Alternating Series Test for Convergence · Test des séries alternées pour la convergence
| English | Français |
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| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | série alternée |
Series whose signs flip
- Some series alternate sign: $+,-,+,-,\dots$, like $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- These are alternating series 交错级数, and they have their own gentle convergence test.
- The sign flips let terms partly cancel, so alternating series converge more easily.
- One test with two simple conditions handles them.
Séries dont les signes s'inversent
- Certaines séries alternent les signes : $+,-,+,-,\dots$, comme $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- Ce sont des séries alternées 交错级数, et elles possèdent leur propre test de convergence doux.
- L'inversion de signe permet aux termes de s'annuler partiellement, donc les séries alternées convergent plus facilement.
- Un seul test avec deux conditions simples les gère.
The Alternating Series Test
- An alternating series $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if both:
- 1. the terms decrease: $b_{n+1}\le b_n$, and
- 2. the terms shrink to zero: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- If both hold, the alternating series converges. Simple as that.
Le Test des Séries Alternées
- Une série alternée $\sum(-1)^n b_n$ (avec $b_n>0$) converge si les deux :
- 1. les termes diminuent : $b_{n+1}\le b_n$, et
- 2. les termes tendent vers zéro : $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- Si les deux conditions sont remplies, la série alternée converge. Simple comme ça.
Shrinking alternating terms · Termes alternés décroissants
If the positive part decreases to $0$, the sign flips let the partial sums close in — the series converges. · Si la partie positive diminue vers $0$, le changement de signe fait que les sommes partielles se rapprochent — la série converge.
The Alternating Series Test requires the positive terms $b_n$ to be which? · Le Test des Séries Alternées exige que les termes positifs $b_n$ soient lesquels ?
Decreasing and limit $0$. · Décroissante et limite $0$.
Why the flips help
- Each new term is smaller than the last and opposite in sign, so it partly undoes the previous one.
- The partial sums bounce, but by shrinking amounts — closing in on a limit.
- That's why $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converges, even though $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmonic) diverges.
- The alternation is what tames the harmonic terms.
Pourquoi les inversions aident
- Chaque nouveau terme est plus petit que le précédent et de signe opposé, donc il annule partiellement le précédent.
- Les sommes partielles oscillent, mais par des quantités décroissantes — se rapprochant d'une limite.
- C'est pourquoi $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converge, même si $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmonique) diverge.
- L'alternation est ce qui dompte les termes harmoniques.
The alternating harmonic series $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$... · La série harmonique alternée $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
$b_n=\tfrac1n$ decreases to $0$ → converges. · $b_n=\tfrac1n$ diminue vers $0$ → converge.
The sign ____ let the partial sums close in on a limit. · Le signe ____ permet aux sommes partielles de se rapprocher d'une limite.
Alternation causes partial cancellation. · L'alternation cause une annulation partielle.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converges even though $\sum\tfrac1n$ diverges. · $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converge bien que $\sum\tfrac1n$ diverge.
The alternation tames the harmonic terms. · L'alternation dompte les termes harmoniques.
Applying it cleanly
- Strip off the $(-1)^n$ and check the positive part $b_n$ for the two conditions.
- Is $b_n$ decreasing? Does $b_n\to0$? If yes to both, converges.
- If $b_n$ does not go to $0$, the series diverges (by the nth Term Test instead).
- The test is quick once you isolate $b_n$.
Application propre
- Retirez le $(-1)^n$ et vérifiez la partie positive $b_n$ pour les deux conditions.
- Est-ce que $b_n$ est décroissant ? Est-ce que $b_n\to0$ ? Si oui aux deux, converge.
- Si $b_n$ ne tend pas vers $0$, la série diverge (par le Test du Terme N-ième).
- Le test est rapide une fois que vous isolez $b_n$.
You check the two conditions on the positive part $b_n$ after removing $(-1)^n$. · Vous vérifiez les deux conditions sur la partie positive $b_n$ après avoir retiré $(-1)^n$.
Isolate $b_n$ first. · Isoler $b_n$ d'abord.
If $b_n\not\to0$ for an alternating series, it... · Si $b_n\not\to0$ pour une série alternée, elle...
Terms not $\to0$ → diverges regardless of alternation. · Termes non $\to0$ → diverge peu importe l'alternation.
Apply the two conditions to the positive terms $b_n$ (after removing the $(-1)^n$). Both are needed: decreasing and limit $0$. If $b_n\not\to0$, the series diverges (nth Term Test). And this test proves convergence of the alternating series; it says nothing about $\sum b_n$ or $\sum|a_n|$ (see absolute vs. conditional, lesson 10.9).
Appliquez les deux conditions aux termes positifs $b_n$ (après avoir retiré le $(-1)^n$). Les deux sont nécessaires : décroissant et limite $0$. Si $b_n\not\to0$, la série diverge (Test du nth Terme). Et ce test prouve la convergence de la série alternée ; il ne dit rien sur $\sum b_n$ ou $\sum|a_n|$ (voir absolu vs conditionnel, leçon 10.9).
Does the alternating harmonic series $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ converge?
- Positive part $b_n=\tfrac1n$. Decreasing? Yes, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limit $0$? Yes, $\tfrac1n\to0$.
- Both conditions hold, so the series converges by the Alternating Series Test.
- (Even though the plain harmonic series diverges.)
La série harmonique alternée $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ converge-t-elle ?
- Partie positive $b_n=\tfrac1n$. Décroissante ? Oui, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limite $0$ ? Oui, $\tfrac1n\to0$.
- Les deux conditions sont remplies, donc la série converge par le Test de la Série Alternée.
- (Même si la série harmonique simple diverge.)
The Alternating Series Test: $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if the terms $b_n$ are decreasing and $b_n\to0$. Check both on the positive part $b_n$. The alternation lets series like $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge where the non-alternating version diverges.
Le Test de la Série Alternée : $\sum(-1)^n b_n$ (avec $b_n>0$) converge si les termes $b_n$ sont décroissants et $b_n\to0$. Vérifiez les deux sur la partie positive $b_n$. L'alternation permet à des séries comme $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ de converger là où la version non alternée diverge.