Comparison Tests for Convergence · Tests de comparaison pour la convergence
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| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | tests de comparaison |
Judging a series by a known neighbor
- If a mystery series looks like a series you already understand, compare them.
- The comparison tests 比较判别法 measure an unknown positive series against a known one (usually a p-series or geometric series).
- Bigger than something that diverges → diverges. Smaller than something that converges → converges.
- Two flavors: a direct comparison and a limit comparison.
Juger une série par un voisin connu
- Si une série mystère ressemble à une série que vous connaissez déjà, comparez-les.
- Les tests de comparaison 比较判别法 mesurent une série positive inconnue contre une connue (généralement une série p ou une série géométrique).
- Plus grand que quelque chose qui diverge → diverge. Plus petit que quelque chose qui converge → converge.
- Deux variétés : une comparaison directe et une comparaison par la limite.
Direct Comparison Test
- For positive terms with $0\le a_n\le b_n$:
- If $\sum b_n$ converges, then the smaller $\sum a_n$ converges too.
- If $\sum a_n$ diverges, then the bigger $\sum b_n$ diverges too.
- Squeeze from the right side: bounded above by a convergent series, or below by a divergent one.
Test de Comparaison Directe
- Pour les termes positifs avec $0\le a_n\le b_n$ :
- Si $\sum b_n$ converge, alors la plus petite $\sum a_n$ converge aussi.
- Si $\sum a_n$ diverge, alors la plus grande $\sum b_n$ diverge aussi.
- Pincez par le côté droit : borné au-dessus par une série convergente, ou en dessous par une série divergente.
Compare to a known series · Comparer à une série connue
A positive series bounded by a known convergent (or divergent) series shares its fate — pick the dominant comparison. · Une série positive bornée par une série connue (convergente ou divergente) partage son sort — choisissez la comparaison dominante.
If $0\le a_n\le b_n$ and · et $\sum b_n$ converges, then $\sum a_n$... · Si $0\le a_n\le b_n$ et $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$...
Smaller than a convergent series → converges. · Plus petite qu'une série convergente → converge.
The comparison tests require positive terms. · Les tests de comparaison exigent des termes positifs.
They compare magnitudes of positive series. · Ils comparent les magnitudes de séries positives.
Limit Comparison Test
- Sometimes inequalities are awkward; instead compare growth rates.
- Take $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. If $L$ is a finite positive number ($0
- Pick $b_n$ from the dominant terms of $a_n$ (e.g. compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ with $\tfrac1{n^2}$).
- The limit being positive and finite means they behave alike.
Test de Comparaison par la Limite
- Parfois, les inégalités sont gênantes ; comparez plutôt les taux de croissance.
- Prenez $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. Si $L$ est un nombre fini positif ($0
- Choisissez $b_n$ à partir des termes dominants de $a_n$ (ex. : comparez $\tfrac{n}{n^3+1}$ avec $\tfrac1{n^2}$).
- Le fait que la limite soit positive et finie signifie qu'ils se comportent de manière similaire.
In the Limit Comparison Test, if $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ with $0
A finite positive limit → same convergence behavior. · Une limite positive finie → même comportement de convergence.
For the Limit Comparison Test to conclude, the limit $L$ must be finite and ____. · Pour que le Test de comparaison par la limite aboutisse, la limite $L$ doit être finie et ____.
$0
Choosing the comparison series
- Look at the dominant behavior of $a_n$ for large $n$ — the highest powers on top and bottom.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ behaves like $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare with the p-series $\tfrac1{n^2}$.
- Then either bound it directly or take the limit ratio.
- The right comparison series turns a scary series into a known one.
Choisir la série de comparaison
- Regardez le comportement dominant de $a_n$ pour grandes valeurs de $n$ — les puissances les plus élevées en haut et en bas.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ se comporte comme $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — comparez avec la série p $\tfrac1{n^2}$.
- Ensuite, soit bornez-le directement, soit prenez le rapport de limites.
- La bonne série de comparaison transforme une série effrayante en une série connue.
To test $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, a good comparison series is... · Pour tester $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, une bonne série de comparaison est...
Dominant behavior $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → compare with $\tfrac1{n^2}$. · Comportement dominant $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → comparer avec $\tfrac1{n^2}$.
Since $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ and · et $\sum\tfrac1{n^2}$ converges, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$... · Puisque $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ et $\sum\tfrac1{n^2}$ convergent, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
Bounded above by a convergent series → converges. · Bornée au-dessus par une série convergente → converge.
Comparison tests need positive terms. For Direct Comparison, the inequality must point the right way: to prove convergence, bound above by a convergent series; to prove divergence, bound below by a divergent one. For Limit Comparison, the limit $L$ must be finite and positive ($0
Les tests de comparaison nécessitent des termes positifs. Pour la Comparaison Directe, l'inégalité doit aller dans le bon sens : pour prouver la convergence, bornez au-dessus par une série convergente ; pour prouver la divergence, bornez en dessous par une série divergente. Pour la Comparaison par la Limite, la limite $L$ doit être finie et positive ($0
Does $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- For large $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ behaves like $\dfrac{1}{n^2}$ (a convergent p-series).
- Direct: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, and $\sum\tfrac1{n^2}$ converges → so does the smaller series.
- Therefore $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converges.
La série $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge-t-elle ?
- Pour grandes valeurs de $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ se comporte comme $\dfrac{1}{n^2}$ (une série p convergente).
- Direct : $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, et $\sum\tfrac1{n^2}$ converge → donc la plus petite série converge aussi.
- Par conséquent, $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge.
The comparison tests judge a positive series against a known one. Direct: bound above by a convergent series (→ converges) or below by a divergent one (→ diverges). Limit: if $\lim\frac{a_n}{b_n}$ is finite and positive, both share the same fate. Choose $b_n$ from $a_n$'s dominant terms.
Les tests de comparaison jugent une série positive par rapport à une connue. Direct : bornez au-dessus par une série convergente (→ converge) ou en dessous par une divergente (→ diverge). Limite : si $\lim\frac{a_n}{b_n}$ est fini et positif, les deux partagent le même sort. Choisissez $b_n$ à partir des termes dominants de $a_n$.