Suites et séries infinies

AP Calcul BC · Sujet 10

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10.1

Définir les séries infinies convergentes et divergentes

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.1 La $n$e somme partielle est définie comme la somme des premiers $n$ termes d'une série. SEULEMENT BC
LIM-7.A.2 Une série infinie de nombres converge vers un nombre réel $S$ (ou a pour somme $S$), si et seulement si la limite de sa suite de sommes partielles existe et est égale à $S$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Poupées matryoshka emboîtées : une série infinie ajoute continuellement des termes – certaines convergent, d'autres divergent

Une série infinie 无穷级数 additionne infinité de termes, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Sa valeur est définie comme la limite des sommes partielles 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ approche un nombre fini $L$, la série converge 收敛 vers $L$ ; sinon elle diverge 发散. Chaque question de convergence est en réalité une question sur la limite des sommes partielles.

Les sommes partielles d'une série géométrique convergente montent vers a sur un moins r — Pour la série géométrique avec $a=1,\ r=\tfrac12$, les sommes partielles $S_1,S_2,S_3,\dots$ montent vers la limite $\dfrac{a}{1-r}=2$ – cette limite est la valeur de la série.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	无穷级数	wú qióng jí shù
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	部分和	bù fèn hé
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	几何级数	jǐ hé jí shù
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	积分判别法	jī fēn pàn bié fǎ
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	调和级数	tiáo hé jí shù
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	直接比较	zhí jiē bǐ jiào
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	极限比较	jí xiàn bǐ jiào
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	交错级数	jiāo cuò jí shù
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	比值判别法	bǐ zhí pàn bié fǎ
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	绝对收敛	jué duì shōu liǎn
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	条件收敛	tiáo jiàn shōu liǎn

10.2

Travailler avec les séries géométriques

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.3 Une série géométrique est une série présentant un rapport constant entre les termes successifs. SEULEMENT BC
LIM-7.A.4 Oui $a$ est un nombre réel et $r$ est un nombre réel tel que $|r| < 1$, alors la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Séries géométriques & convergence

Une série géométrique 几何级数 $\sum ar^{n}$ a un rapport constante $r$ entre les termes. Elle converge exactement lorsque $|r|<1$, et alors

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

C'est la seule série dont on peut trouver la somme exactement, et elle sous-tend les séries entières plus tard dans l'unité.

Exemple résolu. Sommez $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Ici $a=3$ et $r=\tfrac12$ (avec $|r|<1$), donc la somme est $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Une suite géométrique multiplie par le même rapport à chaque étape

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Quand une série géométrique converge

Une série géométrique $\sum ar^n$ ne converge que lorsque $|r|<1$, avec une somme égale à $\frac{a}{1-r}$. Modifiez le rapport et observez les sommes partielles se stabiliser ou exploser.

10.3

Le test du n-ième terme pour la divergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.5 Le test du $n$-ième terme est un test de divergence d'une série. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si les termes ne diminuent pas vers zéro, la somme ne peut pas se stabiliser : si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, la série diverge. Ce n'est qu'un test de divergence – si les termes allent bien vers zéro, le test est concluant (la série peut encore diverger, comme la série harmonique). Vérifiez toujours ce test rapide en premier.

10.4

Test intégral de convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.6 Le critère intégral est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Oui $a_n=f(n)$ pour une fonction positive, décroissante et continue $f$, alors $\sum a_n$ et $\int_1^\infty f(x)\,dx$ convergent ou divergent tous deux. Le test intégral 积分判别法 transforme une question sur les séries en une question sur une intégrale impropre, et c'est ce qui prouve la règle des séries p ci-dessous.

10.5

Série harmonique et séries p

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.7 Outre les séries géométriques, on trouve couramment la série harmonique, la série harmonique alternée et les séries $p$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ et diverge si $p\le1$. Le cas particulier $p=1$, $\sum\dfrac1n$ est la série harmonique 调和级数 – elle diverge bien que ses termes tendent vers zéro (une fameuse information à connaître par cœur). La famille des séries p sert d'étalon standard pour les tests de comparaison.

10.6

Tests de comparaison pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.8 Le critère de comparaison est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC
LIM-7.A.9 Le critère de comparaison par limite est une méthode permettant de déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Comparez une série inconnue à une série connue (une série p ou une série géométrique) :

Comparaison directe 直接比较 : si $0\le a_n\le b_n$ et $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge aussi ; si $a_n\ge b_n\ge0$ et $\sum b_n$ diverge, alors $\sum a_n$ diverge aussi.
Comparaison par limite 极限比较 : si $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ est un nombre fini positif, les deux séries ont le même comportement. C'est plus pratique lorsque les termes ressemblent simplement à ceux d'une série connue.

10.7

Test des séries alternées pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.10 Le critère des séries alternées est une méthode permettant de déterminer si une série alternée converge. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série alternée 交错级数 a des termes dont le signe change, $\sum(-1)^n b_n$. Elle converge si les $b_n$ sont positifs, décroissants et $\lim b_n=0$. Cela permet à des séries comme $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ de converger même si les mêmes termes sans les signes (la série harmonique) divergent.

10.8

Test du rapport pour la convergence

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.11 Le critère du quotient est une méthode permettant de déterminer si une série de nombres converge ou diverge. SEULEMENT BC
- Énoncé d'exclusion : Le test du n-ième terme pour la divergence, le critère intégral, le critère de comparaison, le critère de comparaison par limite, le critère des séries alternées et le critère du quotient pour la convergence sont évalués à l'examen AP Calculus BC. D'autres méthodes ne font pas l'objet d'évaluation à l'examen. Cependant, les enseignants peuvent inclure des méthodes supplémentaires dans le cours, selon les disponibilités.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le test du rapport 比值判别法 examine $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ :

$L<1$ : la série converge absolument ;
$L>1$ : elle diverge ;
$L=1$ : non concluant.

C'est le test de choix pour les séries contenant des factorielles ou des $n$ puissances, et c'est exactement ainsi qu'on trouve le rayon de convergence d'une série entière.

Exemple résolu. Tester $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Le rapport est $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, donc la série converge.

10.9

Déterminer la convergence absolue ou conditionnelle

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.A : Déterminer si une série converge ou diverge. SEULEMENT BC

LIM-7.A.12 Une série peut être absolument convergente, conditionnellement convergente ou divergente. SEULEMENT BC
LIM-7.A.13 Si une série converge absolument, alors elle converge. SEULEMENT BC
LIM-7.A.14 Si une série converge absolument, alors toute série obtenue à partir d'elle par regroupement ou réarrangement des termes a la même valeur. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série converge absolument 绝对收敛 si $\sum|a_n|$ converge. Elle converge conditionnellement 条件收敛 si $\sum a_n$ converge mais $\sum|a_n|$ diverge (l'exemple classique est $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). La convergence absolue est la propriété la plus forte ; la convergence conditionnelle repose sur l'annulation mutuelle des signes.

10.10

Bornes d'erreur des séries alternées

Programme

Compréhension durable (LIM-7) : L'application des limites peut nous permettre de déterminer la somme finie de termes infinis.

Objectif d'apprentissage LIM-7.B : Approximer la somme d'une série. SEULEMENT BC

LIM-7.B.1 Si une série alternée converge selon le critère des séries alternées, alors la borne d'erreur de la série alternée peut être utilisée pour borner l'écart entre une somme partielle et la valeur de la série infinie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une série alternée convergente, l'erreur commise en s'arrêtant à la $N$e somme partielle est inférieure ou égale au premier terme omis :

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Cette borne simple et puissante vous permet de déterminer combien de termes garantissent une précision souhaitée.

10.11

Trouver des approximations par polynômes de Taylor

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.A : Représenter une fonction en un point sous la forme d'un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.A.1 Le coefficient du terme de degré $n$ dans un polynôme de Taylor pour une fonction $f$ centré en $x = a$ est $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. SEULEMENT BC
LIM-8.A.2 Dans de nombreux cas, lorsque le degré d'un polynôme de Taylor augmente, le polynôme de degré $n$ tendra vers la fonction originale sur un certain intervalle. SEULEMENT BC

Objectif d'apprentissage LIM-8.B : Approximer des valeurs de fonction à l'aide d'un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.B.1 Les polynômes de Taylor pour une fonction $f$ centrée en $x = a$ peuvent être utilisés pour approximer des valeurs de fonction de $f$ proches de $x = a$. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Approximation par série de Taylor

Un polynôme de Taylor 泰勒多项式 approche une fonction près d'un centre $x=a$ en utilisant ses dérivées là-bas :

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Chaque terme ajouté correspond à une dérivée supplémentaire, donc le polynôme épouse la courbe plus étroitement près de $a$. Centré sur $a=0$, c'est un polynôme de Maclaurin.

Les polynômes de Taylor de sin x épousent la courbe de plus en plus étroitement à mesure que le degré augmente — Les polynômes de Maclaurin de $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – correspondent chacun à une dérivée supplémentaire en $0$, donc chacun épouse $\sin x$ sur un intervalle plus large avant de s'en éloigner.

Compétence d'examen : savoir construire un polynôme de Taylor à partir d'un tableau de valeurs de dérivées et l'utiliser pour estimer une valeur de fonction.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	泰勒多项式	tài lēi duō xiàng shì
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	拉格朗日误差界	lā gé lǎng rì wù chā jiè
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	幂级数	mì jí shù
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛半径	shōu liǎn bàn jìng
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	收敛区间	shōu liǎn qū jiān

10.12

Borne d'erreur de Lagrange

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.C : Déterminer la borne d'erreur associée à une approximation par un polynôme de Taylor. SEULEMENT BC

LIM-8.C.1 La borne d'erreur de Lagrange peut être utilisée pour déterminer un intervalle maximum pour l'erreur d'une approximation par un polynôme de Taylor d'une fonction. SEULEMENT BC
LIM-8.C.2 Dans certaines situations, la borne d'erreur de la série alternée peut être utilisée pour borner l'erreur d'une approximation par un polynôme de Taylor de la valeur d'une fonction. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La borne d'erreur de Lagrange 拉格朗日误差界 encadre l'écart entre un polynôme de Taylor et la valeur vraie :

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Vous bornez la $(n+1)$e dérivée sur l'intervalle, puis calculez – c'est la méthode standard pour prouver qu'une estimation de Taylor est suffisamment précise.

10.13

Rayon et intervalle de convergence des séries entières

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.D : Déterminer le rayon de convergence et l'intervalle de convergence pour une série entière. SEULEMENT BC

LIM-8.D.1 Une série entière est une série de la forme $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, où $n$ est un entier non négatif, $\{a_n\}$ est une suite de nombres réels, et $r$ est un nombre réel. SEULEMENT BC
LIM-8.D.2 Si une série entière converge, elle converge soit en un seul point, soit possède un intervalle de convergence. SEULEMENT BC
LIM-8.D.3 Le test du rapport peut être utilisé pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière. SEULEMENT BC
LIM-8.D.4 Le rayon de convergence d'une série entière peut être utilisé pour identifier un intervalle ouvert sur lequel la série converge, mais il est nécessaire de tester les deux extrémités de l'intervalle pour déterminer l'intervalle de convergence. SEULEMENT BC
LIM-8.D.5 Si une série entière a un rayon de convergence positif, alors la série entière est la série de Taylor de la fonction vers laquelle elle converge sur l'intervalle ouvert. SEULEMENT BC
LIM-8.D.6 Le rayon de convergence d'une série entière obtenue par dérivation ou intégration terme à terme est le même que le rayon de convergence de la série entière originale. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une série entière 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converge pour $x$ dans un rayon de convergence 收敛半径 $R$ autour du centre $a$. Trouvez $R$ avec le test du rapport. Puis testez les deux bornes séparément (le test du rapport est non concluant là-bas) pour énoncer l'intervalle de convergence 收敛区间 complet – en incluant ou excluant chaque borne.

Exemple résolu. Trouver le rayon de convergence de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Le test du rapport donne $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, qui est $<1$ quand $|x|<1$, donc $R=1$. En testant les bornes, $x=-1$ donne la série harmonique alternée convergente et $x=1$ la série harmonique divergente, donc l'intervalle est $[-1,1)$.

10.14

Trouver les séries de Taylor ou de Maclaurin d'une fonction

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.E : Représenter une fonction sous la forme d'une série de Taylor ou d'une série de Maclaurin. SEULEMENT BC

LIM-8.E.1 Un polynôme de Taylor pour $f(x)$ est une somme partielle de la série de Taylor pour $f(x)$. SEULEMENT BC

Objectif d'apprentissage LIM-8.F : Interpréter les séries de Taylor et les séries de Maclaurin. SEULEMENT BC

LIM-8.F.1 La série de Maclaurin pour $\dfrac{1}{1-x}$ est une série géométrique. SEULEMENT BC
LIM-8.F.2 La série de Maclaurin pour $\sin x$, $\cos x$ et $e^x$ fournit les fondements pour construire la série de Maclaurin d'autres fonctions. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Étendre un polynôme de Taylor à un nombre infini de termes donne une série de Taylor (ou de Maclaurin). Mémorisez les séries de Maclaurin clés :

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

De nouvelles séries proviennent de la manipulation de celles-ci – substitution, dérivation, intégration ou multiplication.

Exemple résolu. Trouver la série de Maclaurin de $e^{x^2}$. Remplacez $x^2$ par $x$ dans $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$ :

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

ce qui converge pour tout $x$. Cette astuce de substitution est beaucoup plus rapide que de dériver $e^{x^2}$ six fois.

Chaque terme de Maclaurin supplémentaire épouse la fonction sur une plage plus large

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La fonction approchée par une série de Taylor

y = asin(bx + c) + d

Une série de Taylor construit une fonction à partir de ses dérivées en un point ; plus il y a de termes, plus elle épouse la courbe (ici $\sin x$) sur une plage plus large.

10.15

Représenter des fonctions sous forme de séries entières

Programme

Compréhension durable (LIM-8) : Les séries entières nous permettent de représenter des fonctions associées sur un intervalle approprié.

Objectif d'apprentissage LIM-8.G : Représenter une fonction donnée sous la forme d'une série entière. SEULEMENT BC

LIM-8.G.1 À l'aide d'une série connue, on peut déduire une série entière pour une fonction donnée par des opérations telles que la dérivation terme à terme ou l'intégration terme à terme, ainsi que par diverses méthodes (p. ex., des procédés algébriques, des substitutions ou l'utilisation de propriétés des séries géométriques). SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Puisqu'une série entière peut être dérivée et intégrée terme à terme (dans son rayon), on peut construire de nouvelles séries à partir de connues – par ex., intégrer la série géométrique de $\dfrac{1}{1-x}$ pour obtenir la série de $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substituer $-x^2$ pour obtenir la série de $\dfrac{1}{1+x^2}$. Représenter une fonction sous forme de série entière permet d'approximer des valeurs et des intégrales n'ayant pas de primitive élémentaire.

Compétence d'examen : la question ouverte sur les séries BC demande généralement de dériver une nouvelle série de Maclaurin à partir d'une connue, de trouver son intervalle de convergence, et d'utiliser la borne des séries alternées ou de Lagrange pour estimer l'erreur – les compétences finales du cours.

10.15

Conseils d'examen

Tester la convergence d'une série avec l'outil approprié : géométrique ($|r|<1$, somme $\tfrac{a}{1-r}$), test du $n$ terme, test du rapport, test intégral, test de comparaison ou test des séries alternées.
Une somme géométrique infinie ne converge que si $|r|<1$ ; sinon elle diverge.
Construire une série Taylor/Maclaurin pour approcher une fonction ; plus de termes donnent un meilleur ajustement près du centre.
Connaître les séries de Maclaurin standards pour $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\tfrac{1}{1-x}$.
Trouver le rayon/intervalle de convergence avec le test du rapport, puis vérifier les bornes séparément.

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