رسوم بيانية للدوال ورسم المنحنيات
| English | العربية |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | دالة |
| parabola/pəˈræbələ/ | قطع مكافئ |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | مقلوبه |
| roots/ruːts/ | الجذور |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | التقاطع |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | المقاربات |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | نقطة الانعكاس |
شكل الدالة
- لكل دالة signature shape (شكل مميز)، مثل بصمة الإصبع. الدالة الخطية هي خط مستقيم؛ التربيعية هي قطع مكافئ؛ المقلوبة لها فرعان لا يلمسان المحاور أبدًا.
- التعرف على الشكل يسمح لك برسم بياني في ثوانٍ — دون تعيين عشرات النقاط.
رسم وقراءة الرسوم البيانية
- قم بعمل جدول قيم: اختر قيم $x$، احسب قيم $y$، حدد إحداثيات النقاط، وصِل بينها بمنحنى أملس.
- الجذور هي حيث يعبر الرسم المحور $x$ (حلول $y = 0$).
- التقاطع بين رسمين يحل المعادلتين معًا.
كابل جسر معلق يتدلى بشكل قطع مكافئ، وهو منحنى تربيعي
رسم المنحنيات
y = ax³ + bx² + cx + d
رسم منحنى من خلال نقاط الانعطاف وحيث يقاطع المحاور.
جذور الرسم البياني هي حيث:
الجذور هي قيم x التي يكون فيها y = 0 — حيث يلتقي المنحنى لمحور x.
ثلاث عائلات من المنحنيات
ثلاث عائلات يجب على كل رياضياتي التعرف عليها: خط، قطع مكافئ، مقلوبة.
| الدالة | الشكل | ملامح رئيسية |
|---|---|---|
| $y = mx + c$ | خط مستقيم | ميل $m$، تقاطع $c$ |
| $y = ax^2 + bx + c$ | قطع مكافئ | U إذا $a > 0$، ∩ إذا $a < 0$ |
| $y = \dfrac{a}{x}$ | مقلوبة | فرعان، مقاربات عند المحاور |
اتجاه القطع المكافئ. $y = x^2 - 4$ يفتح لأعلى (شكل U) لأن معامل $x^2$ موجب. $y = -x^2 + 4$ يفتح لأسفل (شكل ∩).
الرسم البياني لـ y = ax² + bx + c (مع a > 0) هو:
a الموجب يعطي قطعاً مكافئاً على شكل U؛ a السالب يعطي شكل ∩.
الرسم البياني لـ y = −x² + 4 يفتح للأعلى.
معامل x² سالب (−1)، لذا القطع المكافئ يفتح للأسفل (شكل ∩).
الرسم البياني لـ y = a/x له فرعان لا يلمسان المحور أبداً. هذه الخطوط تسمى ______.
المقاربات هي خطوط تقترب منها المنحنى لكنها لا تلمسها أبداً. بالنسبة لـ y = a/x، المحاور تمثل مقاربات.
نقاط التحول (متقدمة)
- القطع المكافئ له نقطة تحول واحدة (ذروة) — الحد الأدنى أو الأعلى.
- إكمال المربع يكشف عنها مباشرة:
- $y = (x + p)^2 + q$ لها نقطة تحول عند $(-p,\; q)$.
- مثال: $y = (x + 3)^2 - 8$ → نقطة تحول $(-3, -8)$.
تغير الإشارات. في $(x + 3)^2 - 8$، نقطة الانعطال هي $(-3, -8)$ — إحداثي $x$ له إشارة معاكسة لما بداخل القوس.
بإكمال المربع، $y=(x+3)^2-8$، تظهر نقطة الانعطال $(-3,-8)$ وخط التناظر $x=-3$
الأشكال الخمسة الأساسية للرسوم البيانية؛ معرفة كل شكل lets you sketch quickly from the equation
المنحنى y = (x + 3)² − 8 لديه نقطة انعطاف عند (−3, q). ما قيمة q؟
الشكل المكتمل (x+p)² + q لديه نقطة انعطاف (−p, q)، لذا q = −8.
استخدام الرسوم البيانية لحل المعادلات
- حيث يتقاطع خط ومنحنى، تتحقق كلا المعادلتين.
- حل $x^2 - 4 = 2x + 1$ بيانياً: ارسم $y = x^2 - 4$ و$y = 2x + 1$، اقرأ قيم التقاطع $x$.
الخط y = x + 2 يقطع المنحنى y = x² في نقطتين. إحداهما لها قيمة x = 2. ما هي قيمة x الأخرى؟
x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 أو x = −1.
حل سؤال الرسم البياني بالكامل
- بالنسبة لـ $y=x^2-2$، احسب $y=2,-1,-2,-1,2$ عند $x=-2,-1,0,1,2$ ورسم منحنى ناعم متماثل. ارسم $y=2$ بمسطرة؛ نقاط التقاطع تعطي الحلول $x=-2,2$ إلى $x^2-2=2$.
- بالنسبة لـ $y=6/x$، استخدم مدخلات موجبة وسالبة، لكن لا تستخدم أبداً $x=0$. النقاط $(2,3),(3,2),(-2,-3),(-3,-2)$ تقع على فروع منفصلة. يتطلب رسم المربعات الأساسية الجذرين والتماثل، وليس إحداثيات نقطة الانعطاف.
ما هو الحل الموجب عند تقاطع y = x² − 2 مع y = 2؟
التقاطع على اليمين هو (2,2)، لذا x = 2.
رسومات التكعيبية الممتدة والدوال الأسية
- بالنسبة لـ $y=x^3-1$، الجدول الصحيح لـ $x=-2,-1,0,1,2$ هو $-9,-2,-1,0,7$. ارسم منحنى S ناعمًا متزايدًا؛ الجذر هو 1 والتقاطع مع محور $y$ هو $-1$.
- بالنسبة لـ $y=2^x+1$، الجدول عند $x=-1,0,1,2,3$ هو $1.5,2,3,5,9$. يقترب المنحنى من المقارب الأفقي $y=1$ جهة اليسار ويرتفع جهة اليمين؛ ولا يلمس المقارب.
لـ y = 2ˣ + 1، أوجد قيمة y عند x = 3.
2³ + 1 = 9.
مقلوبات ومقويات كسرية مزاحة (ممتدة)
- لـ $y=2/x+3$ يوجد مقارب رأسي $x=0$ ومقارب أفقي $y=3$. أزح كلا فرعي $2/x$ لأعلى بمقدار 3؛ لا تصل بينهما عبر الصفر.
- بالنسبة لـ $y=\sqrt{x}$ استخدم $x\ge0$ والنقاط $(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)$. بالنسبة لـ $y=1/\sqrt{x}$ استخدم $x>0$ والنقاط $(1,1),(4,1/2),(9,1/3)$. بالنسبة لـ $y=1/x^2$، تعطي المدخلات الموجبة والسالبة مخرجات موجبة، مع تماثل حول محور $y$.
لـ y = 2/x + 3، أعطِ قيمة y عند المقارب الأفقي.
يقترب حد 2/x من 0 كلما كبرت |x|، لذا المقارب الأفقي هو y = 3.
لقد فهمت الأمر
- الجذور $=$ حيث يعبر المنحنى المحور $x$؛ التقاطع يحل معادلتين
- الدالة التربيعية هي قطع مكافئ (U إذا كان $a > 0$، ∩ إذا كان $a < 0$)
- نقطة الانعطال لـ $(x+p)^2 + q$ هي $(-p,\; q)$
- منحنيات مقلوب لها مقاربات لا تلمسها أبداً