Working with Geometric Series · Travailler avec les séries géométriques
| English | Français |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | suite géométrique |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rapport constant |
The one series you can sum exactly
- Most series are hard to add up. The geometric series 几何级数 is the friendly exception — it has a formula.
- Each term is the previous one times a fixed common ratio 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- It's the infinite version of the geometric sequences you already know.
- And there's a clean rule for exactly when it converges and to what.
La seule série que vous pouvez sommer exactement
- La plupart des séries sont difficiles à additionner. La série géométrique 几何级数 est l'exception amicale — elle a une formule.
- Chaque terme est le précédent multiplié par un taux commun 公比 fixe $r$ : $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- C'est la version infinie des suites géométriques que vous connaissez déjà.
- Et il y a une règle propre pour savoir exactement quand elle converge et vers quoi.
A geometric sequence · Une suite géométrique
A geometric series adds terms multiplied by $r$ each time — it converges (to $a/(1-r)$) exactly when $|r|<1$. · Une série géométrique ajoute des termes multipliés par $r$ à chaque fois — elle converge (vers $a/(1-r)$) exactement quand $|r|<1$.
Converges only when $|r|<1$
- A geometric series converges exactly when $|r|<1$ (the ratio is a fraction).
- If $|r|\ge1$, the terms don't shrink to $0$, so it diverges.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converges; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverges.
- The single number $|r|$ decides everything.
Converge uniquement quand $|r|<1$
- Une série géométrique converge exactement quand $|r|<1$ (le taux est une fraction).
- Si $|r|\ge1$, les termes ne diminuent pas vers $0$, donc elle diverge.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converge ; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverge.
- Un seul nombre $|r|$ décide de tout.
A geometric series $\sum a r^n$ converges exactly when... · Une série géométrique $\sum a r^n$ converge exactement quand...
Converges iff the ratio is a fraction, $|r|<1$. · Converge si et seulement si le rapport est une fraction, $|r|<1$.
Which geometric series diverges? · Quelle série géométrique diverge ?
$r=2$ has $|r|\ge1$ → diverges. · $r=2$ a un $|r|\ge1$ → diverge.
The sum formula
- When it converges ($|r|<1$), the sum is
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ is the first term and $r$ the common ratio.
- Plug in and you get the exact infinite sum — no limits to compute by hand.
La formule de la somme
- Quand elle converge ($|r|<1$), la somme est
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ est le premier terme et $r$ le taux commun.
- Remplissez et vous obtenez la somme infinie exacte — pas besoin de calculer des limites à la main.
The sum of a convergent geometric series is... · La somme d'une série géométrique convergente est...
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ for $|r|<1$. · $\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ pour $|r|<1$.
The formula $\tfrac{a}{1-r}$ can be applied even when $|r|\ge1$. · La formule $\tfrac{a}{1-r}$ peut être appliquée même quand $|r|\ge1$.
Only when $|r|<1$ (convergent). · Seulement quand $|r|<1$ (convergente).
Getting $a$ and $r$ right
- $a$ is the actual first term of the series (whatever it starts at), not necessarily $1$.
- $r$ is the ratio between consecutive terms — divide any term by the one before it.
- If a series starts at $n=1$ instead of $n=0$, adjust $a$ to be that first term.
- With the right $a$ and $r$, the formula $\tfrac{a}{1-r}$ does the rest.
Obtenir $a$ et $r$ droits
- $a$ est le vrai premier terme de la série (ce qu'elle commence à), pas nécessairement $1$.
- $r$ est le ratio entre les termes consécutifs — divisez n'importe quel terme par celui d'avant.
- Si une série commence à $n=1$ au lieu de $n=0$, ajustez $a$ pour être ce premier terme.
- Avec les bons $a$ et $r$, la formule $\tfrac{a}{1-r}$ fait le reste.
Find $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (a decimal). · Trouver $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (un décimal).
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
In the formula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ is the ____ term of the series. · Dans la formule $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ est le terme ____ de la série.
$a$ is the actual first term. · $a$ est le véritable premier terme.
The formula $\frac{a}{1-r}$ applies only when $|r|<1$ — using it on a divergent geometric series gives a meaningless number. And $a$ is the first term as written, not always $1$: for $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, the first term is $\tfrac32$, not $3$.
La formule $\frac{a}{1-r}$ s'applique uniquement quand $|r|<1$ — l'utiliser sur une série géométrique divergente donne un nombre sans sens. Et $a$ est le premier terme tel qu'écrit, pas toujours $1$ : pour $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, le premier terme est $\tfrac32$, pas $3$.
Find the sum of $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- First term $a=5$, common ratio $r=\tfrac13$. Since $|r|<1$, it converges.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
Trouvez la somme de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- Premier terme $a=5$, taux commun $r=\tfrac13$. Puisque $|r|<1$, elle converge.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
A geometric series $\sum a\,r^n$ converges iff $|r|<1$, and then sums to $\frac{a}{1-r}$ (with $a$ the first term, $r$ the common ratio). If $|r|\ge1$ it diverges. It's the one series with an exact, easy sum.
Une série géométrique $\sum a\,r^n$ converge iff $|r|<1$, et alors somme à $\frac{a}{1-r}$ (avec $a$ le premier terme, $r$ le taux commun). Si $|r|\ge1$ elle diverge. C'est la seule série avec une somme exacte et facile.