Representing Functions as Power Series · Représenter des fonctions comme des séries entières
| English | Français |
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| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | série entière |
Reusing known series to build new ones
- You don't have to compute every Taylor series from derivatives. Manipulate the ones you know.
- Start from the geometric series $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ or the $e^x,\sin,\cos$ series.
- Substitute, multiply, differentiate, or integrate to represent a new function as a power series 幂级数.
- It's algebra on series — fast and clever.
Réutiliser des séries connues pour en créer de nouvelles
- Vous n'avez pas à calculer chaque série de Taylor à partir des dérivées. Manipulez celles que vous connaissez.
- Commencez par la série géométrique $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ ou la série $e^x,\sin,\cos$.
- Substituez, multipliez, dérivez ou intégrez pour représenter une nouvelle fonction comme une série entière 幂级数.
- C'est de l'algèbre sur les séries — rapide et ingénieux.
Substitution and multiplication
- Substitute an expression for $x$: replace $x$ with $-x^2$ in $\frac1{1-x}$ to get $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multiply a series by a power of $x$ or a constant: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Each move keeps a valid power series (adjust the interval of convergence for substitutions).
- No new derivatives needed — just plug and combine.
Substitution et multiplication
- Substituez une expression pour $x$ : remplacez $x$ par $-x^2$ dans $\frac1{1-x}$ pour obtenir $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multipliez une série par une puissance de $x$ ou une constante : $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Chaque opération conserve une série entière valide (ajustez l'intervalle de convergence pour les substitutions).
- Aucune nouvelle dérivée nécessaire — il suffit de substituer et combiner.
Built from the geometric series · Construit à partir de la série géométrique
y = a / (1 − b·x)
Substituting $-x^2$ into · dans $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ builds the series for $\tfrac{1}{1+x^2}$ — no new derivatives needed. · Substituer $-x^2$ dans $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ construit la série pour $\tfrac{1}{1+x^2}$ — aucune nouvelle dérivée requise.
Substituting $u=-x^2$ into · dans $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ gives $\tfrac{1}{1+x^2}=$ · Substituer $u=-x^2$ dans $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ donne $\tfrac{1}{1+x^2}=$
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
Which moves generate new power series from known ones? · Quels mouvements génèrent de nouvelles séries entières à partir de connues ?
Substitute, scale/multiply, differentiate, integrate — not random reordering. · Substituer, mettre à l'échelle/multiplier, dériver, intégrer — pas de réarrangement aléatoire.
Differentiating and integrating term by term
- Inside its interval of convergence, a power series can be differentiated or integrated term by term.
- Integrate $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ to get $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Differentiate a series to get the series of the derivative.
- These moves generate famous series (like $\arctan$ and $\ln(1+x)$) from simpler ones.
Dérivation et intégration terme par terme
- À l'intérieur de son intervalle de convergence, une série entière peut être dérivée ou intégrée terme par terme.
- Intégrez $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ pour obtenir $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Dérivez une série pour obtenir la série de sa dérivée.
- Ces opérations génèrent des séries célèbres (comme $\arctan$ et $\ln(1+x)$) à partir de séries plus simples.
Within its interval of convergence, a power series can be differentiated and integrated term by term. · Dans son intervalle de convergence, une série entière peut être dérivée et intégrée terme à terme.
A valid move inside the interval of convergence. · Un mouvement valide à l'intérieur de l'intervalle de convergence.
Integrating $\sum(-1)^n x^{2n}$ term by term gives the series for... · Intégrer $\sum(-1)^n x^{2n}$ terme à terme donne la série pour...
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
A powerful toolkit
- Substitute, scale, multiply, differentiate, integrate — five moves, endless new series.
- This is often far faster than computing high derivatives directly.
- The new series inherits (roughly) the radius of convergence of the one you started from.
- Recognizing which move to apply is the real skill.
Une boîte à outils puissante
- Substituer, mettre à l'échelle, multiplier, dériver, intégrer — cinq opérations, infinité de nouvelles séries.
- C'est souvent bien plus rapide que de calculer directement des dérivées d'ordre élevé.
- La nouvelle série hérite (plus ou moins) du rayon de convergence de celle de départ.
- Reconnaître quelle opération appliquer est la véritable compétence.
Integrating a power series term by term introduces a constant ____, fixed by a known value. · Intégrer une série entière terme à terme introduit une constante ____, fixée par une valeur connue.
E.g. $\arctan 0=0$ fixes $C=0$. · Ex. $\arctan 0=0$ fixe $C=0$.
Substituting $x\to -x^2$ can change the interval of convergence. · Substituer $x\to -x^2$ peut changer l'intervalle de convergence.
Re-derive the interval in the new variable. · Rédérivez l'intervalle dans la nouvelle variable.
Term-by-term differentiation and integration are valid only within the interval of convergence (and integrating adds a $+C$ — pin it down with a known value, e.g. $\arctan 0=0$). When you substitute (like $x\to -x^2$), the interval of convergence changes too — re-derive it from the new variable.
La dérivation et l'intégration terme par terme sont valides uniquement à l'intérieur de l'intervalle de convergence (et l'intégration ajoute une $+C$ — fixez-la avec une valeur connue, ex. $\arctan 0=0$). Quand vous substituez (comme $x\to -x^2$), l'intervalle de convergence change aussi — redérivez-le à partir de la nouvelle variable.
Find a power series for $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Start from $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ and substitute $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (for $|x|<1$).
Trouvez une série entière pour $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Partez de $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ et substituez $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (pour $|x|<1$).
To represent a function as a power series, manipulate a known series: substitute, multiply/scale, or differentiate/integrate term by term (valid within the interval of convergence; integration adds $+C$). E.g. substituting into $\frac{1}{1-x}$ and integrating yields the series for $\frac{1}{1+x^2}$ and $\arctan x$.
Pour représenter une fonction comme une série entière, manipulez une série connue : substituez, multipliez/mettez à l'échelle ou dérivez/intégrez terme par terme (valide dans l'intervalle de convergence ; l'intégration ajoute $+C$). Ex. : la substitution dans $\frac{1}{1-x}$ et l'intégration donnent la série pour $\frac{1}{1+x^2}$ et $\arctan x$.