The nth Term Test for Divergence · Test du n-ième terme pour la divergence
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| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | Test du terme n-ième |
A quick way to prove divergence
- Before running a fancy test, do the cheapest check: look at the terms.
- The nth Term Test 通项判别法 (or Divergence Test) uses the limit of the terms $a_n$.
- If the terms don't shrink to $0$, the series can't converge — it diverges immediately.
- It's the first thing to try, and it only ever proves divergence.
Un moyen rapide de prouver la divergence
- Avant de lancer un test compliqué, faites la vérification la moins chère : regardez les termes.
- Le Test du nth Terme 通项判别法 (ou Test de Divergence) utilise la limite des termes $a_n$.
- Si les termes ne diminuent pas vers $0$, la série ne peut pas converger — elle diverge immédiatement.
- C'est la première chose à essayer, et elle ne prouve jamais que la divergence.
The test
- Compute $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (or the limit doesn't exist), the series $\sum a_n$ diverges.
- Intuition: if you keep adding pieces that don't shrink to $0$, the total can never settle.
- One limit computation, and you may be done.
Le test
- Calculez $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (ou la limite n'existe pas), la série $\sum a_n$ diverge.
- Intuition : si vous ajoutez constamment des morceaux qui ne diminuent pas vers $0$, le total ne peut jamais se stabiliser.
- Un seul calcul de limite, et vous pouvez avoir fini.
Terms that don't reach zero · Termes qui n'atteignent pas zéro
If a series' terms level off at a nonzero value, the sum can never settle — the nth Term Test proves divergence. · Si les termes d'une série se stabilisent à une valeur non nulle, la somme ne peut jamais se stabiliser — le test du n-ième terme prouve la divergence.
If $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, then $\sum a_n$... · Si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, alors $\sum a_n$...
Nonzero term limit → divergence. · Limite de terme non nulle → divergence.
It can never prove convergence
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, the test is inconclusive — it tells you nothing.
- The series might converge or diverge; you must use another test.
- The harmonic series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges — proof the test can't confirm convergence.
- So a "$0$" limit is a dead end for this test, not a green light.
Il ne peut jamais prouver la convergence
- Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, le test est sans conclusion — il ne vous dit rien.
- La série peut converger ou diverger ; vous devez utiliser un autre test.
- La série harmonique $\sum\tfrac1n$ a $a_n\to0$ mais diverge — preuve que le test ne peut pas confirmer la convergence.
- Donc une limite « $0$ » est une impasse pour ce test, pas un feu vert.
If $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, the nth Term Test is... · Si $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, le test du n-ième terme est...
It only proves divergence; a $0$ limit tells you nothing. · Il ne prouve que la divergence ; une limite $0$ ne vous dit rien.
The nth Term Test can prove a series converges. · Le test du n-ième terme peut prouver qu'une série converge.
It can only prove divergence. · Il ne peut prouver que la divergence.
The series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges. This shows the nth Term Test... · La série $\sum\tfrac1n$ a un $a_n\to0$ mais diverge. Cela montre que le test du n-ième terme...
A $0$ limit doesn't guarantee convergence. · Une limite $0$ ne garantit pas la convergence.
Where it fits in the strategy
- Always run the nth Term Test first — it's fast and can save you a hard test.
- Terms not $\to0$? Done: diverges.
- Terms $\to0$? Move on to a real convergence test (geometric, integral, comparison, ratio, alternating).
- It's a filter, not a full answer.
Où cela s'inscrit dans la stratégie
- Exécutez toujours le Test du terme n-ième en premier — c'est rapide et peut vous faire économiser un test difficile.
- Termes non $\to0$ ? Terminé : divergence.
- Termes $\to0$ ? Passez à un vrai test de convergence (géométrique, intégral, comparaison, rapport, alterné).
- C'est un filtre, pas une réponse complète.
For · Pour $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. So the series... · Pour $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Donc la série...
$\tfrac12\neq0$ → diverges. · $\tfrac12\neq0$ → diverge.
As a fast filter, run the nth Term Test ____ among the convergence tests. · En tant que filtre rapide, exécutez le test du n-ième terme ____ parmi les tests de convergence.
It's the cheapest divergence check. · C'est le test de divergence le moins coûteux.
The nth Term Test can only prove divergence. If $\lim a_n=0$, it is inconclusive — do not conclude convergence. The single most common misuse is "$a_n\to0$, so it converges" — wrong; $\sum\frac1n$ is the counterexample.
Le Test du nth Terme peut uniquement prouver la divergence. Si $\lim a_n=0$, il est inconclusif — ne concluez pas à la convergence. L'abus le plus courant est « $a_n\to0$, donc elle converge » — faux ; $\sum\frac1n$ est le contre-exemple.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Terms: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Since the limit is $\tfrac12\neq0$, the series diverges by the nth Term Test.
La série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge-t-elle ?
- Termes : $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limite : $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Puisque la limite est $\tfrac12\neq0$, la série diverge selon le Test du terme n-ième.
The nth Term Test: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (or DNE), then $\sum a_n$ diverges. If $\lim a_n=0$, the test is inconclusive (it never proves convergence). Run it first as a fast divergence filter.
Le Test du terme n-ième : si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (ou DNE), alors $\sum a_n$ diverge. Si $\lim a_n=0$, le test est sans conclusion (il ne prouve jamais la convergence). Exécutez-le en premier comme un filtre rapide de divergence.