الأسس في الجبر

برج القوى

• كم مرة يمكنك مضاعبة حبة أرز قبل أن تمتلئ غرفة؟ حوالي 40 مضاعفة — هذا يعني $2^{40} \approx 10^{12}$ حبة.
• قوانين الأسس تسمح لك بإخضاع هذه الأرقام الهائلة، والتعامل مع الأسس بدلاً من حساب القيم.

القواعد الأساسية الثلاث

• الضرب أسس ذات أساس متماثل → اجمع الأسس: $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$.
• القسمة أسس ذات أساس متماثل → اطرح الأسس: $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$.
• أس لأس → اضرب الأسس: $\;(a^m)^n = a^{mn}$.

التعامل مع المعاملات

• افصل الجزء الرقمي عن الجزء الحرفي، بسّط كل جزء، ثم أعد دمجهما.
• $12a^5 \div 3a^{-2}$: الأرقام $12 \div 3 = 4$؛ الحروف $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$. الإجابة: $4a^7$.
• $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.

معادلات الأسس

• اكتب كلا الطرفين بأساس متماثل، ثم مساوِ الأسس.
• حل $2^x = 32$: بما أن $32 = 2^5$، نحصل على $x = 5$.
• حل $3^{2x} = 81$: بما أن $81 = 3^4$، $2x = 4$، إذن $x = 2$.

حيث تظهر قوانين الأسس

• الكتابة العلمية تعتمد على $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$.
• الفائدة المركبة تستخدم $(1+r)^n$ — أس لمضاعف حقيقي في العالم الواقعي.
• علوم الحاسب: أحجام الذاكرة هي قوى العدد 2 (KB $= 2^{10}$، MB $= 2^{20}$، GB $= 2^{30}$).

الأسس والجذور معكوسان: مساحة المربع هي $s^2$، وطول ضلعه هو $\sqrt{\text{area}}$.

لقد فهمت الأمر