Alternating Series Error Bound · Borne d'erreur de la série alternée
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| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | borne d'erreur pour les séries alternées |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
À quel point une somme partielle est-elle proche ?
- Si vous arrêtez une série alternée après quelques termes, à quelle distance votre estimation est-elle ?
- Pour une série alternée convergente, il existe une borne magnifiquement simple.
- La borne d'erreur des séries alternées 交错级数误差界: l'erreur n'est pas plus grande que le premier terme omis.
- Un seul terme suffit pour connaître la précision — aucune calculatrice fastidieuse requise.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
La borne
- Approximez la somme $S$ par la $n$e somme partielle $S_n$. Le reste (erreur) est $|S-S_n|$.
- Pour une série alternée convergente ($b_n\to0$ décroissante):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- L'erreur est au maximum la valeur absolue du terme suivant — celui que vous avez laissé de côté.
The next term bounds the error · Le terme suivant borne l'erreur
Partial sums of an alternating series trap the true sum, so the error is at most the size of the next (omitted) term. · Les sommes partielles d'une série alternée encadrent la vraie somme, donc l'erreur est au plus égale à la taille du terme suivant (omis).
For a convergent alternating series, the error $|S-S_n|$ is at most... · Pour une série alternée convergente, l'erreur $|S-S_n|$ est au plus...
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
The error is bounded by the first ____ term, not the last included one. · L'erreur est bornée par le premier ____ terme, pas le dernier inclus.
Use $b_{n+1}$, the term you did not add. · Utilisez $b_{n+1}$, le terme que vous n'avez pas ajouté.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
Pourquoi le terme suivant le borne
- Parce que les termes alternent et diminuent, la vraie somme est toujours piégée entre les sommes partielles consécutives.
- Donc s'arrêter à $S_n$ dépasse ou sous-estime de moins que la taille du terme suivant.
- Les sommes partielles se resserrent comme un accordéon qui se ferme autour de $S$.
- D'où le terme suivant immédiat garantit un plafond d'erreur.
Approximating $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with $3$ terms, the error bound is the next term $b_4$. What is it? · En approchant $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ avec $3$ termes, la borne d'erreur est le terme suivant $b_4$. Quelle est-elle ?
$b_4=\tfrac14=0.25$.
The true sum is always trapped between consecutive partial sums of an alternating series. · La vraie somme est toujours encadrée entre deux sommes partielles consécutives d'une série alternée.
That is why the next term bounds the error. · C'est pourquoi le terme suivant borne l'erreur.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
L'utiliser pour garantir la précision
- Vouloir une erreur inférieure à $0.01$ ? Trouvez le premier terme avec $b_{n+1}\le 0.01$ et arrêtez là.
- La borne vous permet de décider combien de termes vous avez besoin pour une précision cible.
- Elle ne s'applique qu'aux séries alternées répondant aux conditions du Test des Séries Alternées.
- Simple, serrée et adaptée aux examens.
This error bound applies to any convergent series, alternating or not. · Cette borne d'erreur s'applique à n'importe quelle série convergente, alternée ou non.
Only alternating series meeting the test conditions. · Seulement les séries alternées répondant aux conditions du test.
To guarantee an error under $0.01$, you keep terms until the next term $b_{n+1}$ is... · Pour garantir une erreur inférieure à $0.01$, vous conservez des termes jusqu'à ce que le terme suivant $b_{n+1}$ soit...
Stop when $b_{n+1}\le0.01$. · Arrêtez quand $b_{n+1}\le0.01$.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Cette borne fonctionne uniquement pour les séries alternées satisfaisant le Test des Séries Alternées ($b_n\to0$ décroissante) — elle ne s'applique pas aux séries à termes positifs. L'erreur est bornée par le premier terme omis $b_{n+1}$, pas le dernier inclus. Utilisez $b_{n+1}$, la taille du terme que vous n'avez pas ajouté.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
Estimez $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ avec les premiers $3$ termes ; bornez l'erreur.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- Premier terme omis : $b_4=\tfrac14$. Donc $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- La vraie somme $\ln 2\approx0.693$ est bien dans $0.25$ de $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.
La borne d'erreur des séries alternées : pour une série alternée convergente, l'erreur de la $n$e somme partielle est au maximum le premier terme omis, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. Elle s'applique uniquement aux séries alternées répondant aux conditions du test, et permet de choisir combien de termes garantissent une précision cible.