أساسيات الجبر والتعامل معه
| English | العربية |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | الجبر |
| variable/ˈveərɪəbl/ | حدث |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | استبدال |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | الحدود المتشابهة |
| expanding/ekˈspændɪŋ/ | متوسعة |
| factorising/ˈfæktəraɪzɪŋ/ | تحليل إلى عوامل |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | فرق مربعين |
لغة المجهول
- الخوارزمي، رياضياتي فارسي من القرن 9، كتب أول كتاب عن "الجبر" — الاستعادة والتوازن. ومن هنا جاءت كلمة "جبر".
- استخدم كلمات بدلاً من الأحرف. نستخدم الأحرف لأنها أسرع — ولأن حرفاً واحداً يمكن أن يمثل أي عدد.
طريقة التعامل مع الجبر
اتبع عمل التعبير بدءاً من تجميع الحدود إلى الحل.
المتغيرات والتعويض
- المتغير هو حرف يمثل رقماً. قيمته يمكن أن تتغير.
- التعويض يعني استبدال حرف برقم محدد.
- مثال: $3x^2 - 2y$ عند $x = 4$، $y = 5$: $\;3(4)^2 - 2(5) = 48 - 10 = 38$.
تربيع أولاً، ثم ضرب. $3x^2$ عند $x = 4$ هو $3 \times 16 = 48$، وليس $(3 \times 4)^2 = 144$. الأسس تطبق فقط على الحرف الذي يسبقها مباشرة.
تجميع الحدود المتشابهة: إضافة الحدود ذات الحرف نفسه
أوجد قيمة ⟦3x² − 2y⟧ عندما ⟦x = 4⟧ و⟦y = 5⟧.
3 × 4² − 2 × 5 = 3 × 16 − 10 = 48 − 10 = 38.
تجميع الحدود المتشابهة
- الحدود المتشابهة لها نفس الحرف(الحروف) مرفوعة لنفس الأس(الأسس).
- $2a^2 + 5a^2 = 7a^2$ (نفس الحرف، نفس الأس — اجمعها).
- $3x + 2y$ لا يمكن تبسيطه — أحرف مختلفة.
بسط ⟦2a² + 5a² + 3a − a⟧. ما هو معامل a²؟
2a² + 5a² = 7a²؛ 3a − a = 2a. معامل a² هو 7.
فك الأقواس
- قوس مفرد: $3(2x + 5) = 6x + 15$.
- الأقواس المزدوجة (FOIL): $(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
فحص سريع. $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$. الحد الثابت هو $3 \times 5 = 15$.
فك الأقواس (⟦2x + 1⟧)(⟦x − 4⟧) = ⟦2x² + bx + c⟧. ما هو الحد الثابت c؟
(⟦2x+1⟧)(⟦x−4⟧) = 2x² − 8x + x − 4⟧ = ⟦2x² − 7x − 4⟧، إذن c = ⟦−4⟧.
(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15.
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. ✓
التحليل
- التحليل إلى العوامل هو عكس فك الأقواس — اكتبه كحاصل ضرب.
- العامل المشترك: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$.
- تحليل تربيعي ممتد: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.
- فرق مربعين ممتد: $9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)$.
تحليل فرق المربعين ($a^2 - b^2$) يشبه مقارنة مساحتي مربعين.
حلل الفرق بين مربعين ⟦9x² − 16⟧.
a² − b² = (a+b)(a−b)، حيث a = 3x، b = 4.
صل كل تعبير بتحليله المقابل.
x²+7x+10: عوامل ⟨10⟩ التي مجموعها ⟨7⟩ هي ⟨2⟩ و⟨5⟩. x²−9 = x²−3². 6x+9: العامل المشترك الأكبر هو ⟨3⟩. x²+4x+4 مربع كامل.
لقد فهمت الأمر
- التعويض بأرقام بدلاً من الحروف؛ تجميع الحدود المتشابهة
- فك الأقواس = ضربها خارج القوس؛ التحليل إلى عوامل = كتابتها كحاصل ضرب
- (متوسع) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — فرق المربعين