Suites et séries infinies

Une série infinie additionne une infinité de termes, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Sa valeur est définie comme la limite des sommes partielles $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ tend vers un nombre fini $L$, la série converge vers $L$ ; sinon elle diverge. Chaque question de convergence est en réalité une question sur la limite des sommes partielles.

Une série géométrique additionne des termes obtenus en multipliant par un rapport fixe $r$ :

Ici $a$ est le premier terme réel. Pour des termes non nuls, diviser un terme par le précédent donne $r$. La somme de ses premiers $N$ termes est

Pour dériver cela, soustraire $rS_N$ de $S_N$ ; les termes intermédiaires s'annulent. Lorsque $r=1$, on obtient $S_N=Na$. Un terme individuel n'est pas une somme partielle.

Pour $a\ne0$, la série infinie converge exactement lorsque $|r|<1$. Alors $r^N\to0$ et

La raison peut être négative ou irrationnelle ; c’est sa valeur absolue qui compte. Si $a=0$, chaque terme est nul pour toute valeur finie fixée de $r$, donc la somme vaut $0$. Des termes nuls ne permettent pas de déterminer une raison unique par division. Dans le cas $r=1$, traitez directement la série nulle plutôt que de calculer $0/0$.

Exemple résolu : somme finie versus somme infinie. Pour $3+3/2+3/4+\cdots$, $a=3$ et $r=1/2$. La somme infinie est $3/(1-1/2)=6$. La somme des quatre premiers termes est $3(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=5.625$, laissant encore $0.375$ à ajouter.

Exemple résolu : un rapport négatif. La série $4-2+1-1/2+\cdots$ a pour premier terme $r=-1/2$ et pour somme $4/(1+1/2)=8/3$. Ses sommes partielles $4,2,3,2.5,\ldots$ oscillent autour de cette limite. Des oscillations décroissantes peuvent converger. En revanche, avec un premier terme non nul et $r=-1$, les sommes partielles alternent entre $a$ et $0$ et n'ont pas de limite. À $r=1$, elles valent $Na$ ; pour $|r|>1$, les termes ne tendent pas vers zéro.

Exemple résolu : lire l'indice de départ. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot2^{-n}$, le premier terme est $3/2$, et non $3$. Le rapport est $1/2$, donc la somme est $3$. Pour $\sum_{n=2}^{\infty}12(-1/3)^n$, le premier terme est $4/3$ et le rapport est $-1/3$, ce qui donne une somme de $1$.

Une somme finie existe même lorsque la série infinie diverge. Pour $3+6+12+\cdots$, les trois premiers termes s'additionnent pour donner $21$, mais la série infinie n'a pas de somme finie. L'expression formelle $3/(1-2)=-3$ n'est pas une somme infinie ordinaire de ces termes positifs.

À vous. Pour $\sum_{k=3}^{\infty}16(1/2)^k$, trouvez le premier terme réel, la somme infinie, la somme des quatre premiers termes et le montant restant.

Réponse. Le premier terme est $2$ et le rapport est $1/2$. La somme infinie est $4$. Les quatre premiers termes sont $2,1,1/2,1/4$, dont la somme est $15/4=3.75$. Le reste est $1/4$.

Erreurs courantes. Utiliser $\dfrac{a}{1-r}$ alors qu'il faut utiliser $|r|\ge 1$ (la série diverge), et prendre $a$ depuis la formule au lieu de la série : $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^n$ commence par $\tfrac12$, donc sa somme est $\dfrac{1/2}{1-1/2}=1$, pas $2$.

Une série converge lorsque ses sommes partielles $S_n=a_1+\cdots+a_n$ tendent vers une limite finie $S$. Puisque $a_n=S_n-S_{n-1}$, la convergence implique $a_n\to S-S=0$. Par conséquent, si les termes ne tendent pas vers zéro, la série diverge. Cela inclut une limite de terme finie non nulle, des termes non bornés ou une limite de terme qui n'existe pas.

Exemple résolu : une limite non nulle. Pour $a_n=n/(2n+1)$, divisez par $n$ pour obtenir $a_n=1/(2+1/n)\to1/2$. Ainsi, $\sum n/(2n+1)$ diverge selon le critère du terme en n. Le nombre $1/2$ est la limite du terme, pas la somme de la série.

Exemple résolu : aucune limite de terme. Pour $a_n=(-1)^{n-1}$, les termes impairs valent $1$ et les termes pairs valent $-1$. Les termes n'ont pas de limite unique, donc la série diverge. Ses sommes partielles alternent entre $1$ et $0$ : des sommes partielles bornées ne doivent pas nécessairement converger.

Une limite de terme nulle rend ce test inconcluant. Tant $\sum1/n$ que $\sum1/2^{n-1}$ ont des termes tendant vers zéro, alors que le premier diverge et le second converge vers $2$. Pour la série harmonique, le bloc de $n=2^{k-1}+1$ à $2^k$ contient $2^{k-1}$ termes chacun au moins égal à $1/2^k$, donc chaque bloc ajoute au moins $1/2$. Le théorème sur les séries géométriques donne la somme de la seconde série. Ce sont des arguments distincts ; seul le Test du n-ième terme décide pour l'un ou l'autre.

Des signes alternés seuls ne font pas échouer la limite du terme : $(-1)^{n-1}/n\to0$ car sa valeur absolue tend vers zéro. Le critère du terme en n est également inconclusif pour cette série. Changer un nombre fini de termes finis ne change pas la convergence.

À vous. Appliquez uniquement le critère du terme en n à $\sum 3n^2/(n^2+4)$, $\sum[2+(-1)^n]$ et $\sum 2/(n+1)$, avec $n\ge1$.

Réponse. La première a une limite de terme de $3\ne0$, donc elle diverge. La seconde a des termes impairs $1$ et des termes pairs $3$, donc sa limite de terme n'existe pas et la série diverge. La troisième a une limite de terme de $0$, donc ce test est inconclusif ; un autre argument est nécessaire pour sa classification.

Le critère intégral compare la fin d’une série à une intégrale impropre correspondante. Choisissez $f$ avec $a_n=f(n)$, et un entier $N$ tel que $f$ soit positive, continue et non croissante (décroissante au sens large) sur $[N,\infty)$. Les parties constantes sont permises. Alors

convergent ou divergent ensemble. Leurs valeurs ne sont pas la même grandeur. Un nombre fini de termes finis avant la queue valide n'affecte pas la convergence. N'utilisez pas automatiquement la limite inférieure $1$ : la fonction peut y être indéfinie.

Comparaison par rectangles. Sur $[N,N+m]$, les rectangles de largeur unité situés à gauche ont une aire totale de $U=\sum_{k=N}^{N+m-1}f(k)$ et se situent au-dessus de l'aire sous la courbe. Les rectangles situés à droite ont une aire totale de $L=\sum_{k=N+1}^{N+m}f(k)$ et se situent en dessous. Ainsi $L\le I\le U$, où $I=\int_N^{N+m}f(x)\,dx$. Cette comparaison encadre les sommes partielles positives lorsque l'intégrale impropre est finie ; si l'intégrale croît sans borne, la série fait de même.

Exemple résolu : une intégrale finie. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$, $f(x)=1/x^2$ est positif et continu sur $[1,\infty)$, avec $f'(x)=-2/x^3<0$. Calculez l'intégrale impropre comme une limite :

La série converge. Sa somme n'est pas $1$, car ses deux premiers termes s'additionnent déjà pour donner $1.25$. Pour comparaison, $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$, donc la série harmonique diverge malgré ses termes tendant vers zéro.

Exemple résolu : une fonction décalée. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n+2)^2$, utilisez $f(x)=1/(x+2)^2$. Elle satisfait aux conditions pour $x\ge1$, et son intégrale impropre est $[-1/(x+2)]_1^{\infty}=1/3$. La série converge ; $1/3$ est la valeur de l'intégrale, et non la somme exacte de la série.

Exemple résolu : choisir la limite inférieure. Pour $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$, la fonction correspondante est positive et continue sur $x\ge2$. Sa dérivée est $-(\ln x+1)/[x^2(\ln x)^2]<0$. Puisque

la série diverge. Une limite inférieure de $1$ serait invalide car le dénominateur s'y annule. Si une fonction correspondante choisie échoue à vérifier une condition, cet échec seul ne prouve pas la divergence.

À vous. Appliquer le test de l'intégrale à $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^2]$. Expliquer les conditions et l'intégrale.

Réponse. La fonction correspondante est positive et continue sur $[2,\infty)$, avec dérivée $-(\ln x+2)/[x^2(\ln x)^3]<0$. Sa primitive est $-1/\ln x$, donc l'intégrale impropre de $2$ vaut $1/\ln2$, qui est finie. La série converge. Changer un préfixe fini de termes finis n'altère pas cette conclusion.

Une série p de la forme $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^p$, avec $p$ réel fixe, converge exactement lorsque $p>1$ et diverge pour $p\le1$. La série harmonique correspond au cas limite $p=1$ et diverge malgré le fait que ses termes tendent vers zéro.

Pourquoi la règle fonctionne. Pour $p>0$, $f(x)=x^{-p}$ est positive, continue et décroissante sur $[1,\infty)$. Si $p\ne1$,

Pour $p>1$, l'intégrale impropre est $1/(p-1)$, finie, donc la série converge. Pour $0<p<1$, l'intégrale croît sans limite, donc la série diverge. À $p=1$, traiter $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$ séparément. La valeur d'une intégrale n'est pas la somme exacte de la série.

Pour $p=0$, les termes valent $1$ ; pour $p<0$, ils croissent sans limite. Ces termes ne tendant pas vers zéro, le critère du terme général prouve la divergence. Pour un $p$ négatif, la fonction correspondante est croissante, donc le test de l'intégrale pour fonctions décroissantes n'est pas justifié.

Reconnaître la puissance. Puisque $n\sqrt n=n^{3/2}$, $\sum1/(n\sqrt n)$ converge. Puisque $\sqrt[3]{n^2}=n^{2/3}$, $\sum1/\sqrt[3]{n^2}$ diverge. Un facteur fixe non nul et un changement fini de l'indice initial préservent la convergence. Par exemple,

converge. Un facteur nul donne directement la série nulle. L'expression $1/(n^2+1)$ n'est pas exactement un terme de série p ; utiliser le critère de comparaison plutôt que de supprimer le $+1$.

La série $\sum1/2^n$ est géométrique, avec l'indice variable dans l'exposant.

Série harmonique alternée. La série signée $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n$ converge par le test des séries alternées car ses valeurs absolues diminuent vers zéro. Sa série des valeurs absolues $\sum1/n$ diverge. La règle des séries p positives seule ne suffit pas à classifier les séries signées ; le test des alternées est expliqué ci-dessous.

À vous. Classifier $\sum_{n=4}^{\infty}5/(n\sqrt n)$, et trouver tous les réels $q$ pour lesquels $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2q-1}$ converge.

Réponse. Le premier a pour puissance $3/2>1$ et converge ; le facteur $5$ et le préfixe fini omis ne changent rien. Le second exige $2q-1>1$, soit $q>1$. À $q=1$, c'est la série harmonique et elle diverge.

La comparaison relie une série inconnue à une série p ou géométrique connue. Vérifier les termes et le sens de l'inégalité sur une queue valide.

• Comparaison directe : si $0\le a_n\le b_n$ eventually et $\sum b_n$ converge, la plus petite $\sum a_n$ converge. Si $a_n\ge b_n\ge0$ eventually et $\sum b_n$ diverge, la plus grande $\sum a_n$ diverge.
• Comparaison par limite : pour des termes positifs à partir d'un certain rang, si $\lim a_n/b_n=L$ avec $0<L<\infty$, les deux séries ont le même comportement de convergence. Classifier d'abord la série connue ; la limite seule ne signifie pas que les deux convergent.

Majorante convergente. Puisque $0<1/(n^2+1)<1/n^2$ pour $n\ge1$ et la série p de puissance $2$ converge, $\sum1/(n^2+1)$ converge.

Borne inférieure divergente. Pour $n\ge1$, $n+1\le2n$, donc $1/(n+1)\ge1/(2n)>0$. La moitié de la série harmonique diverge, et par conséquent $\sum1/(n+1)$ diverge aussi.

Exemple résolu. La série $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$ converge-t-elle ? Pour de grandes valeurs de $n$, les termes se comportent comme $\dfrac{1}{n^2}$. La comparaison directe indique ici la mauvaise direction ($\tfrac{1}{n^2-1}>\tfrac{1}{n^2}$, et le fait d'être plus grand qu'une série convergente ne prouve rien). Utilisez le test de comparaison avec la limite avec $b_n=\dfrac{1}{n^2}$ :

un nombre fini positif. Puisque $\sum\dfrac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$), $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2-1}$ converge également.

Évitez la mauvaise direction. Être plus petit qu'une série divergente n'établit pas sa divergence : $1/n^2\le1/n$, mais la série plus petite converge. Être plus grand qu'une série convergente n'établit pas sa convergence. Une valeur finie ne prouve pas une borne pour tout indice ultérieur.

Évaluez le rapport complet. Pour $a_n=(3n^2+1)/(n^4+5)$ et $b_n=1/n^2$,

Les termes sont positifs et la série p de comparaison converge, donc la série donnée converge. Pour $a_n=(2n+1)/(n^2+4)$ et $b_n=1/n$, le rapport est $(2+1/n)/(1+4/n^2)\to2$. La positivité et la divergence harmonique entraînent la divergence de cette dernière série.

Vérifiez la queue. Pour $n\ge3$, $n^2-4\ge n^2/2$, donc $0<1/(n^2-4)\le2/n^2$. Ainsi, la série commençant à $n=3$ converge. Un terme en $n=2$ serait non défini : l'invariance du préfixe fini exige des termes finis et définis. Les termes signés nécessitent un argument séparé ou l'étude de leurs valeurs absolues.

Si la limite du rapport est $0$ ou l'infini, le théorème de comparaison avec la limite fini-positif ne justifie pas un comportement de convergence égal. Par exemple, $(1/n^2)/(1/n)\to0$ même si la série numérateur converge et que la série dénominateur diverge. Choisissez une autre comparaison ou une borne directe valide ; ces limites ne sont pas automatiquement des verdicts de divergence. La comparaison n'égalise pas non plus les sommes exactes.

À vous. Classez $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n^2-1)$, $\sum\sqrt n/(n^2+1)$ et $\sum(4n^2+3)/(n^3+2)$.

Réponse. Le premier est borné supérieurement par $2/n^2$ pour $n\ge2$, donc il converge. Pour le second, la comparaison avec $1/n^{3/2}$ donne un rapport $n^2/(n^2+1)\to1$ et la convergence. Pour le troisième, la comparaison avec $1/n$ donne un rapport $(4+3/n^2)/(1+2/n^3)\to4$ et la divergence. Toutes les queues choisies sont positives.

Une série alternée a des signes qui changent. Écrivez $a_n=(-1)^{n-1}b_n$ pour un premier signe positif, ou $a_n=(-1)^n b_n$ pour un premier signe négatif. Les magnitudes $b_n$ sont positives.

Le Test des Séries Alternées donne des conditions suffisantes : si, à partir d'un certain indice, $b_{n+1}\le b_n$ et $b_n\to0$, la série converge. Des magnitudes consécutives égales sont autorisées. Un préfixe fini de termes finis n'affecte pas la convergence.

Pourquoi cela fonctionne. Dans le cas à premier signe positif avec des magnitudes non croissantes dès le début, les sommes partielles paires augmentent et les sommes partielles impaires diminuent ; chaque groupe encadre l'autre. L'écart $S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}$ tend vers zéro, donc les deux groupes approchent de la même limite finie. Appliquez ce raisonnement à une queue valide pour des conditions éventuelles.

Exemple harmonique alterné. Pour $b_n=1/n$, la positivité, la décroissance et la limite nulle sont toutes vérifiées pour $n\ge1$, donc $\sum(-1)^{n-1}/n$ converge.

La série harmonique positive diverge. Commencer avec $(-1)^n$ multiplie la série signée par $-1$ et conserve la convergence. Une limite de terme nulle n'est pas la somme exacte de la série.

Exemple eventuallement décroissant. Pour $b_n=n/(n^2+9)$, $f(x)=x/(x^2+9)$ a pour dérivée $(9-x^2)/(x^2+9)^2\le0$ pour $x\ge3$. De plus $b_n=(1/n)/(1+9/n^2)\to0$. La série alternée converge bien que les premières magnitudes augmentent.

Séparez deux échecs. Si $b_n=1+1/n$, les magnitudes diminuent mais tendent vers $1$ ; les termes signés n'approchent pas de zéro, et le Test du n-ième Terme prouve la divergence. Si seule la non-croissance eventualle échoue, le Test des Séries Alternées n'est pas justifié ; cet échec seul ne prouve pas la divergence.

Par exemple, posons $b_{2k-1}=1/k$ et $b_{2k}=1/k+1/k^2$. Il y a une augmentation de magnitude dans chaque paire. Pourtant, les paires adjacentes signées à premier signe positif s'additionnent en $-1/k^2$. Leurs sommes partielles paires convergent, et la différence vers la prochaine somme impaire tend vers zéro, donc la série originale converge grâce à cet argument séparé. L'appariement adjacent conserve l'ordre original.

Ce test ne classe pas à lui seul la convergence de $\sum b_n$ ni ne calcule une somme exacte. Convergence absolue/conditionnelle et bornes d'erreur numérique sont des sujets distincts ci-dessous.

Essayez-le. Testez la série alternée avec des amplitudes positives $2/\sqrt{n+3}$, $n/(n^2+16)$ et $(3n+1)/(n+2)$, pour $n\ge1$.

Réponse. La première diminue vers zéro et donne une convergence. La seconde tend vers zéro et possède la dérivée $(16-x^2)/(x^2+16)^2\le0$ à partir de $x=4$, donc sa série alternée converge. La troisième a une limite d'amplitude $3$, donc ses termes signés ne tendent pas vers zéro et le Test du terme nᵉ donne la divergence.

Le critère du rapport utilise le rapport absolu suivant/précient $q_n=|a_{n+1}/a_n|$. Les termes doivent être non nuls ultérieurement afin que le quotient soit défini sur une queue. Lorsque $L=\lim q_n$ existe :

• $L<1$ : la série converge absolument, car les amplitudes de la queue sont finalement bornées par une série géométrique convergente.
• $L>1$, y compris $+\infty$ : la série diverge.
• $L=1$ : le test est concluant ; un autre test est nécessaire.

Un nombre fini de termes initiaux finis, y compris des zéros, n'affecte pas la convergence. Une queue entièrement nulle converge directement ; n'évaluez pas $0/0$. Des dénominateurs récurrents nuls ou une absence de limite du rapport nécessitent un autre argument, plutôt qu'un verdict automatique de divergence.

C'est le test de choix pour les séries contenant des factorielles ou des $n$ puissances, et c'est exactement ainsi qu'on trouve le rayon de convergence d'une série entière.

Annulation factorielle. Pour $a_n=2^n/n!$, écrivez d'abord $a_{n+1}=2^{n+1}/(n+1)!$. Puis

La série converge absolument. Utilisez $(n+1)!=(n+1)n!$, pas $n!+1$. Les rapports initiaux ne doivent pas tous être inférieurs à $1$ : pour $4^n/n!$, le premier rapport est $2$, mais $4/(n+1)\to0$ prouve toujours la convergence absolue.

Signes et direction du quotient. Pour $(-2)^n/n!$, le rapport signé est $-2/(n+1)$ ; sa valeur absolue tend vers zéro. Pour $(-3)^n$, le rapport absolu est $3>1$, donc la série diverge malgré son rapport signé négatif. Pour $n!/2^n$, utilisez le bon quotient $(n+1)/2\to+\infty$, prouvant la divergence. Son inverse n'est pas le quotient du Test du rapport.

Une exposante changeante. Pour $a_n=n!/n^n$,

Ainsi, la série converge absolument. Tant la base que l'exposant changent dans le prochain dénominateur.

La frontière est inconcluate. Les termes harmoniques ont $q_n=n/(n+1)\to1$ et leur série diverge. Les termes $1/n^2$ ont $q_n=(n/(n+1))^2\to1$ et leur série converge. Le théorème des séries p fournit ces classifications. En particulier, un rapport fini inférieur à $1$ à chaque indice ne suffit pas ; la série harmonique est un contre-exemple. La limite du rapport n'est pas la somme de la série.

Pour un réel fixe $c\ne0$, $\sum_{n=1}^{\infty}c^n/n!$ a une limite de rapport absolu $0$ et converge absolument. Pour $c=0$, c'est une série entièrement nulle qui converge directement, sans calcul de rapport.

À vous. Appliquez le Test du rapport à $\sum3^n/(n+2)!$, $\sum n^3/5^n$ et $\sum(n+1)!/3^n$, en commençant à $n=1$.

Réponse. Leurs rapports absolus sont $3/(n+3)\to0$, $((n+1)/n)^3/5\to1/5$ et $(n+2)/3\to+\infty$. Les deux premières séries convergent absolument ; la troisième diverge. Chaque terme suivant modifie chaque occurrence de l'indice.

Erreur fréquente. Lire une limite de critère du rapport exactement $1$ comme une convergence. Tanto $\sum\frac1n$ (diverge) que $\sum\frac1{n^2}$ (converge) donnent une limite de $1$ : le test est inconcluant là, alors utilisez un autre test.

Une série converge absolument si $\sum|a_n|$ converge. Elle converge conditionnellement si $\sum a_n$ converge mais $\sum|a_n|$ diverge. Une série signée divergente ne relève d'aucune de ces deux catégories de convergence.

Deux questions distinctes. Une procédure utile consiste à tester d'abord la série des amplitudes. Si elle converge, la convergence absolue garantit la convergence de la série originale. Si elle diverge, testez la série signée séparément : la convergence signée donne une convergence conditionnelle ; la divergence signée donne la divergence. La divergence de $\sum|a_n|$ seule ne distingue pas ces deux derniers résultats.

Pour des termes réels, $a_n^+=\max(a_n,0)$ et $a_n^-=\max(-a_n,0)$ satisfont $0\le a_n^\pm\le|a_n|$. Si la série des amplitudes converge, les deux séries de parties convergent par comparaison. Puisque $a_n=a_n^+-a_n^-$, leurs limites finies donnent la convergence de la série signée.

Exemple conditionnel. Pour $\sum(-1)^n/n$, la série des valeurs absolues est une série harmonique divergente. La série signée satisfait le critère des séries alternées car ses valeurs absolues positives décroissent vers zéro. Ces deux faits établissent ensemble la convergence conditionnelle.

Exemple absolu. Pour $\sum(-1)^n/n^2$, la série p des valeurs absolues converge. Par conséquent, la série signée est absolument convergente ; ses signes alternés ne la rendent pas conditionnelle, et aucune preuve de convergence supplémentaire n'est nécessaire.

Exemple divergent. Pour $(-1)^n n/(n+1)$, les valeurs absolues tendent vers $1$, donc les termes signés ne tendent pas vers zéro. Le critère du terme général donne la divergence, et non la convergence conditionnelle. Cet exemple et l'exemple harmonique conditionnel ont tous deux une série de valeurs absolues divergente.

Un exemple décalé est $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}2/\sqrt{n+3}$. Sa série de valeurs absolues est le double d'une queue de série p divergente de puissance $1/2$ ; sa série signée satisfait le critère des séries alternées. Elle est donc conditionnellement convergente. Un résultat du critère du rapport de $L=1$ n'établit pas la convergence conditionnelle : les exemples alternés harmonique et à dénominateur au carré ont tous deux cette limite de rapport.

Réarrangement et modifications finies. Tout regroupement ou réarrangement d'une série absolument convergente a la même somme. Une série conditionnellement convergente n'offre aucune garantie de tel réarrangement ; un nouvel ordre peut modifier la somme ou empêcher la convergence. Utilisez l'ordre indiqué pour classifier. Changer un nombre fini de termes finis, ou multiplier par une constante fixe non nulle, préserve la classification. Un multiplicateur nul donne directement une série nulle absolument convergente.

À vous. Classez $\sum(-1)^{n-1}/n^{3/2}$, $\sum(-1)^n/\sqrt{n+1}$ et $\sum(-1)^n(2n+1)/(n+4)$, pour $n\ge1$.

Réponses détaillées

La première est absolument convergente car sa série p des valeurs absolues a une puissance $3/2>1$. La seconde est conditionnelle : la queue de la série p des valeurs absolues a une puissance $1/2$ et diverge, tandis que la série signée satisfait le critère des séries alternées. La troisième diverge par le critère du terme général car ses valeurs absolues tendent vers $2$. Fournissez les arguments tant signés que de valeurs absolues lors d'une affirmation de convergence conditionnelle.

Pour une série commençant à $n=1$, soit $S_N$ contenant ses premiers $N$ termes. Si la queue omise alterne avec des valeurs absolues positives, non croissantes et tendant vers zéro, alors

La borne utilise le premier terme omis (sa grandeur), et non le dernier inclus. La somme exacte se situe entre $S_N$ et $S_{N+1}$. Un prochain terme positif fait de $S_N$ une estimation par défaut ; un prochain terme négatif en fait une estimation par excès. La seule convergence, sans les conditions relatives à la queue omise, ne justifie pas ce théorème.

Exemple harmonique exact. Pour $1-1/2+1/3-\cdots$, $S_3=5/6$ et le prochain terme est $-1/4$. Ainsi, la borne est $1/4$ et $7/12\le S\le5/6$. La borne n'est pas l'erreur réelle, et la somme infinie exacte n'est pas nécessaire pour certifier cet encadrement.

Faire correspondre l'inégalité cible. Une condition suffisante sur le prochain terme pour une erreur au plus $\varepsilon$ est $b_{N+1}\le\varepsilon$. Pour une certification stricte utilisant uniquement la borne non stricte, utilisez $b_{N+1}<\varepsilon$. Avec des valeurs absolues harmoniques et une cible $0.01$, ces conditions donnent N≥99 et N≥100 respectivement. Arrêtez-vous avant le terme omis, dont l'indice est 100 ou 101. Ce sont des comptes de certification, et non des affirmations sur le plus petit nombre possible de termes pour une erreur réelle.

Conserver le coefficient. Pour les grandeurs $3/n^2$, exiger $3/(N+1)^2\le0.001$ donne $(N+1)^2\ge3000$. Le plus petit entier satisfaisant cette condition est N=54 : le terme omis a pour indice 55.

Compter à partir du début réel. Si la série commence à l'indice $m$, N termes inclus se terminent à $K=m+N-1$, et l'indice omis est $m+N$. Pour $\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n-3}/n^2$, quatre termes se terminent à l'indice 6. Leur somme est $73/1200$, la valeur absolue omise est 1/49 à l'indice 7, et le prochain terme est positif. D'où $73/1200\le S\le73/1200+1/49$.

Inclure l'erreur d'arrondi. Pour une valeur arrondie rapportée $r$,

Par exemple, arrondir $5/6$ à 0.833 ajoute 1/3000 à sa borne de troncature 1/4. Arrondissez un encadrement vers l'extérieur : $[0.583333,0.833334]$ contient l'intervalle exact $[7/12,5/6]$ ; l'arrondi vers l'intérieur n'est généralement pas sûr.

Une fin de série peut suffire. Pour les valeurs absolues $b_n=n/(n^2+9)$, la dérivée $(9-x^2)/(x^2+9)^2$ est négative ou nulle pour x≥3 et $b_n\to0$. Après deux termes inclus, la partie omise commence à l’indice 3 et satisfait aux conditions, ce qui donne la borne $b_3=1/6$. Les augmentations antérieures n’invalident pas ce raisonnement appliqué à cette fin de série.

À vous. Pour des valeurs absolues $2/(n+1)^2$ commençant à n=1, trouvez les plus petits comptes satisfaisant les conditions sur le prochain terme pour une erreur au plus 0.005 et strictement inférieure à 0.005. Ensuite, donnez l'indice omis et l'encadrement pour $\sum_{n=4}^{\infty}(-1)^{n-4}/n$ après cinq termes.

Réponses détaillées sur les bornes d'erreur

La grandeur suivante décalée est $2/(N+2)^2$. Sa condition non stricte donne N≥18 ; sa condition stricte donne N≥19. Dans la seconde série, l'indice du dernier terme inclus est 8 et celui du terme omis est 9. La somme de cinq termes est $167/840$, la borne est 1/9 et le prochain signe est négatif, donc $221/2520\le S\le167/840$. Combiner la borne de troncature $0.004$ avec l'arrondi à trois décimales donne $0.004+0.0005=0.0045$.

Exemple résolu. Estimer $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ avec quatre termes et encadrer l'erreur.

Les termes $\tfrac{1}{n^2}$ sont positifs, décroissants et tendent vers $0$, donc $|S-S_4|\le b_5=\dfrac{1}{25}=0.04$. (La somme réelle est $\tfrac{\pi^2}{12}\approx 0.8225$ ; l'erreur réelle, d'environ $0.024$, est contenue dans la borne.) Utiliser le premier terme omis, $b_5$, et non le dernier terme utilisé.

Un polynôme de Taylor utilise des dérivées évaluées en un centre $a$ pour construire une approximation finie. Jusqu'à l'ordre $n$, il s'agit de

Il coïncide avec $f(a)$ et les dérivées jusqu'à l'ordre $n$ au point $a$. Le coefficient de $(x-a)^k$ est $f^{(k)}(a)/k!$. Utiliser les valeurs des dérivées au centre, et non des expressions encore dépendantes de $x$. Centré en $a=0$, c'est un polynôme de Maclaurin. Son degré peut être inférieur à $n$ si un coefficient est nul.

Exemple résolu : utiliser un tableau de dérivées. En $a=1$, supposons que les valeurs des dérivées jusqu'à l'ordre $3$ soient $2,-3,8,12$. Diviser par $0!,1!,2!,3!$ pour obtenir les coefficients $2,-3,4,2$. Ainsi,

Le changement est $x-a=-0.1$, donc les puissances impaires conservent leur signe négatif. Cela donne $f(0.9)\approx2.338$. Un tableau fini seul ne fournit pas une garantie numérique sur l'erreur.

Exemple résolu : Maclaurin pour l'exponentielle. Chaque dérivée de $e^x$ en $0$ vaut $1$. Divisez ces valeurs par leurs factorielles pour obtenir $P_2(x)=1+x+x^2/2$. D'où $e^{0.1}\approx P_2(0.1)=1.105$. La valeur du polynôme est exacte pour $P_2$, tandis que son utilisation pour l'exponentielle est une approximation.

Exemple résolu : un centre utile non nul. Pour $\ln x$ autour de $1$, les valeurs des dérivées sont $0,1,-1,2$ jusqu'à l'ordre $3$. Poser $h=x-1$. Alors

En $x=1.1$, utiliser $h=0.1$, ce qui donne $\ln(1.1)\approx0.0953333\ldots$. Utiliser $h=1.1$ évaluerait à la mauvaise entrée décalée.

Ordre et degré. Pour le cosinus au voisinage de $0$, $P_2=P_3=1-x^2/2$ a pour degré $2$ et correspond aux dérivées jusqu'à l'ordre $3$.

Exemple résolu : un ordre plus élevé peut être pire. Pour $e^x$ en $-2$, $P_0=1$ a une erreur d'environ $0.8647$, tandis que $P_1=-1$ a une erreur d'environ $1.1353$. Plus de termes ne garantissent pas une erreur plus faible en tout point.

À vous. En $a=-1$, supposons que les valeurs des dérivées jusqu'à l'ordre $3$ soient $4,2,-6,24$. Construire $P_3$ et estimer $f(-0.8)$.

Réponse. Diviser par les factorielles pour obtenir les coefficients $4,2,-3,4$. Ensuite,

En $x=-0.8$, le changement est $0.2$, ce qui donne $f(-0.8)\approx4+0.4-0.12+0.032=4.312$.

Exemple résolu. $f(2)=3$, $f'(2)=-1$, $f''(2)=4$ et $f'''(2)=12$. Écrire le polynôme de Taylor de troisième degré autour de $x=2$ et estimer $f(2.1)$.

Diviser chaque dérivée par sa factorielle : $\dfrac{4}{2!}=2$ et $\dfrac{12}{3!}=2$. Donc

Oublier les factorielles (écrire $4(x-2)^2$ au lieu de $\tfrac{4}{2!}(x-2)^2$) est l'erreur la plus fréquente.

La borne d'erreur de Lagrange donne une limite supérieure pour l'erreur absolue d'une approximation de Taylor. Soit $P_n$ incluant les termes jusqu'à l'ordre $n$ autour de $a$ et posant $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$. Si les dérivées jusqu'à l'ordre $n+1$ sont continues sur l'intervalle fermé reliant $a$ et $x$, et si $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ est atteint sur tout cet intervalle, alors

La constante $M$ peut être n'importe quelle borne supérieure justifiée ; elle n'a pas besoin d'être le maximum exact. Vérifier tout l'intervalle, et non seulement le centre ou la cible. Lorsque $x<a$, utiliser l'intervalle $[x,a]$ et la distance positive $|x-a|$.

Exemple résolu : certifier une valeur. Pour $e^x$ à $x=0.1$, $P_2=1+x+x^2/2$ donne $1.105$. Sur $[0,0.1]$, la troisième dérivée satisfait $e^t\le e^{0.1}<1.2$, donc choisir $M=1.2$. Alors

Cela certifie une erreur au plus $0.001$. Cela ne signifie pas que l'erreur réelle est égale à $0.0002$. La valeur $M=1$ serait trop petite, car $e^t>1$ pour $t>0$.

Exemple résolu : un intervalle uniforme. Sur $[-1,1]$, toute dérivée de $e^x$ est au plus $e<3$. Pour le même $P_2$, choisir la borne fixe $M=3$. Exiger une erreur au plus $0.0005$ donne

Ainsi $[-0.1,0.1]$ est certifié par cette borne et se trouve dans l'intervalle où $M$ est valide. Ce n'est pas nécessairement le plus grand intervalle où l'approximation réelle respecte la tolérance.

Comparer deux bornes. Pour $\cos(0.2)$, $P_2=1-x^2/2=0.98$. La troisième dérivée a une magnitude au plus $1$, donnant $B_2=0.2^3/3!=0.001333\ldots$. Cela ne certifie pas la tolérance $0.001$, mais cela ne prouve pas non plus un échec. La série de cosinus en ce point alterne avec des termes décroissants tendant vers $0$. Son premier terme non nul omis donne la borne plus serrée

Ici $P_2=P_3$ car le coefficient cubique est nul. La borne de Lagrange de quatrième dérivée avec $n=3$ et $M=1$ donne la même estimation plus serrée. L'ordre de Taylor peut être supérieur au degré réel du polynôme.

À vous. Supposons $|f^{(4)}(t)|\le9$ sur $[1.8,2]$, avec des dérivées continues jusqu'à l'ordre $4$. Bornez l'erreur de son approximation de Taylor d'ordre trois autour de $2$ à $x=1.8$. Respecte-t-elle la tolérance $0.001$ ?

Réponse. Utiliser la distance $0.2$ et le dénominateur $4!$. La borne est $9(0.2)^4/24=0.0006\le0.001$, donc la tolérance est certifiée.

L'ordre n'est pas une garantie d'une borne plus faible. Vérifiez à nouveau la borne de la dérivée et la distance lors de l'augmentation de l'ordre. Pour le sinus à $x=4$, centré à $0$, $M=1$ fonctionne pour chaque dérivée. La borne d'ordre-$0$ est $4$, mais la borne d'ordre-$1$ est $4^2/2!=8$. Un facteur factoriel plus grand seul ne règle pas la comparaison.

Exemple résolu. Poursuivez l'exemple ci-dessus : supposons $|f^{(4)}(x)|\le 30$ pour $2\le x\le 2.1$. Alors, avec $n=3$,

Donc $P_3(2.1)=2.922$ est dans $0.000125$ de $f(2.1)$. Utilisez la dérivée suivante après le degré du polynôme : un polynôme de degré-$3$ utilise $f^{(4)}$ et $4!$.

Une série entière est une somme de termes $c_n(x-a)^n$, où les nombres $c_n$ ne dépendent pas de $x$. Son rayon de convergence $R$ mesure une distance depuis le centre $a$. Pour $0<R<\infty$, elle converge absolument pour $|x-a|<R$ et diverge pour $|x-a|>R$. Testez les deux extrémités séparément pour terminer l'intervalle de convergence. Le centre lui-même est toujours inclus ; les termes de puissance positive s'y annulent.

Utilisez le critère de d'Alembert sur les termes complets lorsque sa limite est disponible. Conservez le facteur impliquant $x$, résolvez pour une distance, et vérifiez directement le centre si l'expression de rapport y est indéfinie. Une limite de $1$ est inconclusive, pas une preuve de divergence.

Exemple résolu : un centre décalé. Pour $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n n}$, le rapport absolu, loin du centre, est

Ainsi $|x-2|<3$, ou $-1<x<5$. Le centre est $2$ et $R=3$, pas la limite droite $5$ ni la largeur $6$. À $x=2$, chaque terme est $0$. À $x=-1$, la série originale devient $\sum(-1)^n/n$, qui converge par le critère des séries alternées : $1/n$ diminue vers $0$. À $x=5$, elle devient la série harmonique divergente $\sum1/n$. L'intervalle complet est $[-1,5)$.

Le même rayon peut donner des crochets différents. Avec $t=(x-2)/3$ et $n\ge1$, ces familles ont toutes le centre $2$, le rayon $3$ et la limite de rapport absolu $|t|$.

Exemple résolu : inverser l'extrémité incluse. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(x+1)^n/(2^n n)$, la limite du rapport absolu est $|x+1|/2$. Par conséquent, $a=-1$, $R=2$ et les bornes candidates sont $-3$ et $1$. À $-3$, les deux facteurs $(-1)^n$ s'annulent et donnent la série harmonique divergente. À $1$, la série harmonique alternée converge. L'intervalle est $(-3,1]$.

Rayons particuliers. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}n!(x-2)^n$, le rapport absolu $(n+1)|x-2|$ croît sans borne pour chaque $x\ne2$. Seule $x=2$ converge, donc $R=0$ et l'ensemble sont $\{2\}$. Pour $\sum_{n=1}^{\infty}(x-2)^n/n!$, le rapport $|x-2|/(n+1)$ tend vers $0$ pour tout réel fixe $x$, donc $R=\infty$ et l'intervalle est $(-\infty,\infty)$. Ces cas ne possèdent pas deux valeurs de bord distinctes et finies à tester.

Exemple résolu : le rayon reste identique. Sur un intervalle ouvert, une série entière de rayon positif est la série de Taylor de sa fonction somme. La dérivation ou l'intégration conserve son rayon mais peut modifier les résultats aux bornes. La série $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ a pour intervalle $[-1,1)$. La dérivation donne $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$, avec intervalle $(-1,1)$ : les termes ne tendent pas vers $0$ aux deux extrémités. L'intégration de $0$ à $x$ donne $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+1}/[n(n+1)]$, avec intervalle $[-1,1]$ : les termes de bord absolus sont au plus $1/n^2$, donc la comparaison s'applique. Les trois rayons sont $1$.

À vous. Trouvez le centre, le rayon et l'intervalle pour $\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)^n/(4^n n^2)$, en justifiant chaque résultat de bord.

Réponse. La limite du rapport est $|x+2|/4$, donc le centre est $-2$, le rayon est $4$ et les bornes candidates sont $-6$ et $2$. Les deux séries de bord convergent absolument par le critère des séries $p$ avec $p=2$. L'intervalle est $[-6,2]$.

L'extension de la formule des polynômes de Taylor à un nombre infini de termes donne une série de Taylor (ou de Maclaurin). En un centre $a$, sa formule est

Un polynôme de Taylor fini est une somme partielle. Pour représenter $f(x)$ exactement, la différence $f(x)-P_N(x)$ doit tendre vers $0$ lorsque $N$ augmente. La convergence de la série seule n'établit pas l'égalité avec la fonction originale. Pour les quatre identités standards ci-dessous, les intervalles où l'égalité vaut sont connus.

Déduire le motif du cosinus. Les dérivées de $\cos x$ se répètent tous les quatre pas. Leurs valeurs en $0$ sont $1,0,-1,0,1,\ldots$. Diviser chacune par la factorielle de son ordre donne les coefficients $1,0,-1/2!,0,1/4!,\ldots$. Les puissances impaires ont des coefficients nuls ; les puissances paires alternent les signes.

Ces identités du sinus, du cosinus et de l'exponentielle valent pour tout réel $x$.

Utilisez les radians pour le sinus et le cosinus. L'identité géométrique exige $-1<x<1$ : à chaque extrémité, ses termes ne tendent pas vers $0$. Ses coefficients sont $1$, sans dénominateurs factoriels.

Exemple résolu : changer le centre. Pour $e^x$ centré en $1$, chaque valeur de dérivée est $e$. Ainsi

Cette identité vaut pour tout réel $x$. En $x=1$, toutes les puissances positives s'annulent et laissent la valeur correcte $e$. Utiliser $x^n$ placerait le développement au mauvais centre.

Termes et degré. Les trois premiers termes non nuls du cosinus donnent $1-x^2/2+x^4/24$. C'est un degré $4$, pas un degré $3$. Les trois premiers termes non nuls du sinus ont la puissance la plus élevée $5$. Un tableau fini de valeurs de dérivées détermine un polynôme de Taylor fini ; sans motif, il ne détermine pas tous les termes supérieurs.

À vous. Utilisez $h=x-\pi/2$ et $\sin(\pi/2+h)=\cos(h)$ pour trouver la série de Taylor de $\sin x$ centrée en $\pi/2$.

Réponse. Remplacez $h$ dans l'identité du cosinus :

Cela est valide pour tout réel $x$. Les trois premiers termes non nuls sont $1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!$. Les puissances sont des puissances paires de l'entrée décalée, bien que la série de Maclaurin du sinus utilise des puissances impaires de $x$.

De nouvelles séries proviennent de la manipulation de celles-ci – substitution, dérivation, intégration ou multiplication.

Exemple résolu. Trouver la série de Maclaurin de $e^{x^2}$. Remplacez $x^2$ par $x$ dans $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$ :

ce qui converge pour tout $x$. Cette astuce de substitution est beaucoup plus rapide que de dériver $e^{x^2}$ six fois.

Puisqu'une série entière peut être dérivée et intégrée terme à terme (dans son rayon), on peut construire de nouvelles séries à partir de connues – par ex., intégrer la série géométrique de $\dfrac{1}{1-x}$ pour obtenir la série de $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substituer $-x^2$ pour obtenir la série de $\dfrac{1}{1+x^2}$. Représenter une fonction sous forme de série entière permet d'approximer des valeurs et des intégrales n'ayant pas de primitive élémentaire.

Compétence d'examen : la question ouverte sur les séries BC demande généralement de dériver une nouvelle série de Maclaurin à partir d'une connue, de trouver son intervalle de convergence, et d'utiliser la borne des séries alternées ou de Lagrange pour estimer l'erreur – les compétences finales du cours.

• Tester la convergence d'une série avec l'outil approprié : géométrique ($|r|<1$, somme $\tfrac{a}{1-r}$), test du $n$ terme, test du rapport, test intégral, test de comparaison ou test des séries alternées.
• Une série géométrique avec premier terme non nul converge exactement quand $|r|<1$. Gérer directement la série nulle.
• Construire une série Taylor/Maclaurin pour approcher une fonction ; plus de termes donnent un meilleur ajustement près du centre.
• Connaître les séries de Maclaurin standards pour $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\tfrac{1}{1-x}$.
• Trouver le rayon/intervalle de convergence avec le test du rapport, puis vérifier les bornes séparément.