المتتاليات
| English | العربية |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | تسلسل |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | القاعدة من حد إلى آخر |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | الفرق المشترك |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | الحد النوني |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | متتالية تربيعية |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | متتالية هندسية |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
التنبؤ بالمستقبل
- دوار الشمس يضيف حلقة من البتلات تتبع نمط فيبوناتشي: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، …
- المتتاليات هي أنماط في الأرقام. بمجرد معرفة القاعدة، يمكنك التنبؤ بأي حد — حتى المليون.
قاعدة الحد إلى الحد
- أبسط المتتاليات تضيف (أو تطرح) مقداراً ثابتاً في كل مرة: $2, 5, 8, 11, \dots$ ترتفع بمقدار $3$.
- هذه هي قاعدة الحد إلى الحد (الـ فرق المشترك).
*بروكلي رومانيسكو: دوامات ذاتية التشابه تشكل نمطاً عددياً طبيعياً
المتتاليات
uₙ = a + (n − 1)d
المتتالية الحسابية تضيف نفس الخطوة في كل مرة؛ المجموع ينمو بانتظام.
الحد النوني (قاعدة الموقع إلى الحد)
- للمتتالية الخطية (فرق ثابت $d$)، الحد النوني هو $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: الفرق $d = 3$، الحد الأول $= 2$، إذن $3n - 1$.
- تحقق: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓؛ $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
إيجاد c. تبدأ المتتالية عند $2$ عندما $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. إذن الحد النوني هو $3n - 1$.
الحد النوني لـ 2، 5، 8، 11، … هو 3n − 1. ما هو الحد 10؟
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
بالنسبة لمتتالية خطية تتزايد بمقدار 3 في كل مرة، يحتوي الحد النوني على:
فرق ثابت قدره 3 يعني أن الحد النوني هو 3n مضبوطاً بثابت.
الحد النوني لـ 4, 7, 10, 13, … هو 3n + ______.
3(1) + c = 4 → c = 1. الحد النوني هو 3n + 1.
متتاليات تربيعية بسيطة
- عندما تتغير الفروق الأولى لكن الفروق الثانية ثابتة، فهي متتالية تربيعية.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: الفروق الأولى $3, 5, 7$؛ الفروق الثانية $2, 2$.
- معامل $n^2$ هو نصف الفرق الثاني: $\dfrac{2}{2} = 1$، إذن حد $n^2$ هو $n^2$.
- اضبط: $n^2 + 1$ يعطي $2, 5, 10, 17$. ✓
خطوط الأعداد تُظهر أنماطاً أيضاً: في المتتالية التربيعية، تتزايد الفجوات بين الحدود بانتظام.
نصف الفرق الثاني. معامل $n^2$ هو $\dfrac{\text{second difference}}{2}$، ليس الفرق الثاني نفسه. بالنسبة لـ $2, 5, 10, 17$، الفرق الثاني هو $2$، مما يعطي $n^2$ (وليس $2n^2$).
الحد النوني لـ 2، 5، 10، 17، … هو n² + 1. ما هو الحد 5؟
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
في المتتالية التربيعية، الفروق الثانية ثابتة.
الفروق الأولى تتغير بانتظام، لكن الفروق الثانية (فروق الفروق) ثابتة.
المتتاليات الهندسية
- كل حد يُضرب في نسبة ثابتة: $3, 6, 12, 24, \dots$ (اضرب في 2 في كل مرة).
- الحد النوني هو $a \times r^{n-1}$، حيث $a$ هو الحد الأول و$r$ هو النسبة المشتركة.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
الحد n لـ 3، 6، 12، 24، … هو 3 × 2^(n−1). ما هو الحد 6؟
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
أوجد الحد الخامس لـ uₙ = n³ + 2.
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
مكعبات وفحص حد-الرقم
- المحتوى الأساسي يشمل متتاليات مكعبة بسيطة. $3,10,29,66$ هي 2 أكثر من $1^3,2^3,3^3,4^3$، إذن $u_n=n^3+2$. الحد الخامس هو $u_5=125+2=127$.
- بالنسبة لـ $u_n=4n+3$، اختبار ما إذا كان 100 حدًا يعطي $4n+3=100$، إذن $n=24.25$. يجب أن يكون رقم الحد عددًا صحيحًا موجبًا، لذا 100 ليس في هذه المتتالية.
لقد فهمت الأمر
- متتالية خطية: الحد النوني $= dn + c$ (فرق ثابت $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- تربيعي بسيط: الفرق الثاني $= 2 \times$ معامل $n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- هندسية: الحد النوني $= a \times r^{n-1}$ (نسبة ثابتة $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$