مكعب، أو جذر تربيعي:
• $y \propto x^2$: $y = kx^2$. إذا تضاعف $x$، يتربّع $y$.
• $y \propto \sqrt{x}$: $y = k\sqrt{x}$.

التناسب الطردي هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. التناسب غير الخطي (مع مربع، مكعب، أو جذر) ينحني بعيدًا.

مثال محلول

• $y \propto x^2$، و $y = 50$ عندما $x = 5$. أوجد $y$ عندما $x = 8$.
• $50 = k(5^2) = 25k \Rightarrow k = 2$.
• $y = 2(8^2) = 2(64) = 128$.

عملية حسابية عكسية

• ستة عمال منتجين بالتساوي يأخذون 10 أيامًا. مع ثبوت العمل، $t=k/w$، إذن $k=tw=10(6)=60$ يوم-عامل.
• عشرة عمال يأخذون $t=60/10=6$ أيامًا، بافتراض إنتاجية متساوية. لا تستخدم التناسب المباشر: زيادة العمال يجب أن تقلل الوقت.

لقد فهمت الأمر