Integral Test for Convergence · Test intégral pour la convergence
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| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | Test intégral |
A series and an integral that rise or fall together
- If a series' terms come from a nice decreasing function, its fate matches that function's integral.
- The Integral Test 积分判别法 compares $\sum a_n$ with $\int f(x)\,dx$, where $a_n=f(n)$.
- Picture the terms as rectangle areas — they're bounded by the area under the curve.
- So the improper integral converging (or not) forces the series to do the same.
Une série et une intégrale qui montent ou descendent ensemble
- Si les termes d'une série proviennent d'une fonction décroissante « bien » (positive, continue et décroissante), son sort correspond à celui de son intégrale.
- Le Test Intégral 积分判别法 compare $\sum a_n$ avec $\int f(x)\,dx$, où $a_n=f(n)$.
- Imaginez les termes comme des aires de rectangles — ils sont encadrés par l'aire sous la courbe.
- Ainsi, la convergence (ou non) de l'intégrale impropre force la série à faire de même.
The conditions
- The test needs $f$ to be positive, continuous, and decreasing for $x\ge$ some point.
- Then define $a_n=f(n)$ and compare with the improper integral.
- These conditions let the rectangles sandwich the area under $f$.
- Check all three before applying — a non-decreasing $f$ breaks the comparison.
Les conditions
- Le test nécessite que $f$ soit positif, continu et décroissant pour $x\ge$ un certain point.
- Ensuite, définissez $a_n=f(n)$ et comparez avec l'intégrale impropre.
- Ces conditions permettent aux rectangles de coincer l'aire sous $f$.
- Vérifiez les trois conditions avant d'appliquer le test : une fonction $f$ non décroissante brise la comparaison.
The Integral Test requires $f$ to be which on $[1,\infty)$? · Le Test Intégral exige que $f$ soit lequel sur $[1,\infty)$ ?
Positive, continuous, decreasing — not necessarily a polynomial. · Positif, continu, décroissant — pas nécessairement un polynôme.
The Integral Test connects a series to an integral by setting $a_n=f(\ \_\_\ )$. · Le Test intégral relie une série à une intégrale en posant $a_n=f(\ \_\_\ )$.
The terms are the function sampled at integers. · Les termes sont la fonction échantillonnée aux entiers.
The conclusion
- $\displaystyle\sum a_n$ and $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge — same fate.
- Compute the improper integral: if it's finite, the series converges; if infinite, it diverges.
- (The series' sum is not the integral's value — they only share convergence, not the number.)
- One improper integral settles the whole series.
La conclusion
- $\displaystyle\sum a_n$ et $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ convergent ou divergent tous deux — même sort.
- Calculez l'intégrale impropre : si elle est finie, la série converge ; si elle est infinie, elle diverge.
- (La somme de la série n'est pas la valeur de l'intégrale — ils partagent seulement la convergence, pas le nombre.)
- Une seule intégrale impropre détermine le comportement de toute la série.
The Integral Test says $\sum a_n$ and · et $\int_1^\infty f\,dx$... · Le Test intégral dit que $\sum a_n$ et $\int_1^\infty f\,dx$...
They share fate, not value. · Elles partagent le sort, pas la valeur.
The value of the improper integral equals the sum of the series. · La valeur de l'intégrale impropre égale la somme de la série.
They share convergence, not the value ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$). · Elles partagent la convergence, pas la valeur ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Why it works
- The rectangles of area $a_n$ fit just above or below the curve $y=f(x)$.
- So the series is squeezed between $\int f$ and $\int f + a_1$ — finite integral means finite series.
- This is a rigorous "area comparison," turning a sum into an integral you can evaluate.
- It's especially handy for terms like $\tfrac1{n^p}$ and $\tfrac1{n\ln n}$.
Pourquoi ça marche
- Les rectangles d'aire $a_n$ se situent juste au-dessus ou en dessous de la courbe $y=f(x)$.
- Ainsi, la série est pincée entre $\int f$ et $\int f + a_1$ — une intégrale finie signifie une série finie.
- C'est une comparaison d'aires rigoureuse, transformant une somme en une intégrale que vous pouvez évaluer.
- Il est particulièrement utile pour des termes comme $\tfrac1{n^p}$ et $\tfrac1{n\ln n}$.
Rectangles bounded by the curve · Rectangles bornés par la courbe
y = 1/x²
The term-rectangles fit against the area under $f$, so the series and the integral converge or diverge together. · Les rectangles-termes s'ajustent contre l'aire sous $f$, donc la série et l'intégrale convergent ou divergent ensemble.
Since $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite), the series $\sum\tfrac1{n^2}$... · Puisque $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (fini), la série $\sum\tfrac1{n^2}$...
Finite integral → convergent series. · Intégrale finie → série convergente.
If $\int_1^\infty f\,dx$ diverges (to $\infty$), then $\sum a_n$... · Si $\int_1^\infty f\,dx$ diverge (vers $\infty$), alors $\sum a_n$...
Same fate: divergent integral → divergent series. · Même sort : intégrale divergente → série divergente.
The Integral Test needs $f$ positive, continuous, and decreasing — verify all three. And the test shares only convergence/divergence, not the value: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ in general. Don't report the integral's value as the series' sum.
Le Test Intégral exige que $f$ soit positif, continu et décroissant — vérifiez les trois. Et le test ne partage que la convergence/divergence, pas la valeur : $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ en général. Ne rapportez pas la valeur de l'intégrale comme étant la somme de la série.
Test $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ with the Integral Test.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ is positive, continuous, decreasing for $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite, from lesson 6.13).
- The integral converges, so the series converges. (Its sum is $\tfrac{\pi^2}{6}$, not $1$.)
Testez $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ avec le Test Intégral.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ est positif, continu, décroissant pour $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (fini, de la leçon 6.13).
- L'intégrale converge, donc la série converge. (Sa somme est $\tfrac{\pi^2}{6}$, pas $1$.)
The Integral Test: if $f$ is positive, continuous, and decreasing with $a_n=f(n)$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ share the same fate (both converge or both diverge). Evaluate the improper integral to decide — but its value is not the series' sum.
Le Test Intégral : si $f$ est positif, continu et décroissant avec $a_n=f(n)$, alors $\sum a_n$ et $\int_1^\infty f(x)\,dx$ partagent le même sort (tous deux convergent ou divergent). Évaluez l'intégrale impropre pour décider — mais sa valeur n'est pas la somme de la série.