Radius and Interval of Convergence of Power Series · Rayon et intervalle de convergence des séries entières
| English | Français |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | série entière |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | rayon de convergence |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalle de convergence |
Where does a power series make sense?
- A power series 幂级数 is an infinite polynomial: $\sum c_n(x-a)^n$ — like a Taylor series with variable $x$.
- It converges for some $x$ and diverges for others. Which $x$?
- The answer is an interval centered at $a$, measured by the radius of convergence 收敛半径 $R$.
- Finding $R$ and the exact endpoints is the goal.
Où une série entière a-t-elle du sens ?
- Une série entière 幂级数是无限多项式：$\sum c_n(x-a)^n$ — comme une série de Taylor avec variable $x$.
- Elle converge pour certains $x$ et diverge pour d'autres. Quels $x$ ?
- La réponse est un intervalle centré sur $a$, mesuré par le rayon de convergence 收敛半径 $R$.
- Trouver $R$ et les bornes exactes est l'objectif.
The radius of convergence
- A power series converges for $|x-a|
- $R$ is the radius: the series converges within distance $R$ of the center $a$.
- Three possibilities: $R=0$ (only at $a$), $R=\infty$ (all $x$), or a finite $R$.
- Find $R$ with the Ratio Test on the terms of the series.
Le rayon de convergence
- Une série entière converge pour $|x-a|
- $R$ est le rayon : la série converge à une distance $R$ du centre $a$.
- Trois possibilités : $R=0$ (seulement à $a$), $R=\infty$ (tous les $x$), ou un intervalle fini $R$.
- Trouvez $R$ avec le Test du rapport sur les termes de la série.
The interval of convergence · L'intervalle de convergence
A power series converges within radius $R$ of its center — the interval runs from $a-R$ to · à $a+R$, endpoints checked separately. · Une série entière converge dans un rayon $R$ autour de son centre — l'intervalle va de $a-R$ à $a+R$, les extrémités étant vérifiées séparément.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for... · Une série entière $\sum c_n(x-a)^n$ converge pour...
Within radius $R$ of the center $a$. · Dans un rayon $R$ du centre $a$.
The radius of convergence $R$ can be... · Le rayon de convergence $R$ peut être...
A radius is never negative. · Un rayon n'est jamais négatif.
Getting R from the Ratio Test
- Apply the Ratio Test: set $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ and solve for $|x-a|$.
- That inequality has the form $|x-a|
- The center is $a$; the interval runs from $a-R$ to $a+R$.
- The ratio test does the heavy lifting — the algebra just isolates $|x-a|$.
Obtenir R du Test du rapport
- Appliquez le Test du rapport : posez $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ et résolvez pour $|x-a|$.
- Cette inégalité a la forme $|x-a|
- Le centre est $a$ ; l'intervalle s'étend de $a-R$ à $a+R$.
- Le test du rapport effectue le travail principal — l'algèbre ne fait qu'isoler $|x-a|$.
For · Pour $\sum\tfrac{x^n}{n}$, the Ratio Test gives $|x|<1$. What is $R$? · Pour $\sum\tfrac{x^n}{n}$, le Test du rapport donne $|x|<1$. Quel est $R$ ?
$R=1$.
The radius of convergence is typically found using the... · Le rayon de convergence est généralement trouvé en utilisant le...
The Ratio Test on the terms reveals $|x-a|
Check the endpoints separately
- The Ratio Test is inconclusive at the endpoints $x=a\pm R$ (there $L=1$).
- So test each endpoint individually by plugging it in and using another series test.
- The interval of convergence 收敛区间 may include neither, one, or both endpoints.
- Write the interval with the correct open/closed brackets after checking both ends.
Vérifiez les bornes séparément
- Le Test du rapport est inconclusive aux bornes $x=a\pm R$ (là, $L=1$).
- Testez donc chaque borne individuellement en la substituant et en utilisant un autre test de série.
- L'intervalle de convergence 收敛区间 peut inclure aucune, une ou les deux bornes.
- Écrivez l'intervalle avec les bons crochets ouverts/fermés après avoir vérifié les deux extrémités.
The Ratio Test is inconclusive at the endpoints, which must be tested separately. · Le Test du rapport est inconclusive aux extrémités, qui doivent être testées séparément.
At $x=a\pm R$, $L=1$; use another test. · En $x=a\pm R$, $L=1$ ; utilisez un autre test.
For · Pour $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ diverges, $x=-1$ converges. The interval of convergence is... · Pour $\sum\tfrac{x^n}{n}$ : $x=1$ diverge, $x=-1$ converge. L'intervalle de convergence est...
Include $-1$ (converges), exclude $1$ (diverges). · Inclure $-1$ (converge), exclure $1$ (diverge).
The Ratio Test gives the radius but is inconclusive at the endpoints — you must test $x=a-R$ and $x=a+R$ separately (they can converge or diverge independently). Don't assume the interval is open or closed; the answer might be $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Check both ends every time.
Le Test du Rapport donne le rayon mais est inconclusif aux extrémités — vous devez tester $x=a-R$ et $x=a+R$ séparément (elles peuvent converger ou diverger indépendamment). Ne supposez pas que l'intervalle est ouvert ou fermé ; la réponse pourrait être $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Vérifiez les deux extrémités à chaque fois.
Find the radius and interval of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Ratio Test: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, so $R=1$.
- Endpoints: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverges); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converges).
- Interval of convergence: $[-1,1)$.
Trouvez le rayon et l'intervalle de convergence de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Test du rapport : $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, donc $R=1$.
- Bornes : $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverge) ; $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converge).
- Intervalle de convergence : $[-1,1)$.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $|x-a|
Une série entière $\sum c_n(x-a)^n$ converge pour $|x-a|