GRE · GRE Subject Test · GRE Mathematics

Undergraduate GRE preparation. Local objectives within the reviewed ETS scope; this is original teaching, not an official test or score predictor.

Prerequisites: Exact algebra, trigonometry in radians, functions and inequalities.

• Use limits, continuity and differentiability
• Apply derivatives, integrals and the fundamental theorem
• Recognise Riemann sums and distinguish them from infinite series

continuity 连续性: Agreement of a function value with its limit.

convergence 收敛: Approach to a finite limiting value.

A limit describes values near a point, without requiring the function to be defined there. Continuity adds the requirement that the function value exists and agrees with the limit. Algebraic cancellation is valid only away from the cancelled zero, but can reveal a removable limit. One-sided limits must agree for a two-sided limit. For quotient limits, check the denominator and hypotheses before applying a rule; 0/0 is an indeterminate form, not an answer.

A derivative is a limit of difference quotients and implies continuity; the converse fails, as |x| at zero shows. Product, quotient and chain rules describe different structures: the derivative of f(g(x)) is f′(g(x))g′(x), not a product of unrelated values. Differentiating a composition a second time generally produces two terms. Check domains, nonzero denominators and differentiability assumptions before using a symbolic expression as a derivative.

The fundamental theorem says that the derivative of ∫ from a to x of a continuous integrand f(t) is f(x). With a variable upper bound h(x), multiply by h′(x); with two variable bounds, subtract the corresponding lower-bound contribution. A definite integral also arises as a limit of Riemann sums. Rewrite the sum as (1/n)Σf(k/n) before identifying the integral on [0,1], rather than treating n-dependent terms as constants.

For example Σ from k=1 to n of n/(n²+k²) equals (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), tending to ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. This limit uses continuity and the partition width 1/n. A series over an unbounded number of terms is a different limit: terms tending to zero do not alone guarantee convergence. For Σ1/k the partial sums diverge; compare, estimate or apply a valid series test instead of using the necessary term condition as sufficient.

For F(x)=integral from 0 to x² of e^t dt, the fundamental theorem and chain rule give F′(x)=e^(x²)·2x. At x=1, F′(1)=2e. The upper limit is x², so omitting 2x misses its rate of change.

A-level calculus is useful prerequisite material but does not cover the undergraduate analysis and applications tested here.

Let $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. Find $F'(x)$ and $F'(2)$. State why the theorem applies.

Worked solution

The integrand is continuous on the real line. The fundamental theorem and chain rule apply at both bounds:

Independently, an antiderivative is $t+t^3/3$. Thus $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, with the same derivative.

Find $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. Explain why this is a Riemann-sum limit. Then decide whether $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ converges.

Check after attempting

Rewrite each term as $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. The continuous function $f(t)=t/(1+t^2)$ on $[0,1]$ and mesh $1/n$ give

The harmonic series diverges: the block from $2^{j-1}+1$ through $2^j$ contains $2^{j-1}$ terms at least $1/2^j$, so each block adds at least $1/2$. Terms tending to zero is necessary but insufficient. The finite-sum integrand here depends on the scaled index; it is not the harmonic series.

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Prerequisites: Single-variable derivatives, dot products and iterated integration.

• Compute partial derivatives, gradients and directional derivatives
• Use multiple integrals and coordinate changes
• Use derivative conditions to distinguish planes from curved surfaces

gradient 梯度: Vector of partial derivatives.

Jacobian 雅可比行列式: The local area or volume scaling in a coordinate change.

A partial derivative changes one coordinate while fixing the others. For f=x²+3xy, f_x=2x+3y and f_y=3x. The gradient collects these derivatives; if f is differentiable, the directional derivative along a unit vector v is grad f·v. Normalise the direction before taking this dot product. A direction vector of length two would double the answer if used without normalisation.

Differentiability means a valid linear approximation, not merely the existence of some partial derivatives at one point. Continuous first partials in a neighbourhood are a sufficient condition. For a composition f(x(t),y(t)), the chain rule gives f_x x′+f_y y′. Second derivatives can introduce both direct and mixed terms; a zero mixed partial alone places no restriction on the pure second partials.

A multiple integral sums contributions over a specified region. Describe the region before choosing iterated limits; nonrectangular bounds may change when the order changes. In polar coordinates area is r dr dtheta, not just dr dtheta. A general coordinate change uses the absolute Jacobian determinant. Sign belongs to oriented vector quantities, while area and volume scaling use a nonnegative factor.

If both first partials of a globally defined function on R² are constant, f_x=a and f_y=b, integrating successively gives f=ax+by+c, a plane. This cannot be inferred from parallel straight level sets alone: e^x has vertical parallel level lines but a curved graph. Nor do f_xy=f_yx=0 force a plane: x²+y² is a counterexample. Distinguish first-derivative constancy from absent mixed dependence and from the shape of selected level sets.

For f(x,y)=x²+3y², gradient f=(2x,6y). At (1,1) this is (2,6). In direction (3,4), the unit vector is (3/5,4/5), giving directional derivative 2·3/5+6·4/5=6.

A non-unit direction vector gives a scaled directional rate, not the derivative per unit distance.

For $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$, find the directional derivative at $(1,-1)$ towards $(3,4)$. Evaluate $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ for the unit disk $D$.

Worked solution

The polynomial is differentiable. Normalise the direction: $u=(3/5,4/5)$. The gradient is $(2x+y,x+4y)$, hence $(1,-3)$ at the point.

Polar coordinates give $x^2+y^2=r^2$ and $dA=r\,dr\,d\theta$:

Define $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ away from the origin and $g(0,0)=0$. Both partial derivatives at the origin are zero. Is $g$ differentiable there? Is it continuous?

Check after attempting

Along each axis $g=0$, so both partials are zero. Continuity follows from $|xy|\le(x^2+y^2)/2$, which gives $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$. If differentiable, its linear derivative would be zero. Along $x=y=t\ne0$,

The required remainder ratio does not tend to zero. Thus continuity and existing partial derivatives do not establish differentiability.

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Prerequisites: Linear equations, matrix multiplication, polynomials and complex roots.

• Relate rank, nullity and solutions of linear systems
• Analyse vector spaces and linear transformations
• Compute eigenvalues, determinants and diagonalisation conditions

rank 秩: Dimension of the image of a linear map.

eigenvalue 特征值: A scalar satisfying Av=λv for a nonzero v.

A real vector space is closed under its specified addition and scalar multiplication and satisfies the vector-space axioms. A basis is an independent spanning list: every vector has a unique coordinate representation in that list. To test independence of matrix columns, solve the homogeneous system Ac=0; only the zero coefficient vector means independence. A spanning set can contain redundant vectors, so spanning alone does not make a basis.

Row reduction exposes pivots and free variables without changing the solution set of a linear system. Rank is the dimension of the column image, equivalently the number of pivots. Nullity is the kernel dimension: for a map from an n-dimensional domain, rank+nullity=n. In a nonhomogeneous system, a zero coefficient row with nonzero right side means inconsistency; free variables give infinitely many solutions only after consistency has been established. The codomain dimension need not equal rank.

A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, its kernel is zero and its rank equals its size. These statements do not require each entry to be nonzero. Triangular determinants are products of diagonal entries, so a matrix depending on a complex variable can be singular at complex roots absent from a real-only calculation. Row swaps reverse determinant sign; adding a multiple of one row to another leaves it unchanged. Check singularity before applying an inverse formula.

An eigenvector is nonzero and satisfies Av=λv, so eigenvalues are roots of det(A−λI). Diagonalisation requires a full independent eigenvector basis over the chosen field. Distinct eigenvalues give independent eigenvectors, while repeated eigenvalues may have too small an eigenspace. A real symmetric matrix has a real orthonormal eigenbasis. A real odd-dimensional matrix has at least one real eigenvalue because its real characteristic polynomial has odd degree; that alone does not imply diagonalisation or all eigenvalues real.

A=[[1,1],[0,1]] has characteristic polynomial (1−λ)². Eigenvectors satisfy y=0, so its eigenspace has dimension one. Two independent eigenvectors are needed to diagonalise a 2×2 matrix; A is not diagonalizable.

The algebraic multiplicity of an eigenvalue is not automatically the dimension of its eigenspace.

For $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ with $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, find bases of the kernel and image. Solve $T(v)=(3,6)$ and $T(v)=(3,7)$.

Worked solution

The second row is twice the first, so rank is one. The homogeneous equation gives $x=-2y-z$.

The two displayed vectors are independent. Every output is $(s,2s)$, and $(1,2)$ occurs; this is an image basis. Rank plus nullity is $1+2=3$, the domain dimension. For $(3,6)$, all solutions are $(3-2a-b,a,b)$, with $a,b\in\mathbb R$. For $(3,7)$ there is no solution, since $7\ne2\cdot3$.

Let $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Determine its eigenvalues, determinant and diagonalisation over $\mathbb R$ and $\mathbb C$. Find $A^n$ for integers $n\ge1$ without repeated multiplication.

Check after attempting

The characteristic polynomial is $(2-\lambda)^2$ and $\det A=4$. Solving $(A-2I)v=0$ gives $v_2=0$, so the eigenspace has dimension one over either field. Two independent eigenvectors are required; the matrix is invertible but not diagonalizable over either field. Write $A=2I+N$ where $N^2=0$. The commuting binomial expansion leaves only two terms:

Multiplying this expression by $A$ gives the formula at $n+1$, independently checking the coefficient.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Aritmética entera, conjuntos, funciones y demostración por contraejemplo.

• Use grupos, subgrupos, homomorfismos y estructuras cociente
• Distinga anillos, dominios de integridad y cuerpos
• Aplique divisibilidad, congruencias y teoría elemental de números

homomorfismo: Un mapa que preserva la operación relevante.

cuerpo: Un anillo conmutativo donde cada elemento nonzero tiene inverso.

Un grupo necesita clausura, asociatividad, identidad e inversos. La conmutatividad es una condición adicional.

Un homomorfismo preserva la operación. Su núcleo es un subgrupo normal e identifica elementos que mapean a la identidad.

Un cuerpo permite la división por cada elemento nonzero. Los enteros forman un anillo pero no un cuerpo.

Trabajar con congruencias módulo n. Un residuo a tiene inversa multiplicativa si y solo si gcd(a,n)=1.

Módulo 8, 3 tiene inverso 3 porque 3·3=9≡1. Pero 2 no tiene inverso porque gcd(2,8)=2. Módulo un primo, todo residuo distinto de cero tiene un inverso; esto genera un cuerpo finito.

No cancele un factor en una ecuación modular sin verificar primero que sea invertible.

Comparar los grupos aditivos y las estructuras multiplicativas de $\mathbb Z/5\mathbb Z$ y $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Enumerar todas las unidades multiplicativas en cada uno. Explicar por qué eliminar el cero no siempre deja un grupo multiplicativo.

Solución resuelta

Ambos conjuntos completos de residuos son grupos aditivos: la clausura, la asociatividad y la identidad provienen de la suma de enteros, y $-a$ es un inverso aditivo. Un residuo multiplicativo es una unidad precisamente cuando su máximo divisor común con el módulo es uno. Las unidades módulo cinco son $1,2,3,4$; módulo seis son $1,5$. Módulo seis, $2\cdot3=0$ aunque ambos factores son distintos de cero. El conjunto de elementos no nulos ni siquiera es cerrado bajo la multiplicación. Módulo cinco, todo residuo no nulo tiene una inversa; este anillo es un campo. Un anillo, su grupo aditivo y su grupo de unidades son estructuras diferentes.

El mapa de reducción $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ está dado por $\phi(n)=[n]$. Determinar su kernel, imagen y cociente. Resolver $2x\equiv2\pmod6$ completamente y explicar por qué cancelar 2 módulo 6 falla.

Verificar después de intentar

El mapa preserva la suma y la multiplicación. Su kernel es $6\mathbb Z$ y su imagen son los seis residuos. El cociente identifica enteros con el mismo resto, por lo que $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. La congruencia significa $6\mid2(x-1)$, equivalentemente $3\mid x-1$. Por lo tanto $x\equiv1\pmod3$, dando residuos $1$ y $4$ módulo seis. Ambos sustituyen correctamente. Cancelar 2 manteniendo el módulo seis descartaría 4; 2 no tiene inversa multiplicativa allí.

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Prerequisites: Quantified statements, inequalities, sequences and continuous functions.

• Apply sequence and function limit definitions
• Distinguish compactness, connectedness and completeness
• Use metric-space and elementary topological reasoning

compact 紧致的: Every open cover has a finite subcover.

supremum 上确界: The least upper bound of a set.

An epsilon–delta statement controls all sufficiently close inputs. The quantifier order matters.

In real Euclidean space, closed and bounded sets are compact. Do not apply this equivalence to every metric space.

Continuous images of compact sets are compact, so a real continuous function on a compact domain attains extrema.

Connectedness rules out a separation into disjoint nonempty open parts. Continuity preserves connectedness; completeness is a separate property.

f(x)=x on (0,1) is continuous and bounded but never equals its supremum 1. On [0,1], the same function attains its maximum at 1. The missing endpoint explains why the compact-domain theorem does not apply to the first case.

A theorem’s conclusion cannot be used before its hypotheses have been checked.

Prove continuity of $f(x)=x^2$ at 2 using an explicit epsilon–delta choice. Explain separately why it attains a minimum on $[1,3]$.

Worked solution

Given $\epsilon>0$, choose $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. If $|x-2|<\delta$, then $1<x<3$, so $|x+2|<5$.

The choice depends on epsilon, not on the later input x. The interval $[1,3]$ is nonempty and compact in the ordinary real metric. Continuity gives attained extrema. Here $x^2\ge1$, with equality at 1, so the minimum is 1.

In the metric space $X=(0,1)$ with ordinary distance, is X bounded? Is it closed in itself? Is it compact or complete? Explain why “closed and bounded implies compact” cannot be used here.

Check after attempting

X is bounded and closed relative to itself, since its complement in X is empty. The Cauchy sequence $1/(n+2)$ has no limit in X, so X is not complete and therefore not compact as a metric space. Directly, the relative open cover $\{(1/n,1):n\ge2\}$ covers X but has no finite subcover. Heine–Borel requires closed and bounded as a subset of Euclidean space, not merely closed in an arbitrary chosen space. X is not closed in $\mathbb R$. No theorem hypothesis may change its ambient space halfway through the argument.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Conteo finito, probabilidad elemental, recurrencias y derivadas.

• Usar conteo, recurrencias, razonamiento gráfico y lógica
• Calcular probabilidades y propiedades de distribución
• Aplicar aproximación numérica y evaluar error

recurrencia: Una regla que vincula un término de una secuencia con términos anteriores.

mutuamente excluyentes: Eventos que no pueden ocurrir juntos.

Elige primero el modelo de conteo: las selecciones ordenadas de r objetos distintos usan n(n−1)⋯(n−r+1), mientras que los subconjuntos sin orden usan C(n,r). Un grafo simple completo sobre n vértices tiene una arista por cada par de vértices sin orden, dando n(n−1)/2 aristas; bucles y aristas múltiples cambiarían el modelo. Para n líneas en posición general en un plano, la k-ésima línea cruza las k−1 líneas anteriores en puntos distintos y añade k regiones. El total es 1+n(n+1)/2; paralelas o concurrencia triple invalidan ese conteo.

Usa complementos para contar al menos una ocurrencia, y condicionaliza sobre la población restante real tras un sorteo sin reemplazo. Para r resultados iid elegidos de n valores igualmente probables, la probabilidad de que todos sean distintos es n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r cuando r≤n. Su complemento cuenta resultados repetidos. Para un conteo binomial con N ensayos independientes y probabilidad fija de éxito p, la media es Np y la varianza Np(1−p). Probabilidades idénticas solas no establecen independencia.

Una recurrencia describe valores posteriores a partir de anteriores y necesita suficientes datos iniciales para determinar una secuencia. Separa el índice del valor: a_n=2a_(n−1) con a_0=3 da a_n=3·2^n. Los argumentos gráficos y algorítmicos a menudo establecen una recurrencia identificando qué añade un nuevo vértice o paso. Una fórmula cerrada debe satisfacer tanto la recurrencia como sus condiciones iniciales; ajustar algunos términos observados no prueba que funcione para todo índice.

La aproximación numérica necesita un argumento de error. Bisección preserva un corchete con cambio de signo para una función continua y reduce su ancho a la mitad en cada paso; un cero puede ausentarse si falla la continuidad. La actualización de Newton es x_new=x−f(x)/f′(x), requiriendo una derivada distinta de cero en el punto actual; la convergencia no es automática desde cualquier valor inicial. El residuo de una aproximación y su error en x son diferentes. Establece las suposiciones del método y un criterio de detención, en lugar de tratar decimales adicionales mostrados como precisión.

Para f(x)=x²−2 y x₀=1, el paso de Newton da 1−(1−2)/2=1.5. El siguiente valor es 1.5−0.25/3=1.4167. Estos aproximan sqrt(2), pero f′(0)=0 hace que cero sea un punto inicial inválido.

Los eventos con probabilidades positivas no pueden ser simultáneamente independientes e incompatibles.

Cuatro sorteos etiquetados son independientes y uniformes de cinco símbolos, con reemplazo. Encuentra la probabilidad de que al menos dos sorteos coincidan. Compara el número de selecciones ordenadas y sin orden de cuatro símbolos distintos.

Solución resuelta

Hay $5^4$ cadenas de sorteos equally probables. Las cadenas sin repeticiones numeran $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

Las selecciones ordenadas distintas numeran 120; los subconjuntos sin orden numeran $\binom54=5$. Cada subconjunto ocurre en $4!=24$ órdenes. Dividir por $4!$ es apropiado solo para el conteo sin orden, no para el denominador de probabilidad de sorteos.

Aplica bisección a $f(x)=x^3-2$ en $[1,2]$. Da los primeros dos corchetes retenidos y una cota para el error del punto medio después de diez bisecciones. ¿Un cambio de signo solo justificaría bisección para $1/x$ en $[-1,1]$?

Verificar después de intentar

El polinomio es continuo; $f(1)<0<f(2)$. El primer punto medio es $1.5$ con valor positivo, conservando $[1,1.5]$. El siguiente es $1.25$ con valor negativo, conservando $[1.25,1.5]$. Después de diez divisiones por la mitad, el ancho es $2^{-10}$ y el punto medio de ese intervalo retenido difiere de la raíz acotada en al最多 $2^{-11}=1/2048$. El límite del error utiliza el intervalo, no solo un residuo pequeño. Para $1/x$, cero es una singularidad y no hay raíz. La continuidad en el intervalo falla; los signos opuestos en los extremos no justifican el método.

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Prerequisites: Complex arithmetic, partial derivatives, series and oriented contours.

• Test complex differentiability
• Use contour integrals and residues
• Evaluate contour integrals with simple and higher-order pole residues

analytic 解析的: Complex differentiable throughout a neighbourhood.

residue 留数: Coefficient of (z−a)^−1 in a Laurent series.

Write f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Complex differentiability imposes u_x=v_y and u_y=−v_x; with continuous first partials locally, the Cauchy–Riemann equations establish analyticity there. They differ from real differentiability of a two-coordinate map. The conjugate function x−iy fails these equations on every open neighbourhood, although real partial derivatives exist. State the region being checked, not only a convenient point.

An analytic function is complex differentiable throughout a neighbourhood and has a local convergent power series. A removable singularity can be filled analytically when the function is bounded near the missing point. A pole has a finite principal part in its Laurent series; an essential singularity has infinitely many negative-power terms. The residue is the coefficient of (z−a)⁻¹, not necessarily the leading or largest negative-power term.

For an isolated pole of order m, write f(z)=g(z)/(z−a)^m with g analytic at a. The residue is g^(m−1)(a)/(m−1)!. A simple pole uses g(a); a double pole uses g′(a). This follows by expanding g into its Taylor series. Thus e^z/(z−a)² has residue e^a, while a constant numerator over a pure double pole has zero residue. The pole order alone does not determine the contour integral.

For a positively oriented contour enclosing isolated singularities, the residue theorem gives ∮f(z)dz=2πi times the sum of enclosed residues, provided the function is analytic on the contour and elsewhere in the required interior. Reversing orientation changes the sign. Cauchy’s derivative formula is ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! under its analytic-domain hypotheses. A singularity on the contour prevents direct application; a singularity outside contributes nothing to this contour.

For f(z)=conjugate(z), u=x and v=−y. Then u_x=1 but v_y=−1, so f is not complex differentiable. For 1/(z−2), a positively oriented circle |z−2|=1 encloses a simple pole of residue 1, hence the integral is 2πi.

Continuity or real differentiability alone does not imply complex analyticity.

Use the Cauchy–Riemann equations to compare $z^2$ and $\overline z$. Find the residue of $e^z/z^2$ at zero and its integral around the counterclockwise unit circle.

Worked solution

For $z^2$, $u=x^2-y^2$ and $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ and $u_y=-2y=-v_x$. The partials are continuous everywhere, so the function is analytic everywhere. For $\overline z$, $u=x,v=-y$ and $u_x=1\ne-1=v_y$; it is nowhere complex differentiable. Since $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, the coefficient of $z^{-1}$ in $e^z/z^2$ is 1. Therefore the residue is 1 and the integral is $2\pi i$. The double pole does not force a zero residue.

Integrate $1/[z(z-2)]$ around $|z|=1$, first counterclockwise and then clockwise. Can the same residue-theorem argument be used on $|z|=2$?

Check after attempting

Only zero is inside the unit circle. Its residue is $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. Thus the counterclockwise integral is $-\pi i$ and the clockwise integral is $\pi i$. The pole at 2 is outside and contributes nothing. The circle $|z|=2$ passes through a pole. The ordinary contour integral is not defined by this formula; the theorem requires analyticity on the contour. An indentation or principal-value prescription would be a different, explicitly specified problem.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Diferenciación, integración, exponenciales y ecuaciones cuadráticas.

• Resolver ecuaciones separables de primer orden
• Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes
• Utilizar condiciones iniciales y condiciones de unicidad

condición inicial: Un valor de la solución o su derivada especificado en un punto de partida.

raíz característica: Una raíz del polinomio que rige las soluciones exponenciales.

Para y′=ky, la separación e integración dan y=Ce^(kt); recupere la solución cero si se dividió por y. Un valor inicial determina C.

Una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes utiliza un polinomio característico. Raíces distintas producen exponenciales; una raíz repetida requiere (C1+C2t)e^(rt).

Raíces complejas α±iβ dan e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). El movimiento real incluye tanto información de amplitud como de fase.

La existencia y unicidad dependen de hipótesis cerca del punto inicial. Un coeficiente singular o el incumplimiento de un comportamiento de Lipschitz local pueden invalidar la conclusión familiar de unicidad.

Resuelva y″+4y=0 con y(0)=3 y y′(0)=4. Las raíces características son ±2i, así que y=A cos2t+B sin2t. La primera condición da A=3; derivar da y′(0)=2B=4, así que B=2.

Una raíz característica repetida necesita el factor t; dos copias de la misma exponencial no son soluciones independientes.

Resuelva $y''-4y'+4y=0$ con $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Verifique ambas condiciones iniciales y la ecuación.

Solución resuelta

El polinomio característico es $(r-2)^2$. Las soluciones independientes son $e^{2t}$ y $te^{2t}$, por lo tanto $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. El valor inicial da $C_1=1$; la derivada en cero da $2C_1+C_2=0$, así que $C_2=-2$.

La sustitución produce $y''-4y'+4y=0$, y los dos valores iniciales se cumplen. Dos copias de $e^{2t}$ no generarían el espacio de soluciones.

Muestre que el problema de valor inicial $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ tiene más de una solución para $t\ge0$. Identifique la hipótesis estándar de unicidad ausente.

Verificar después de intentar

Una solución es idénticamente cero. Para cualquier $a\ge0$, establezca $y_a(t)=0$ para $0\le t\le a$ y $y_a(t)=(t-a)^2$ para $t>a$. La derivada es cero en el primer intervalo y $2(t-a)$ en el segundo; ambos lados tienen derivada cero en a. Por lo tanto, $y_a$ es diferenciable y satisface la ecuación y el valor inicial. El lado derecho es continuo pero no es de Lipschitz local en y en cero: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ está acotado. La existencia no implica unicidad, y dividir por $\sqrt y$ perdería las soluciones de tiempo de espera.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Axiomas de grupo, funciones, divisibilidad entera y permutaciones.

• Verificar la estructura de grupo y calcular órdenes de elementos e índices de subgrupos
• Utilizar núcleos e imágenes para identificar grupos cociente
• Distinguir subgrupos normales de subgrupos arbitrarios
• Clasificar la conjugación de permutaciones por tipo de ciclo

coset: Una traslación de un subgrupo que constituye una parte de la partición en cosets.

subgrupo normal: Un subgrupo invariante bajo conjugación por cada elemento del grupo.

Antes de calcular el orden, verifique la clausura, asociatividad, identidad e inverso para cada elemento bajo la operación indicada. Un subconjunto puede heredar la asociatividad pero fallar en la clausura u omitir la identidad. En un grupo finito, el orden de un elemento es la menor potencia positiva que da la identidad. En el grupo aditivo Z/nZ, es el múltiplo positivo más pequeño que da cero; el orden del residuo a es n/gcd(a,n). El teorema de Lagrange establece que los órdenes de los subgrupos dividen al orden del grupo. La recíproca no es un teorema de existencia general, y el orden de un grupo no es necesariamente el orden de cada uno de sus elementos.

Un coset izquierdo gH es una traslación de un subgrupo H. Los cosets tienen igual tamaño y particionan el grupo, por lo que el índice es |G|/|H| en un grupo finito. En un grupo aditivo se escribe g+H. Pertenecer al mismo coset significa que la diferencia pertenece a H. Un coset usualmente no es un subgrupo porque puede omitir la identidad.

Un homomorfismo preserva la operación. Su núcleo consiste en los elementos enviados a la identidad, y su imagen consiste en los valores realmente alcanzados. Todo kernel es normal. El primer teorema de isomorfismo identifica G/ker(phi) con im(phi); no reemplace la imagen con todo el codominio a menos que la función sea sobreyectiva.

La multiplicación cociente está bien definida solo cuando H es normal. Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. En un grupo no abeliano, compruebe gHg^−1=H; un subgrupo de índice dos es normal. Para permutaciones, compose según la convención indicada, aquí de derecha a izquierda. Las longitudes de ciclos disjuntos determinan el orden de la permutación mediante su mínimo común múltiplo. La conjugación hσh⁻¹ relabeliza los elementos en los ciclos de σ, por lo que preserva las longitudes de ciclo; recíprocamente, las permutaciones con las mismas longitudes de ciclo pueden relacionarse mediante un relabelizado. Así, las clases de conjugación en S_n corresponden a las particiones de n, incluyendo ciclos de puntos fijos. En S4, los tipos son 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 y 4: cinco clases, no una clase por cada orden posible de elemento. Los tipos 2+1+1 y 2+2 ambos tienen orden dos pero no son conjugados.

Defina φ de Z/12Z a Z/3Z reduciendo residuos módulo 3. Es sobreyectiva y preserva la suma. Su núcleo H es {0,3,6,9}, así que |H|=4 y el índice es 12/4=3. Los otros cosets son {1,4,7,10} y {2,5,8,11}. Por tanto (Z/12Z)/H es isomorfo a Z/3Z. El elemento 3 en el grupo original tiene orden 12/gcd(3,12)=4, no 3.

Un cociente tiene un elemento por coset, no uno por elemento de su núcleo. Un homomorfismo no necesita ser sobreyectivo sobre su codominio especificado.

En el grupo aditivo $\mathbb Z/18\mathbb Z$, sea $H=\langle6\rangle$. Enumere H y sus cosets. Determine el orden de 6 e identifique el cociente.

Solución resuelta

$H=\{0,6,12\}$ tiene tamaño tres. Los seis cosets son $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ para $r=0,1,2,3,4,5$. Particionan todos los residuos 18. El elemento 6 tiene orden tres, mientras que el cociente tiene orden seis. La reducción módulo seis es sobreyectiva con kernel H, por lo tanto $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. La normalidad se cumple porque el grupo original es abeliano.

En $S_3$, sea $H=\{e,(12)\}$. Verifique si $H$ es normal y decida si la multiplicación de cosets define un grupo cociente. Por separado, encuentre el orden de $(123)(45)$ en $S_5$.

Verificar después de intentar

La conjugación por $(123)$ envía $(12)$ a $(23)$, que está fuera de H. Por lo tanto, H no es normal. Los cosets izquierdos aún particionan $S_3$, pero la multiplicación de esos cosets no está bien definida independientemente de los representantes. Los ciclos disjuntos en $(123)(45)$ tienen longitudes tres y dos, por lo que su orden es $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. El orden de un elemento y el índice de un subgrupo son cantidades diferentes.

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Prerequisites: Rings, fields, additive subgroups and homomorphisms.

• Distinguish units, zero divisors and integral domains
• Identify ideals and interpret quotient rings
• Compare modules over rings with vector spaces over fields
• Derive Boolean-ring properties without assuming commutativity

ideal 理想: An additive subgroup of a ring absorbing multiplication by all ring elements.

torsion 挠性: An element is annihilated by a nonzero scalar in the stated module.

For the domain, ideal and quotient examples below, use a commutative ring with identity 1 distinct from 0. A source problem may specify a general ring instead; do not assume its multiplication commutes unless stated or proved. A unit has a multiplicative inverse. A nonzero zero divisor multiplies some nonzero element to zero. An integral domain has no such zero divisors; cancellation of a nonzero factor then works. A field is a domain in which every nonzero element is a unit. Z is a domain but not a field; Z/6Z is neither.

An ideal I is an additive subgroup that absorbs multiplication by every ring element. This is stronger than being a subring. In Z, nZ is an ideal; quotient elements are integer residue classes modulo n. In a commutative ring, R/I is a field exactly when I is maximal, and it is a domain exactly when I is prime. The ideal must be proper in both statements.

A module allows scalars from a ring instead of requiring a field. Every abelian group is a Z-module by repeated addition, but it need not have a vector-space basis. In Z/6Z as a Z-module, 6 times the nonzero residue 1 is zero; this is torsion. For a vector space over a field, a nonzero scalar is invertible and cannot annihilate a nonzero vector.

A submodule is closed under addition and all permitted scalar actions. A linear map of modules preserves both. The kernel and image are submodules, and the quotient by the kernel is isomorphic to the image. Do not apply finite-dimensional rank-nullity to an arbitrary module without establishing an appropriate free-module setting; integer row operations and field row operations permit different divisions. In a general Boolean ring, every a satisfies a²=a. Do not assume commutativity to prove it: idempotence of a+a gives 4a=2a, hence 2a=0. Expanding (a+b)²=a+b gives ab+ba=0, and characteristic two makes −ba=ba; therefore ab=ba. Idempotence does not imply nilpotence: in F2, the nonzero element 1 satisfies 1^n=1 for every positive n.

In Z/6Z, 2·3=0, so 2 and 3 are zero divisors. The units are 1 and 5 because their gcd with 6 is 1. In Z, the ideal 5Z gives the field Z/5Z, while 6Z gives a quotient with zero divisors. As Z-modules, the map from Z to Z/6Z has kernel 6Z; the quotient identifies integers differing by a multiple of 6, rather than producing a real vector space.

A set can be a submodule without being a vector space over the rationals. Scalar division is valid only when the scalar inverse belongs to the structure.

In $\mathbb Z/12\mathbb Z$, list the units and nonzero zero divisors. Is the ideal $(4)$ prime or maximal?

Worked solution

Units are the residues coprime to 12: $1,5,7,11$. The remaining nonzero residues $2,3,4,6,8,9,10$ are zero divisors. For each such a, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ modulo 12, with the second factor nonzero. The ideal $(4)=\{0,4,8\}$ gives quotient isomorphic to $\mathbb Z/4\mathbb Z$. This is not a domain, since $2\cdot2=0$, and is not a field. Hence the ideal is neither prime nor maximal.

As a $\mathbb Z$-module, can $\mathbb Z/6\mathbb Z$ be free? Compare the ideals $(2)$ and $(x)$ in $\mathbb Z$ and $\mathbb Q[x]$, respectively, using their quotients.

Check after attempting

A nonzero free $\mathbb Z$-module has no nonzero vector annihilated by a nonzero integer: examine each integer coordinate. But $6[1]=0$ in $\mathbb Z/6\mathbb Z$. It is not free; a field-style basis argument is invalid. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ is a field, so $(2)$ is maximal and prime. Evaluation at zero maps $\mathbb Q[x]$ onto $\mathbb Q$ with kernel $(x)$; its quotient is a field too. Both arguments use proper ideals in commutative rings with identity.

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Prerrequisitos: División polinómica, campos y dimensión de espacios vectoriales.

• Verificar la irreducibilidad de polinomios sobre el campo especificado
• Construir pequeños campos finitos a partir de polinomios irreducibles
• Usar grados de extensión y la ley de torres
• Usar raíces ciclotómicas y relaciones de coeficientes para calcular sumas y productos

polinomio irreducible: Un polinomio de grado positivo sin factorización en grados positivos menores sobre el campo indicado.

grado de extensión: La dimensión de un campo de extensión como espacio vectorial sobre su campo base.

Un polinomio es irreducible sobre un campo si tiene grado positivo y no se factoriza en polinomios de grados positivos menores allí. Un cuadrático o cúbico es irreducible exactamente cuando no tiene raíz en ese campo. Esta prueba de raíces sola falla para grado cuatro o superior; por ejemplo, (x²+1)(x²+2) no tiene raíz real pero es reducible sobre R. Nombren siempre el campo base.

El cociente F[x]/(p) es un campo cuando p es irreducible. Reduzcan potencias usando p(alpha)=0, donde alpha es la clase de residuo de x. Si F tiene q elementos y p tiene grado d, el cociente tiene q^d elementos representados por polinomios de grado menor que d. Z/4Z tiene cuatro elementos pero tiene divisores de cero, así que no es el campo de cuatro elementos.

Sobre F2, p(x)=x²+x+1 toma valores 1 tanto en 0 como en 1 y es irreducible. En su cociente, alpha²=alpha+1 porque la resta equivale a la suma en característica dos. Los cuatro elementos son 0,1, alpha, alpha+1. Los tres elementos no nulos deben ser unidades; calculen sus productos en lugar de tratar alpha como un número real ordinario.

Para campos de grado finito anidados K dentro L dentro M, la ley de torres da [M:K]=[M:L][L:K]. El grado de un elemento algebraico es el grado de su polinomio mínimo. Una extensión finita de grado dos no contiene un elemento de grado tres sobre el campo base. Sobre Q, sqrt(2) tiene grado dos; al adjuntar también sqrt(3), se produce una extensión de grado cuatro, ya que sqrt(3) no está en Q(sqrt(2)). Sobre C, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad tienen orden exacto n y son las raíces del polinomio ciclotómico Φ_n. Para n=10, divide x⁵+1 por x+1 para excluir la raíz de orden dos −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Las fórmulas de Vieta dan suma 1 y producto 1 de sus cuatro raíces primitivas. No sumes todas las raíces décimas ni asumas que cada raíz décima no trivial es primitiva; debe verificarse el orden de cada raíz. Para un polinomio monic de grado d, el producto de sus raíces es (−1)^d veces el coeficiente constante.

En F2[alpha] con alpha²+alpha+1=0, multiplique alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Por lo tanto alpha^−1=alpha+1. Además alpha³=1 y alpha no es 1, así que su orden multiplicativo es 3. Esto produce un campo de cuatro elementos. En contraste 2·2=0 en Z/4Z, demostrando que el cociente no es un campo.

La reducibilidad de un polinomio cambia según el campo de coeficientes. El polinomio x²−2 es irreducible sobre Q pero se factoriza sobre R.

Construye $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Enumera sus elementos y encuentra el inverso del residuo $\alpha=[x]$.

Solución resuelta

El cuadrático toma valor uno en ambos elementos de $\mathbb F_2$, por lo que no tiene raíz y es irreducible. Su cociente es un campo. La división deja un representante de grado menor que dos: $0,1,\alpha,1+\alpha$. La relación es $\alpha^2=\alpha+1$ en característica dos. En consecuencia $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, por lo tanto $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Esto no es $\mathbb Z/4\mathbb Z$, que posee un divisor de cero no nulo.

¿Es $x^4+4$ irreducible sobre $\mathbb Q$? ¿La ausencia de raíces racionales responde a esa pregunta? ¿Puede una extensión de grado dos de $\mathbb Q$ contener una raíz de un cúbico irreducible sobre $\mathbb Q$?

Verificar después de intentar

La multiplicación directa da $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, por lo que es reducible sobre $\mathbb Q$ a pesar de no tener raíces reales, y por ende ninguna racional. La prueba de ausencia de raíces caracteriza la irreducibilidad solo para grados dos o tres sobre un campo. Si una raíz cúbica irreducible $\beta$ perteneciera a una extensión de grado dos L, entonces $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ y la ley de torres harían que 3 divida a 2. Esto es imposible. La conclusión usa la irreducibilidad, no simplemente una ecuación cúbica.

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Prerequisites: Euclidean algorithm, prime factors and modular arithmetic.

• Solve linear congruences using gcd conditions
• Combine coprime congruences with the Chinese remainder theorem
• Apply Euler's theorem only to invertible residues
• Use prime-exponent divisibility to find least admissible integers

congruence 同余: Equality of residues because the modulus divides their difference.

totient 欧拉函数: The count of residues coprime to the positive integer modulus.

The equation ax≡b modulo n has a solution exactly when d=gcd(a,n) divides b. If it does, divide a,b,n by d to obtain an equation with an invertible coefficient. It has one residue solution modulo n/d and d distinct solutions modulo n. Dividing the coefficient but leaving the original modulus generally loses solutions. Prime factorisation gives another divisibility tool: if n^k must be divisible by a product of prime powers p^a, each prime exponent in n must be at least ceil(a/k). These minimum exponents independently produce the least positive admissible n. For n⁴ divisible by 2⁷·3⁵, n must contain 2² and 3², so the least value is 36. This is a prime-exponent condition, not a congruence solved by modular division.

The extended Euclidean algorithm expresses gcd(a,n) as ua+vn. When the gcd is 1, u is an inverse of a modulo n. Choose a representative in the required range after reduction. For 7 and 26, 1=15·7−4·26, so 15 is the inverse of 7 modulo 26; verify the product to catch a sign error.

For coprime positive moduli m,n, the Chinese remainder theorem gives exactly one solution modulo mn for each pair of residue conditions. Substitute x=r+mk into the second congruence and solve for k. If the moduli are not coprime, their residue values must agree modulo gcd(m,n); when consistent, uniqueness is modulo the least common multiple, not the product.

Euler's totient phi(n) counts residues coprime to n. For distinct prime divisors p, phi(n)=n times the product of (1−1/p). Euler's theorem gives a^phi(n)≡1 only when gcd(a,n)=1. The prime case is Fermat's little theorem. Reduce exponents only after checking this condition; a nonunit can become zero under repeated powers instead.

Solve 6x≡9 modulo 15. The gcd is 3 and divides 9. Divide all three quantities to get 2x≡3 modulo 5; the inverse of 2 is 3, so x≡9≡4 modulo 5. The original solutions modulo 15 are 4,9,14. For x≡2 modulo 4 and x≡3 modulo 7, write x=2+4k; then 4k≡1 modulo 7, giving k≡2. Hence x≡10 modulo 28.

The expression a^phi(n)≡1 is false for arbitrary a. For example 2 is not invertible modulo 8 and 2^4 is zero modulo 8.

Solve $8x\equiv12\pmod{20}$ completely. Find an inverse of 7 modulo 20. Explain why Euler's theorem cannot be used to replace $2^8$ by 1 modulo 20.

Worked solution

The gcd is four and divides 12. Dividing all three numbers gives $2x\equiv3\pmod5$, so $x\equiv4\pmod5$. Modulo 20 the four answers are $4,9,14,19$; substitution gives remainder 12 each time. Since $7\cdot3=21$, the inverse of 7 is 3. Although $\phi(20)=8$, Euler's theorem requires a unit. The gcd of 2 and 20 is two, and $2^8=256\equiv16$, not 1.

Solve $x\equiv2\pmod6$, $x\equiv5\pmod9$, or prove inconsistency. State the modulus for uniqueness. Find the least positive n such that $2^5\cdot3^7$ divides $n^3$.

Check after attempting

The residues agree modulo the gcd three. Put $x=2+6k$: then $6k\equiv3\pmod9$, hence $2k\equiv1\pmod3$ and $k\equiv2\pmod3$. Thus $x\equiv14\pmod{18}$. The modulus is the lcm, not 54. For the divisibility problem, write prime exponents in n. They must satisfy $3a\ge5$, $3b\ge7$, so $a\ge2$, $b\ge3$. The least n is $2^2\cdot3^3=108$; other prime factors can only increase it.

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Prerrequisitos: Límites de secuencias, supremo, continuidad y series numéricas.

• Usar criterio de Cauchy, convergencia monótona y subsecuencia
• Distinguir entre convergencia puntual y uniforme de funciones
• Verificar hipótesis antes de intercambiar límites e integrales

Secuencia de Cauchy: Una secuencia cuyos términos suficientemente tardíos están arbitrariamente cerca unos de otros.

Convergencia uniforme: Convergencia con un umbral de error válido en todo punto del dominio.

Una secuencia real convergente es de Cauchy, y toda secuencia de Cauchy real converge porque R es completo. En Q una secuencia de Cauchy puede aproximarse a un número irracional y fallar en converger dentro de Q. Una secuencia real acotada y monótona converge. Una secuencia acotada no necesariamente converge, pero Bolzano–Weierstrass garantiza una subsecuencia convergente; (-1)^n tiene dos límites de subsecuencia distintos.

Para una serie numérica, la convergencia absoluta implica convergencia; la convergencia condicional no permite reordenamientos arbitrarios sin afectar la suma. La serie armónica alternante converge pero su serie de valor absoluto diverge. En una prueba de razón, un límite por debajo de 1 demuestra convergencia absoluta y uno por encima de 1 demuestra divergencia; un límite igual a 1 es inconclusivo, como demuestran tanto la suma 1/n como la suma 1/n².

La convergencia puntual elige un índice N separado para cada x y tolerancia. La convergencia uniforme elige un único N que funcione para cada x en el dominio. Para funciones de valores reales, verificar el supremo de |f_n−f| sobre todo el dominio. Un límite puntual continuo no prueba por sí mismo la convergencia uniforme. Los extremos del dominio y los picos decrecientes suelen distinguir ambas nociones.

Un límite uniforme de funciones continuas es continuo. En un intervalo cerrado acotado, la convergencia uniforme de funciones integrables de Riemann permite intercambiar límite e integral. Intercambiar derivadas necesita hipótesis adicionales; la convergencia uniforme de las funciones sola es insuficiente. La prueba M de Weierstrass establece la convergencia absoluta uniforme de una serie de funciones si cada término está acotado por M_n en todo el dominio y sum M_n converge.

En [0,1], f_n(x)=x^n tiende a 0 para x<1 y a 1 en x=1. El límite es discontinuo, por lo que la convergencia no puede ser uniforme; directamente, el error supremo es 1, aproximado desde abajo 1. En [0,a] con 0≤a<1, el límite es cero y el supremo es a^n, que tiende a cero, por lo que la convergencia es uniforme. Cambiar el dominio cambia la conclusión.

Comprobar varios valores fijos de x demuestra ni una cota superior ni convergencia uniforme. El punto que produce el mayor error puede moverse con n.

Determinar la convergencia puntual y uniforme de $f_n(x)=x^n$ en $[0,1]$ y en $[0,a]$ para fijo $0<a<1$. Comparar $\sum1/n^2$ con la serie armónica alternante para la convergencia absoluta.

Solución resuelta

En $[0,1]$, el límite es cero para $x<1$ y uno en 1. Este límite es discontinuo, por lo que las funciones continuas $f_n$ no pueden convergir uniformemente. Más directamente, el error supremo en $[0,1)$ es uno. En $[0,a]$ el supremo es $a^n\to0$, por lo que la convergencia es uniforme a cero. La p-serie con p=2 converge absolutamente. La serie armónica alternante converge por términos decrecientes tendiendo a cero, pero la serie absoluta diverge; su convergencia es condicional.

Sea $g_n(x)=\sin(nx)/n$ en $\mathbb R$. ¿Es la convergencia uniforme? ¿Pueden sus derivadas converger a la derivada de su límite? Usar un punto explícito para decidir.

Verificar después de intentar

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, por lo que las funciones convergen uniformemente a cero. Pero $g_n'(x)=\cos(nx)$, y en $x=0$ estas derivadas son todas 1. La derivada del límite cero es 0. Por lo tanto, la convergencia uniforme de las funciones sola no justifica diferenciar un límite; se necesitan hipótesis adicionales de convergencia de derivadas.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Conjuntos, conjuntos abiertos relativos, funciones continuas y secuencias.

• Calcular clausura, interior y frontera en un espacio dado
• Aplicar compacidad y conexidad a funciones continuas
• Diferenciar la topología relativa de la topología euclidiana ambiente

topología relativa: Subconjuntos abiertos heredados al intersectar una subespacio con conjuntos abiertos del espacio ambiente.

conexidad: Ausencia de separación en subconjuntos abiertos relativamente disjuntos no vacíos.

En un espacio métrico, un conjunto abierto contiene una bola pequeña alrededor de cada uno de sus puntos. El interior consiste en tales puntos; el cierre incluye todos los puntos límite; la frontera es el cierre menos el interior. Los conceptos de abierto y cerrado no son excluyentes mutuamente; el conjunto vacío y todo el espacio son ambos. En ℝ, el conjunto [0,1) tiene interior (0,1), cierre [0,1] y frontera {0,1}.

En una subespacio X, un conjunto abierto tiene la forma X intersectado con un conjunto abierto ambiente. Así, [0,1) es abierto relativo a [0,2], usando la intersección con (-1,1), aunque no sea abierto en ℝ. Un conjunto también puede ser cerrado relativamente sin serlo en el espacio ambiente. Siempre indique qué espacio define los vecindarios y qué métrica se utiliza.

La compacidad significa que toda familia abierta tiene una subfamilia finita. En ℝ^n euclidiano, Heine–Borel hace esto equivalente a ser cerrado y acotado. En un espacio métrico, la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial; la completitud y el acotamiento por sí solos no bastan en espacios métricos arbitrarios. La imagen continua de un conjunto compacto es compacta, lo que garantiza máximos y mínimos alcanzados para funciones reales continuas en un dominio compacto no vacío.

Los conjuntos conectados no pueden separarse en dos partes abiertas relativamente disjuntas no vacías; los subconjuntos conectados de ℝ son precisamente los intervalos. La imagen continua de un conjunto conectado es conectada, lo que implica el teorema del valor intermedio. La conexidad por caminos implica conexidad, pero no viceversa en todo espacio. Un conjunto compacto no necesariamente es conectado, y un conjunto conectado no necesariamente es compacto; un conjunto finito de dos puntos y un intervalo abierto proporcionan los casos contrastantes.

Sea X=[0,1] con su topología relativa usual. El conjunto U=[0,0.5) es igual a X intersectado con (-1,0.5), por lo que U es abierto en X. Su clausura en X es [0,0.5], y su frontera en X es {0.5}; cero es un punto interior relativo a X. Para una función continua f en X con f(0)<0<f(1), la conexidad asegura una raíz, mientras que la compacidad asegura por separado extremos alcanzados.

La prueba de Heine–Borel para conjuntos cerrados y acotados es un teorema del espacio euclidiano. La conectividad y la compacidad responden a preguntas diferentes.

En ⟨$X=[0,2]$⟩ con su topología relativa, encuentre el interior, el cierre y la frontera de ⟨$A=[0,1)$⟩. ¿Es A abierto o cerrado en X?

Solución resuelta

$A=X\cap(-1,1)$ es abierto en X, por lo tanto su interior relativo es A. Su cierre es ⟨$[0,1]$⟩ y su frontera es ⟨$\{1\}$⟩. Cero es interior relativo a X porque una bola suficientemente pequeña en X no tiene parte negativa. A no es cerrado en X: la secuencia ⟨$1-1/n$⟩ para ⟨$n\ge2$⟩ tiende al punto faltante ⟨1⟩. En la recta real ambiente, el interior y la frontera serían en cambio ⟨$(0,1)$⟩ y ⟨$\{0,1\}$⟩.

Proporcione un conjunto real compacto desconectado y un conjunto real conectado no compacto. ¿Debe una función real continua en este último alcanzar un valor extremo? Explique cuál propiedad proporciona el teorema del valor intermedio.

Verificar después de intentar

El conjunto finito ⟨$\{0,2\}$⟩ es compacto pero desconectado. El intervalo ⟨$(0,1)$⟩ es conectado pero no compacto. La función identidad continua sobre ⟨$(0,1)$⟩ no alcanza ni máximo ni mínimo. La conexidad hace que una imagen real continua sea un intervalo y, por tanto, proporcione valores intermedios. La compacidad, en cambio, hace que una imagen real continua no vacía alcance sus valores extremos. Ninguna propiedad sustituye a la otra.

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Requisitos previos: Derivadas, series geométricas y pruebas de convergencia.

• Construir polinomios de Taylor y controlar el error de aproximación
• Determinar radios de convergencia y probar extremos por separado
• Diferenciar e integrar series de potencias dentro de su intervalo de convergencia

radio de convergencia: La distancia desde el centro de la serie dentro de la cual una serie de potencias converge absolutamente.

resto: La diferencia entre una función y su aproximación finita.

El polinomio de Taylor de grado m en a es la suma de f^(k)(a)(x−a)^k/k! para k desde cero hasta m. El factorial pertenece a cada coeficiente. Si la siguiente derivada está acotada en magnitud por M entre a y x, el resto de Lagrange tiene magnitud como máximo M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. La suavidad sola no garantiza que la serie de Taylor infinita iguale a la función en todas partes.

Una serie de potencias sum c_n(x−a)^n converge absolutamente dentro de su radio R y diverge fuera de él. Las pruebas de cociente o raíz suelen determinar R, con valores posibles cero e infinito. En x=a−R y x=a+R la prueba suele ser inconclusiva; sustituye cada extremo en la serie original. Los comportamientos en los extremos pueden diferir.

Dentro del intervalo abierto de convergencia, la diferenciación e integración término a término preservan el radio. Pueden cambiar si se incluyen los extremos. Comienza con la serie geométrica 1/(1−x)=sum x^n para |x|<1, luego integra desde cero hasta x para obtener −ln(1−x)=sum x^n/n para n≥1. Verifica la constante de integración y el dominio del logaritmo real.

Las series también resuelven formas indeterminadas de límites removibles. Para evaluar (e^x−1−x)/x² cerca de cero, retén el primer término superviviente x²/2 en lugar de usar solo e^x≈1+x. Una truncación asintótica establece el límite; una desigualdad de intervalo finito necesita un argumento separado de signo o magnitud del resto. No sustituyas en una serie fuera de su intervalo de convergencia.

Para sum x^n/n con n≥1, la prueba de cociente da radio 1. En x=1 es la serie armónica divergente; en x=−1 es una serie alternante convergente. Así, su intervalo de convergencia real es [−1,1). Diferenciar internamente da sum x^(n−1)=1/(1−x), que no converge en ninguno de los extremos. El radio permaneció 1 mientras que la inclusión de extremos cambió.

Un radio no es un intervalo completo de convergencia. Las pruebas de extremos y los coeficientes factoriales deben verificarse explícitamente.

Encuentra el intervalo de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ y de su derivada término a término. Aproxima $e^{0.1}$ mediante su polinomio de Taylor cuadrático con una cota de error justificada.

Solución resuelta

La prueba de cociente da radio uno. En 1 la serie armónica original diverge; en -1 la serie alternante converge. Así, el intervalo original es $[-1,1)$. La derivada es $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ solo para $|x|<1$; sus términos no tienden a cero en ninguno de los extremos. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. En $[0,0.1]$, la tercera derivada es $e^x<2$. La cota de Lagrange da $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. La cota es deliberadamente conservadora, no una afirmación de error exacto.

Evalúa $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Explica por qué reemplazar coseno por solo $1-x^2/2$ no puede determinar este límite.

Verificar después de intentar

El teorema de Taylor cerca de cero da $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. La resta cancela los términos constantes y cuadráticos, dejando $x^4/24+O(x^6)$. Tras la división, el límite es $1/24$. Una truncación con resto simplemente $o(x^2)$ no proporciona control tras dividir por $x^4$; retén y acota el primer orden superviviente.

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Requisitos previos: Antiderivadas, límites, comparación e integración geométrica.

• Define integrales impropias mediante límites en cada frontera singular
• Selecciona fórmulas de área, volumen y longitud de arco de la geometría
• Separa la convergencia de las integrales de la cancelación signada

integral impropia: Una integral definida por límites en fronteras infinitas o singulares.

valor principal: Un límite que usa una cancelación simétrica prescrita que puede existir cuando una integral impropia ordinaria diverge.

Un extremo de integración infinito se reemplaza por una cota finita y un límite. En un punto singular dentro del intervalo, divide la integral y requiere que ambas integrales laterales converjan por separado. La cancelación simétrica puede definir un valor principal de Cauchy pero no demuestra la convergencia de la integral impropia ordinaria. Para 1/x a través de cero, ambos lados divergen aunque los cortes simétricos se cancele.

La integral de x^(−p) de 1 a infinito converge exactamente cuando p>1. De cero a 1 converge exactamente cuando p<1. El mismo exponente se comporta diferente en ambas fronteras. Para integrandos positivos, la comparación transfiere convergencia desde una función mayor integrable o divergencia desde una menor no integrable; mantén la dirección de la desigualdad correcta. Para una integral de un máximo o mínimo, resuelve cruces de rama y verifica qué expresión domina cada intervalo. Para max(√(1−x²),x+1) en [−1,1], el cruce interior es cero; usa el semicírculo en [−1,0] y la recta en [0,1]. El área es π/4+3/2, no la integral de ninguna rama sobre todo el intervalo.

Para rotación alrededor del eje x, discos o arandelas integran π(R²−r²) dx. Cylindrical shells usa 2π veces radio por altura e integra en la variable correspondiente. Selecciona el método según la geometría y verifica radios no negativos. El área entre curvas integra superior menos inferior, dividiendo donde cambia su orden. Una integral signada no es automáticamente área geométrica.

Para una curva plana diferenciable y=f(x), la longitud de arco es la integral de sqrt(1+(f′(x))²) dx. Una superficie formada al rotar una f no negativa alrededor del eje x tiene área integral 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Estas son cantidades diferentes al volumen. Si un intervalo es ilimitado, la fórmula geométrica aún necesita una prueba de convergencia.

Gire y=1/x para x≥1 alrededor del eje x. El volumen de disco es π veces la integral de 1/x², así que V=π. El integrando de superficie lateral es 2π(1/x)√(1+1/x⁴), al menos 2π/x; su integral impropia diverge. Por tanto, un volumen finito no implica una superficie finita. Esta comparación evita intentar encontrar una antiderivada innecesaria.

Nunca cuente un valor principal como una integral impropia convergente, ni infiera la finitud de una cantidad geométrica a partir de otra.

¿Para qué p real converge $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$? Compare la integral impropia ordinaria de $1/x$ en $[-1,1]$ con su valor principal simétrico.

Solución resuelta

Divida en 1. Cerca de cero, la convergencia requiere $p<1$; cerca del infinito, requiere $p>1$. Ningún p real satisface ambas condiciones, y p=1 diverge logarítmicamente en ambos extremos. Ambas partes unilaterales deben converger independientemente. Para $1/x$ a través de cero, las partes negativa y positiva divergen por separado, por lo que la integral impropia ordinaria diverge. Los cortes simétricos se cancelan para dar cero, produciendo solo un valor principal. El cero no es el valor de la integral ordinaria.

Gire la región bajo $y=1/x$, $x\ge1$, alrededor del eje x. Demuestre que su volumen es finito y su área lateral infinita.

Verificar después de intentar

Los discos dan $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Para el área superficial, $y'=-1/x^2$ y

Su integrando no negativo es al menos $2\pi/x$, cuya integral diverge. La comparación demuestra área lateral infinita. Esto no incluye ni una tapa terminal ni la afirmación de que un volumen finito implica un área finita.

Undergraduate GRE preparation. Local objectives within the reviewed ETS scope; this is original teaching, not an official test or score predictor.

Prerequisites: Partial derivatives, quadratic forms, compactness and constraints.

• Classify two-variable critical points with the Hessian
• Use Lagrange multipliers with a regular constraint
• Compare extrema and attainable values under regular constraints

Hessian 海森矩阵: The matrix of second partial derivatives used to study local curvature.

Lagrange multiplier 拉格朗日乘子: A scalar relating objective and regular constraint gradients at a constrained extremum.

For a differentiable function on an open domain, an interior local extremum has zero gradient. This condition is necessary, not sufficient. For two variables at a critical point, let D=f_xx f_yy−(f_xy)². If D>0, f_xx>0 gives a strict local minimum and f_xx<0 gives a strict local maximum; D<0 gives a saddle. These tests require suitable second-derivative regularity near the point.

When D=0 the second-derivative test is inconclusive, not evidence of a saddle. The functions x⁴+y⁴ and x⁴−y⁴ have the same zero Hessian at the origin, but one has a strict minimum and the other changes sign. Evaluate along contrasting directions or use a direct inequality. For a quadratic form, positive definiteness gives a more general Hessian interpretation.

On a smooth equality constraint g(x,y)=c with nonzero gradient g, solve gradient f=lambda gradient g together with g=c. These equations generate candidates; they do not classify or guarantee a global extremum. If the constraint gradient vanishes, the regularity condition fails and the multiplier equations can miss a constrained extremum. Treat such points separately. For x²+y²=a and xy=b>0, (x−y)²=a−2b shows necessity a≥2b. It is also sufficient: take s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 and y=(s−d)/2. These real values have xy=b and x²+y²=a. A minimum condition alone needs this attainment check to establish solvability.

A continuous function on a compact feasible set attains global extrema. To find them, compare all interior candidates and all boundary pieces, including corners and endpoints. For a rectangle, optimise the restrictions on each edge. For a disk, the circular boundary may use a parameter or multiplier. Solving only the unconstrained gradient ignores possible boundary winners.

Minimise x²+y² subject to x+y=6. The constraint gradient is (1,1), so 2x=lambda and 2y=lambda. Thus x=y and the constraint gives x=y=3, with value 18. Completing the square on the line gives x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, proving a global minimum. There is no maximum on this unbounded line, despite the existence of a multiplier candidate.

A Lagrange multiplier solution is a candidate, not automatically a maximum or minimum. Check regularity and the complete feasible set.

Classify the origin for $f(x,y)=x^2-y^2$ and for $g(x,y)=x^4+y^4$. State what a zero Hessian determinant permits you to conclude.

Worked solution

For f the Hessian is $\operatorname{diag}(2,-2)$ with determinant -4; the origin is a saddle. Along the axes the values have opposite signs. For g the Hessian at zero is zero, so the second-derivative test is inconclusive. Nevertheless $x^4+y^4\ge0$, with equality only at the origin; it is a strict global minimum. An inconclusive test is not a classification of the point.

Find all extrema of $f(x,y)=xy$ subject to $x^2+y^2=2$. Compare with minimising $x^2+y^2$ on the line $x+y=4$, including whether maxima exist.

Check after attempting

The circle is compact and its constraint gradient $(2x,2y)$ never vanishes there. Multipliers give $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$. Neither coordinate can be zero at a stationary point; hence $y=\pm x$. The four candidates $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ give global maximum 1 and minimum -1. The bound $2|xy|\le x^2+y^2=2$ checks completeness. On the line, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, so the minimum is 8 at $(2,2)$. There is no maximum because the expression is unbounded. Multiplier candidates alone do not establish compactness.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Integrales múltiples, derivadas parciales y bordes orientados.

• Transformar integrales dobles y triples con sus jacobianos
• Aplicar los teoremas de Green, Stokes y divergencia con la orientación correcta
• Verificar singularidades del dominio antes de afirmar la independencia del camino

divergencia: La suma de las derivadas parciales coordenadas de un campo vectorial que mide el flujo local hacia afuera.

campo conservativo: Un campo vectorial igual al gradiente de un potencial escalar con integrales de línea independientes del camino.

Cambiar variables escala el área o volumen por el determinante absoluto del jacobiano. Las coordenadas polares usan r dr dtheta; las coordenadas cilíndricas usan r dr dtheta dz; las coordenadas esféricas con phi medido desde el eje z positivo usan rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Indicar las convenciones angulares y transformar tanto el integrando como la región. Un jacobiano faltante convierte una integral de densidad uniforme en una cantidad física incorrecta.

El teorema de Green iguala la integral de circulación del contorno planar orientado positivamente P dx+Q dy con la integral doble de Q_x−P_y sobre la región. Las hipótesis usuales requieren primeras derivadas continuas en un conjunto abierto que contenga la región. Un agujero necesita su propio borde interior orientado negativamente u otro tratamiento válido del dominio ausente. El teorema no puede integrar a través de una singularidad del campo.

El teorema de Stokes iguala la circulación en el contorno de una superficie con la integral superficial de curl F dot the oriented normal. La regla de la mano derecha vincula la dirección del contorno con la normal. El teorema de divergencia iguala el flujo saliente a través de una superficie cerrada con la integral de volumen de div F. Circulación, flujo, rotacional y divergencia son distintos; se requiere una superficie cerrada para el teorema de divergencia habitual.

Un campo gradiente tiene integrales de línea independientes del camino, determinadas por diferencias de potencial entre extremos. Un campo libre de rotacional de clase C¹ en un dominio abierto simplemente conexo es conservativo. Libre de rotacional solo en un dominio con un agujero es insuficiente. Para F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), el origen está excluido; la circulación del círculo unitario es 2π, aunque el rotacional es cero donde el campo está definido.

Para F=(x,y,z), la divergencia es 3. Por tanto, el flujo hacia afuera a través de la esfera de radio 2 es 3 veces su volumen, o 3·(4π·2³/3)=32π. Esto evita una parametrización superficial. Para el campo plano (−y,x), el teorema de Green da la circulación antihoraria del círculo unitario como integral de 1−(−1)=2 sobre el disco, resultando en 2π. Invertir la orientación cambia el signo de la circulación.

La rotación nula no es suficiente cuando el dominio tiene un agujero. El flujo hacia afuera y la circulación antihoraria usan teoremas diferentes y reglas de orientación.

Evaluar $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ en $1\le x^2+y^2\le4$. Encontrar el flujo saliente de $F=(x,y,z)$ a través de la esfera unitaria.

Solución resuelta

El anillo tiene límites polares $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. Incluyendo el jacobiano,

F es de clase C¹ en toda la bola y tiene divergencia tres. El teorema de divergencia da flujo saliente $3(4\pi/3)=4\pi$. Una orientación entrante invertiría su signo.

Dejar $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ en el plano punteado. Su rotacional escalar es cero allí. Evaluar su circulación en el círculo unitario antihorario. Explicar por qué el teorema de Green no lo hace cero.

Verificar después de intentar

Parametrizar $r(t)=(\cos t,\sin t)$ para $0\le t\le2\pi$. Entonces $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, por lo tanto $G\cdot r'=1$ y la integral es $2\pi$. El campo no está definido en el origen dentro del disco. El teorema de Green requiere la suavidad necesaria en un entorno de la región, no solo en su frontera. Rotacional cero en un dominio punteado no establece un potencial global; un campo cerrado no exacto puede circular alrededor de su agujero.

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Prerrequisitos: Dominios de funciones, ecuaciones cuadráticas y composición.

• Distinguir la inyectividad y la sobreyectividad usando el dominio y el codominio indicados
• Elegir y verificar una rama inversa componiendo en ambas direcciones
• Rastrear la composición repetida de funciones preservando el dominio

bijección: Una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva entre sus conjuntos especificados.

involución: Una función cuya composición consigo misma es la identidad en su dominio.

Una función asigna exactamente una salida a cada entrada permitida. Inyectivo significa que salidas iguales implican entradas iguales; sobreyectivo significa que todo elemento del codominio indicado se alcanza. La función x↦x² de ℝ a [0,∞) es sobreyectiva pero no inyectiva. De [0,∞) a [0,∞) lo es ambas, por lo tanto biyectiva. De [0,∞) a ℝ sigue siendo inyectiva pero falla en la sobreyectividad. Mantenga separado el dominio, la imagen y el codominio al probar cada afirmación.

Una función inversa invierte una biyección. Despeje x en y=f(x), luego use el dominio original para elegir una rama. Para f(x)=(x−2)²−5 con x≥2, la inversa es 2+√(y+5) con y≥−5. La rama negativa devolvería entradas fuera del dominio elegido. Verifique f⁻¹(f(x))=x para x permitido y f(f⁻¹(y))=y para y permitido; una composición sin verificar puede ocultar un error de dominio.

La gráfica inversa refleja la gráfica original respecto a y=x; no toma recíprocos de los valores de salida. Una función auto-inversa, o involución, satisface f(f(x))=x siempre que la composición esté definida. Tanto −x en ℝ como 1/x en ℝ excluyendo cero son involuciones. Una involución estrictamente creciente en un intervalo debe ser la identidad: si f(x)>x, la monotonía creciente implica f(f(x))>f(x)>x, y un argumento análogo descarta f(x)<x.

La iteración fⁿ significa composición repetida, no la potencia (f(x))ⁿ. Calcule las primeras composiciones y verifique sus dominios antes de buscar un período. Para f(x)=1/(1−x) en ℝ excluyendo 0 y 1, f²(x)=(x−1)/x y f³(x)=x. La imagen permanece en el mismo dominio permitido. Por lo tanto, reduzca el número de iteraciones módulo tres. Una fórmula expresada igual a x tras la cancelación no restaura las entradas prohibidas.

Para f(x)=(x−2)²−5 con x≥2, f(5)=4 y f⁻¹(4)=2+√9=5. El cuadrático sin restricciones tendría dos entradas, −1 y 5, dando salida 4. Para g(x)=1/(1−x), la órbita 3→−1/2→2/3→3 tiene periodo tres, por lo que g⁸(3)=2/3; el conteo se refiere a composiciones, no a potencias octavas.

Cambiar el codominio cambia la superectividad. La reflexión a través de y=x es una gráfica inversa; recircular los valores y es una operación diferente. No cancele entradas excluidas.

Restrinja $f(x)=(x-1)^2+2$ a $x\ge1$. Indique su imagen e inversa, incluyendo dominios. Verifique ambas composiciones inversas.

Solución resuelta

La imagen es $[2,\infty)$. Al resolver $y=(x-1)^2+2$ con $x\ge1$ se selecciona $x=1+\sqrt{y-2}$. Así, $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ tiene esa fórmula. Para x permitido, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ porque $x-1\ge0$. Para y permitido, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. La rama de raíz cuadrada negativa pertenece a una restricción diferente, no a una segunda inversa en este dominio.

Sea $h(x)=1/(1-x)$. Determine el dominio de $h\circ h\circ h$ y su fórmula. ¿Puede la expresión simplificada extenderse a los puntos excluidos sin cambiar la composición original?

Verificar después de intentar

La primera etapa requiere $x\ne1$. La segunda requiere $h(x)\ne1$, que excluye x=0. Para $x\ne0,1$, $h^2(x)=(x-1)/x$. Esto nunca es igual a uno, por lo que la tercera etapa no añade exclusión. Luego $h^3(x)=x$ en $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. La fórmula de identidad está definida más ampliamente, pero añadir 0 o 1 define una extensión, no la composición original. Cada entrada intermedia debe estar permitida antes de la cancelación.

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Requisitos previos: Operaciones con conjuntos, cuantificadores, funciones y demostraciones elementales.

• Demostrar identidades de imagen y distinguir inclusión de igualdad
• Verificar reflexividad, simetría y transitividad con casos explícitos
• Negar implicaciones y enunciados cuantificados sin cambiar su alcance

imagen inversa: El conjunto de entradas cuyas salidas pertenecen a un conjunto objetivo especificado.

relación de equivalencia: Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Para f:X→Y y A⊆X, la imagen f(A) consiste en todas las salidas f(a) con a en A. Un punto está en f(A∪B) exactamente cuando proviene de A o de B, por lo que f(A∪B)=f(A)∪f(B). Si A⊆B, entonces f(A)⊆f(B). Para una intersección solo f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) es automático: la misma salida puede provenir de diferentes entradas. Use f(x)=x², A={−1}, B={1}; la imagen izquierda está vacía mientras que la intersección derecha es {1}.

Las preimágenes se comportan de manera diferente. Para C⊆Y, f⁻¹(C) denota aquí el conjunto de todas las entradas enviadas a C, incluso si f no tiene función inversa. La pertenencia a dos preimágenes significa que la misma entrada mapea hacia ambos conjuntos objetivo. En consecuencia, las preimágenes preservan uniones, intersecciones y complementos respecto al dominio/codominio indicado. No transfiera un teorema sobre preimágenes a imágenes. Si f es inyectiva, las intersecciones de imágenes se vuelven iguales, porque las salidas iguales obligan a una entrada compartida.

Una relación R en X es reflexiva cuando xRx para todo x, simétrica cuando xRy implica yRx, y transitiva cuando xRy e yRz implican xRz. Las tres constituyen una relación de equivalencia; sus clases particionan X. En los enteros, xRy cuando x e y tienen el mismo residuo módulo cuatro da lugar a cuatro clases. La relación |x−y|≤1 es reflexiva y simétrica pero no transitiva: 0R1 y 1R2 mientras que 0 no está relacionado con 2. Revisar solo un diagrama o verificar solo dos propiedades es insuficiente.

Una implicación P⇒Q es falsa exactamente cuando P es verdadera y Q falsa. Así, la negación de P⇒(Q∧R) es P∧(¬Q∨¬R), no ¬P⇒(¬Q∧¬R). Negar “todo x tiene la propiedad A” da “existe x sin A”; negar “existe x” da “todo x no”. Un contraejemplo puede refutar una afirmación universal, mientras que ejemplos no pueden probarla. Los cuantificadores retienen su orden al ser negados individualmente: ¬(∀xy S(x,y)) es ∃x∀y ¬S(x,y).

Sea f que mapea tanto a como b a la etiqueta L. Con A={a}, B={b}, f(A∩B)=∅ pero f(A)∩f(B)={L}. Para xRy definido por x=y o x=−y en ℝ, la reflexividad y la simetría se derivan directamente, y dos cambios de signo aún dan z=±x, probando la transitividad. Las clases son {x,−x}, con {0} como un singleton. Un enunciado falso “todo archivo almacenado tiene un hash” significa que al menos un archivo almacenado no tiene hash; no significa que todos los archivos carezcan de hashes.

f⁻¹(C) puede significar un conjunto preimagen sin función inversa. Una relación reflexiva y simétrica aún puede fallar en la transitividad. Niegue el enunciado completo antes de simplificar sus partes.

Demuestre $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$. Proporcione un ejemplo de inclusión estricta. ¿Bajo qué suposición adicional sobre f se sigue la igualdad para toda A y B?

Solución resuelta

Si $y=f(x)$ para $x\in A\cap B$, entonces x pertenece a cada conjunto, por lo que y pertenece a cada imagen. Para la estrictez, mapee a distintos a,b al mismo c y tome $A=\{a\}$, $B=\{b\}$. La imagen izquierda está vacía y la intersección derecha es $\{c\}$. Si f es inyectiva y $y=f(a)=f(b)$ con $a\in A,b\in B$, la inyectividad garantiza a=b en la intersección, probando la inclusión recíproca. Por el contrario, el ejemplo del singleton muestra que la igualdad para todos los pares fuerza la inyectividad.

En los enteros defina $aRb$ cuando $a-b$ es divisible por 4. Demuestre que es una relación de equivalencia y describa cada clase. Niegue: “Para todo entero n existe un entero m mayor que n con la propiedad P.”

Verificar después de intentar

La reflexividad usa $a-a=0$; la simetría usa el negativo de un múltiplo de cuatro; la transitividad usa la suma de dos tales múltiplos. Las clases son los cuatro residuos módulo cuatro; la clase de a es $a+4\mathbb Z$. La negación es: existe un entero n tal que todo entero m mayor que n no cumple P. Equivalente a $\exists n\,\forall m\,(m>n\Rightarrow\neg P(m))$. No afirma que P falle para todo entero, ni que m sea como máximo n para todo m.

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Prerrequisitos: Tablas de probabilidad, esperanza, varianza y muestreo independiente.

• Separar probabilidades condicionales, conjuntas e independientes
• Calcular probabilidades posteriores con una tabla completa de tasa base
• Usar varianza y tamaño muestral para determinar el error estándar de la media muestral

probabilidad posterior: Una probabilidad condicional a la evidencia observada tras considerar las proporciones previas.

error estándar: La desviación estándar de una estadística a través de muestras repetidas.

Para P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): restrinja la población a B antes de calcular la fracción en A. La independencia significa P(A∩B)=P(A)P(B), equivalentemente P(A|B)=P(A) cuando el denominador es distinto de cero. Eventos mutuamente excluyentes con probabilidades positivas no pueden ser independientes, porque su probabilidad conjunta es cero. El muestreo sin reemplazo generalmente cambia las probabilidades posteriores; un denominador fijo para dibujos sucesivos describiría un experimento diferente.

Construya probabilidades conjuntas multiplicando una proporción de categoría previa por la probabilidad condicional relevante. Si D es la condición y + un resultado positivo, P(D∩+)=P(D)P(+|D). La probabilidad total positiva es P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), porque estas son disjuntas y cubren todos los resultados positivos. Bayes divide la primera probabilidad conjunta por este total. La sensibilidad es P(+|D), mientras que la especificidad es P(−|not D); la tasa de falso positivo es uno menos la especificidad.

Para una prueba hipotética con prevalencia 2%, sensibilidad 90% y especificidad 95%, use una población de 10,000 para claridad. De 200 personas con la condición, 180 dan positivo. De 9,800 sin ella, 490 dan positivo. Por lo tanto, 180 de 670 resultados positivos tienen la condición: posterior 18/67, aproximadamente 26.9%. Invertir la condicional daría 90%, respondiendo una pregunta diferente. Este es un modelo matemático, no una recomendación sobre decisiones clínicas.

Para observaciones independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita σ², la media muestral tiene esperanza μ y varianza σ²/n; su error estándar es σ/√n. Esto representa la dispersión de las medias muestrales repetidas, no la dispersión de las observaciones individuales. Cuadruplicar n reduce a la mitad el error estándar, en lugar de reducirlo a un cuarto. Los datos de una población normal producen exactamente una media normal; de lo contrario, se requiere una aproximación del límite central con condiciones adecuadas y tamaño muestral suficiente. La correlación invalida el cálculo simple de varianza para observaciones independientes.

Sea P(A)=0.4, P(B)=0.5 y P(A∩B)=0.3. Entonces P(A|B)=0.6, por lo que A y B no son independientes, dado que 0.3≠0.4·0.5. Si una variable tiene desviación estándar 12, una muestra independiente de tamaño 36 tiene error estándar de la media 2. Aumentar el tamaño muestral a 144 da 1; la desviación estándar de observaciones individuales permanece en 12.

No invierta P(+|D) en P(D|+). Incluya los falsos positivos en el denominador posterior. La desviación estándar de observaciones individuales y el error estándar de su media tienen comportamientos distintos respecto al tamaño muestral.

En un modelo dado, 10% de los dispositivos tienen un defecto. Una prueba es positiva para 80% de los dispositivos defectuosos y 5% de los dispositivos no defectuosos. Encuentre la probabilidad de un defecto dado un resultado positivo usando 1000 dispositivos esperados.

Solución resuelta

Los conteos esperados son 100 defectuosos y 900 no defectuosos. Los conteos positivos son $100(0.8)=80$ y $900(0.05)=45$, respectivamente. El grupo condicionado contiene 125 positivos, por lo tanto

Los conteos negativos 20 y 855 verifican ambos totales de fila. La sensibilidad 0.8 es $P(+\mid D)$, no la condición invertida solicitada. Estas son tasas ilustrativas del modelo, no afirmaciones sobre el rendimiento medido.

Las observaciones independientes tienen varianza 25. Calcule el error estándar de su media para n=100. Si cada par distinto tiene covarianza 1, encuentre la varianza de la media. ¿Cuadruplicar n necesariamente reduce a la mitad el error estándar en ese segundo modelo?

Verificar después de intentar

La independencia proporciona $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ y a 100 error estándar $5/10=0.5$. Con covarianza uno,

En 100 es 1.24. El error estándar tiende a uno a medida que n crece, en lugar de tender a cero; cuadruplicar n no necesariamente lo reduce a la mitad. Los términos de covarianza solo pueden omitirse bajo una descorrelación justificada, siendo la independencia una condición suficiente.

Undergraduate GRE preparation. Local objectives within the reviewed ETS scope; this is original teaching, not an official test or score predictor.

Prerequisites: Similar triangles, distance formula and quadratic equations.

• Match triangle vertices by equal angles before forming a side ratio
• Apply length, area and volume scale factors to geometric changes
• Identify conic distance conditions and retain a signed hyperbola branch

similarity 相似: Equality of corresponding angles and a common ratio of corresponding lengths.

focus 焦点: A fixed point used in a conic distance definition.

Triangles are similar when their corresponding angles agree; their corresponding side ratios are then equal. Write the vertex correspondence explicitly. If triangle APQ has angle A equal to angle A of ABC and angle P equal to angle C, its ordered correspondence is A↔A, P↔C, Q↔B. Thus AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. The side AP lies on AB but corresponds to AC; matching by where a side lies or by the letter P can give the wrong ratio.

With a common length scale factor k>0, lengths multiply by k, areas by k² and volumes by k³. A 30% length increase means k=1.30, hence an area increase of 1.30²−1=0.69, or 69%; it is not 60%. For similar solids with a volume ratio of 27, the length ratio is 3 and the surface-area ratio 9. Percentage changes and absolute differences are different quantities; write the new-to-old ratio before converting it to a percent.

A circle fixes distance to one point. An ellipse fixes the sum of distances to two foci. A hyperbola fixes the absolute difference of those distances; a parabola fixes equality of distance to a focus and to a directrix. These are definitions of point sets, not sketches to memorise. For foci (−c,0) and (c,0), an ellipse uses a sum 2a with a>c. A nondegenerate hyperbola uses an absolute difference 2a with 0<a<c; a signed difference distinguishes its two branches.

For the hyperbola with horizontal transverse axis, c²=a²+b² and the equation is x²/a²−y²/b²=1. Let r_A be distance to (−c,0) and r_B distance to (c,0). The condition r_A−r_B=2a>0 selects the right branch x≥a; the negative condition selects the left. Squaring can lose this sign, so check the original distance condition after obtaining the equation. Difference zero gives the perpendicular bisector rather than a hyperbola; a difference exceeding the focal separation is impossible by the triangle inequality.

Let AB=10, AC=15 and BC=20. A point P on AB has AP=6, and Q on AC makes angle APQ equal to angle ACB. Then AP/AC=6/15=2/5, so PQ=8 and AQ=4. Separately, foci at (−5,0),(5,0) and distance-to-left minus distance-to-right equal to 6 give a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 with x≥3. The point (−3,0) satisfies the squared equation but fails the signed condition.

Match angles before sides. Area percentages use the square of the length factor. A squared distance equation may describe both branches even when the original problem asks for only one.

Similar solids have surface-area ratio 9:25. Find their corresponding length and volume ratios. Explain why matching vertices matters before forming a triangle ratio.

Worked solution

Taking positive square roots gives length ratio 3:5. Cubing gives volume ratio 27:125. The area ratio is not itself a length scale. Corresponding vertices must match equal angles; otherwise ratios can compare unrelated sides. Similarity is an assumption here; area ratios alone do not prove that arbitrary solids are similar.

For foci $A=(-5,0)$ and $B=(5,0)$, find the locus $|PA|-|PB|=6$. Derive its standard equation, choose its branch and check the vertex in the unsquared relation. What happens if the requested difference is 12?

Check after attempting

Write $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ and $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. The original condition is $r_A-r_B=6$. Since $r_A^2-r_B^2=20x$, multiplying the distance difference by their sum gives $r_A+r_B=10x/3$. Hence $r_B=5x/3-3$, which must be nonnegative. Squaring this equality gives $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Expanding and collecting gives $16x^2/9-y^2=16$. Thus the half focal distance is c=5, half difference is a=3, and the hyperbola is $x^2/9-y^2/16=1$, using $b^2=c^2-a^2=16$. The original positive difference selects the right branch $x\ge3$. At $(3,0)$ the distances are 8 and 2, difference six; at $(-3,0)$ the difference is negative six. Squaring alone retains this invalid branch. A difference of 12 exceeds $|AB|=10$ and is impossible by the reverse triangle inequality.

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Prerequisites: Radian trigonometry, derivatives and curve parametrisation.

• Distinguish amplitude, angular frequency, phase angle and horizontal shift
• Eliminate a parameter while retaining its domain and tracing direction
• Use parametric derivatives without assuming a vertical tangent is stationary

phase angle 相位角: The angle offset inside a periodic function argument, defined modulo a full period.

parametric curve 参数曲线: A curve whose coordinates are specified as functions of a shared parameter.

For y=A cos(ωx−φ) with A>0 and ω>0, amplitude is A, period is 2π/ω, and horizontal shift is φ/ω. The phase angle φ is measured inside the cosine argument; it is not itself the horizontal shift unless ω=1. Start with peak-to-peak spacing for the period and midline-to-peak distance for amplitude. To find phase, substitute a known point and check the direction of motion there. Equivalent phases differ by 2π.

For y=−2 cos(3x), rewrite the model with positive amplitude as 2 cos(3x−π). Its amplitude is 2, period 2π/3, and phase π; the equivalent right shift is π/3. Peaks occur where 3x−π is a multiple of 2π. A graph point at x=0 and y=0 alone cannot determine phase uniquely: slopes or another point distinguish the possible angles. Units and angle conventions matter; ordinary calculus trigonometric derivatives use radians.

A parametric curve specifies x=x(t), y=y(t). Eliminating t describes a point set but can lose restrictions and direction. For x=cos³t, y=sin³t, real cube roots give |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, an astroid with cusps on the axes. As t runs from 0 to 2π it starts at (1,0), passes (0,1) at π/2 and travels counterclockwise. Restricting t to [0,π/2] gives only the first-quadrant arc, not the entire implicit locus.

When dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). A horizontal tangent generally requires dy/dt=0 and dx/dt≠0; a vertical tangent generally reverses those conditions. If both vanish, inspect a limit or the local expansion rather than taking 0/0 as a slope. For x=t²,y=t³ at t=0, the quotient for t≠0 is 3t/2 and tends to zero: the cusp has a horizontal tangent. A zero parameter velocity is not by itself a local maximum or minimum of y as a function of x.

For y=−2 cos(3x), minima include x=0 and maxima include x=π/3. The phase representation 2 cos(3x−π) gives the same values. For x=2 cos t,y=sin t, elimination gives x²/4+y²=1; at t=π/4, dx/dt=−√2 and dy/dt=√2/2, hence slope −1/2. The full parameter interval [0,2π] traces the ellipse once counterclockwise.

Phase angle and horizontal shift differ by the frequency factor. An implicit equation can add untraced parts of a curve. If both parameter derivatives vanish, use local reasoning instead of labelling every such point an extremum.

For $y=-3\cos(2x)$, state amplitude, period, a positive-amplitude phase representation and the corresponding horizontal shift. Parameterise the ellipse $x^2/9+y^2/4=1$ counterclockwise.

Worked solution

Amplitude is three and period $2\pi/2=\pi$. Write $y=3\cos(2x-\pi)$, with phase $\pi$ and rightward shift $\pi/2$. Phase and shift are not the same. One parametrisation is $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, which begins at $(3,0)$ and initially moves upward. Eliminating t checks the ellipse equation.

For $x=t^2,y=t^3$ on $-1\le t\le1$, determine the traced locus and tangent at t=0. Does vanishing parameter velocity prove there is no tangent? Does the implicit equation alone retain the whole parameter restriction?

Check after attempting

Elimination gives $y^2=x^3$, with $0\le x\le1$ and both signs of y. For t nonzero, $dy/dx=3t/2\to0$. The secant slope from the origin is $y/x=t\to0$ too, so the cusp has horizontal tangent. Both parameter derivatives vanish at zero, making the raw quotient $0/0$ inconclusive, not proving absence of a tangent. The unrestricted implicit equation also has points with x>1; the interval restriction must be carried separately.

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Prerequisites: Coordinate vectors, dot/cross products and norms.

• Use dot products to classify angles and compute projections
• Calculate triangle area and orientation using a cross product
• Construct or rule out planar dot-product sign configurations

orthogonal 正交: Having a zero dot product in a real inner-product space.

cross product 叉积: An oriented perpendicular vector in three dimensions whose magnitude is spanned parallelogram area.

For nonzero real vectors u,v, u·v=|u||v| cos θ. A positive, zero or negative dot product corresponds to an acute, right or obtuse smaller angle. The scalar projection of v along u is (v·u)/|u|; its vector projection is ((v·u)/(u·u))u. The difference from this projection is orthogonal to u. Do not confuse a projected vector with its signed scalar component. The zero vector is orthogonal to every vector but has no defined angle direction.

For three-dimensional vectors, u×v is perpendicular to both with length |u||v| sin θ. Coordinate calculation uses (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). This length is the parallelogram area, so a triangle from two edge vectors has half that area. Reversing their order reverses the cross product but preserves area. Build both edge vectors from the same vertex; crossing two unrelated position vectors generally measures the wrong triangle.

The plane through a point p with nonzero normal n has equation n·(x−p)=0. Distance from q to the plane is |n·(q−p)|/|n|; the denominator normalises the scale of the equation. A scalar triple product u·(v×w) gives signed parallelepiped volume; its absolute value is geometric volume. Zero triple product means dependence of the three edge vectors, not necessarily that each pair is perpendicular or parallel.

For four planar vectors, there are six unordered dot products. The configuration e₁,−e₁,e₂,−e₂ has two negative products and four zeros; e₁,e₁,e₂,e₂ has two positive products and four zeros. Four nonzero vectors cannot have every pairwise dot product negative. Order their directions around the circle: each consecutive angular gap would have to exceed 90°, forcing the sum of four gaps above 360°. A zero vector cannot rescue a strict-negative requirement, because its dot products vanish.

With p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), the edges are u=(2,0,0), v=(0,3,0). Their cross product is (0,0,6), giving triangle area 3. For w=(3,4) and u=(1,0), the vector projection is (3,0) and the orthogonal remainder is (0,4). The plane 2x−y+2z=6 has normal length 3, so its distance from the origin is 6/3=2.

A cross-product magnitude is parallelogram area, so halve it for a triangle. Dot-product zero is an algebraic orthogonality statement even for a zero vector. Plane distance must divide by normal length.

Project $v=(2,3,6)$ onto $u=(1,0,2)$. Find the area of the triangle with vertices O, u and v. Check the projection residual is orthogonal to u.

Worked solution

$v\cdot u=14$ and $u\cdot u=5$, so the vector projection is $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$. The residual is $(-4/5,3,2/5)$, whose dot product with u is zero. The cross product is $u\times v=(-6,-2,3)$ with norm seven. Triangle area is half the parallelogram area, or $7/2$. Both edge vectors start at O; crossing unrelated position vectors would not generally compute the requested triangle.

Can four nonzero vectors in $\mathbb R^2$ have all six pairwise dot products strictly negative? Give a proof. How does allowing zero products change the possibilities?

Check after attempting

Order their directions around the circle. Every consecutive gap must exceed $\pi/2$: if a gap were at most $\pi/2$, that pair would have nonnegative dot product. Four such gaps would sum to more than $2\pi$, impossible. Therefore not all six products can be strictly negative. With nonpositive products, $e_1,e_2,-e_1,-e_2$ works: consecutive pairs are perpendicular and opposite pairs have negative products. A zero vector cannot satisfy strict negativity.

Undergraduate GRE preparation. Local objectives within the reviewed ETS scope; this is original teaching, not an official test or score predictor.

Prerequisites: First-order product rule, exponentials and characteristic equations.

• Solve first-order linear equations using an integrating factor
• Construct the homogeneous and particular parts of a constant-coefficient solution
• Handle resonance and verify the result in the original equation

integrating factor 积分因子: A multiplier that turns a first-order linear equation into a product derivative.

particular solution 特解: One solution supplying the specified nonhomogeneous forcing.

A first-order linear equation has the form y′+p(x)y=q(x) on an interval where its coefficients are continuous. It need not be separable. Set μ(x)=exp(∫p(x)dx). Since μ′=pμ, multiplying gives (μy)′=μq, hence y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Choose any convenient antiderivative for p; its integration constant only rescales μ and cancels from the solution. Apply initial data after integration, and keep any singular coefficient points outside the chosen interval.

For y′+2xy=x with y(0)=1, μ=e^(x²). Then (e^(x²)y)′=x e^(x²), whose integral is e^(x²)/2+C. Thus y=1/2+C e^(−x²), and the initial condition gives C=1/2. Direct substitution checks y′+2xy=x. The integrating factor makes the left side a product derivative; it is not an extra factor that remains multiplying the original right side in the final answer.

For ay″+by′+cy=r(x) with a nonzero, solve the characteristic equation aλ²+bλ+c=0 for the homogeneous part. Distinct real roots give two exponentials; a repeated root λ gives (C₁+C₂x)e^(λx); roots α±iβ give e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). The complete solution is y_h+y_p. A polynomial forcing suggests a polynomial particular trial; an exponential or sine/cosine forcing suggests the corresponding family, with enough coefficients to account for differentiation.

If a particular trial duplicates a homogeneous solution, it cannot produce the forcing: multiply by x once for a simple root, twice for a repeated root. For y″−3y′+2y=e^x, the naive Ke^x is annihilated. Trying Kxe^x gives −Ke^x, so y_p=−xe^x. Initial conditions determine the homogeneous constants only after adding y_p. Substitute the final function into the original equation to check signs and forcing; an initial-value check alone cannot verify the differential equation.

For y″−3y′+2y=4, the characteristic roots are 1 and 2. A constant particular solution y_p=2 gives 2y_p=4, so y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. For y′+2xy=x and y(0)=1, the separate first-order solution is y=(1+e^(−x²))/2. These illustrate distinct methods; neither equation becomes homogeneous just because its left side is linear.

Keep the particular solution. A resonant trial needs an x factor. The integrating-factor derivation applies on a valid coefficient interval and should not divide by y or silently discard zero solutions.

Solve $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$, by an integrating factor. Check the answer directly.

Worked solution

The coefficients are continuous everywhere. The integrating factor is $\mu=e^{2x}$. Multiplication gives $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. Integration gives $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. The initial condition yields C=2/3, so $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. Differentiation gives $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; adding 2y gives $e^x$, and y(0)=1.

Solve $y''-2y'+y=e^x$ with $y(0)=0,y'(0)=0$. Explain why neither $Ke^x$ nor $Kxe^x$ is a sufficient particular trial.

Check after attempting

The homogeneous root is 1 with multiplicity two, so $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Both suggested trials already belong to that homogeneous space and are annihilated. Put $y=e^xv$; then $y''-2y'+y=e^xv''$. Therefore $v''=1$ and $v=x^2/2+C_2x+C_1$. The two initial conditions give $C_1=C_2=0$, hence $y=x^2e^x/2$. This substitution also checks the forcing without relying only on initial values.

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Prerequisites: Binomial coefficients, complements and assignment tracing.

• Count indistinguishable allocations with nonnegative or positive constraints
• Trace a flowchart in statement order with correct reset behaviour
• Use a loop invariant and a progress measure to justify an algorithm

weak composition 弱组合分拆: An ordered allocation of a total into nonnegative integer parts.

loop invariant 循环不变量: A property preserved before and after each iteration of a loop.

The number of nonnegative integer solutions of x₁+⋯+x_k=n is C(n+k−1,k−1), for n≥0 and k≥1. Represent n identical stars separated into k named boxes by k−1 bars; adjacent bars and end bars allow zero entries. Boxes are distinguishable, objects are not. Counting distinct tokens would instead assign each token independently, giving k^n before other constraints. Decide the model from what the objects and recipients represent, not from a familiar-looking binomial coefficient.

For positive allocations x_i≥1, put z_i=x_i−1; the remaining total is n−k, giving C(n−1,k−1) when n≥k. More general lower bounds x_i≥a_i are handled by subtracting each a_i. At least one zero is the complement of every entry positive: subtract C(n−1,k−1) from the nonnegative total. Overlapping cases such as exactly two empty boxes need a different count; subtracting each empty-box case independently double-counts their intersections.

Trace a flowchart one executed statement at a time, recording variables in a table. Distinguish assignment from a mathematical equality test; the right side of an assignment uses the old value before replacement. Record which branch executes next and which variables reset. A new outer-loop candidate may reset an inner sum without resetting the candidate itself. For a process that adds 1,3,5,… to S from zero, after m additions S=m² and the next addend is 2m+1.

A loop invariant is true before and after each iteration. The square-sum invariant holds initially at m=0 and is preserved because m²+(2m+1)=(m+1)². An invariant alone does not prove termination. To test whether an integer N≥0 is square by adding odd numbers until S≥N, S grows without bound; equivalently m increases and must reach a bound such as N. At exit, equality means square and overshoot means nonsquare. A printed value must be reached on an actual execution path; a plausible numerical pattern alone is not a trace.

Distribute 11 identical tokens among 4 named boxes. Nonnegative allocations number C(14,3)=364; all-positive allocations number C(10,3)=120. Therefore 244 allocations have at least one empty box. For the odd-sum test with N=10, S progresses 0,1,4,9,16; it overshoots and rejects 10. For N=9 it exits at S=9 after three additions. The next addends are 1,3,5,7,9; sum and next-addend columns must not be confused.

Identical objects and distinct objects use different models. At least one empty box is not the same as exactly one. In a flowchart, preserve update order and reset only variables that the executed path actually resets.

Count nonnegative solutions of $a+b+c=8$ with $a\ge2$. How many also have $b,c\ge1$? How many of the first set have at least one of b,c equal to zero?

Worked solution

Put $u=a-2$. Then $u+b+c=6$ has $\binom82=28$ nonnegative solutions. Requiring b,c positive and subtracting one from each gives total four in three nonnegative variables, counted by $\binom62=15$. The complement count is $28-15=13$. Directly b=0 gives seven, c=0 gives seven, and both zero is counted twice, giving $7+7-1=13$.

Trace this algorithm for N=15 and N=16: initialise S=0, k=1; while S<N, execute S=S+k, then k=k+2; report whether S=N. State an invariant, and justify termination for integer $N\ge0$.

Check after attempting

After m iterations, $S=m^2$ and $k=2m+1$. The trace pairs (S,k) are $(0,1),(1,3),(4,5),(9,7),(16,9)$. Thus 15 is rejected by overshoot and 16 accepted. The invariant holds initially and is preserved since $m^2+(2m+1)=(m+1)^2$. The sum grows without bound, so it eventually reaches or exceeds N; for example m=N suffices when N is positive. For N=0 the loop is skipped and equality holds. An invariant alone would not establish termination.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Regla de la cadena, inversión matricial e hipótesis de inverso local.

• Diferencie un sistema acoplado implícito como un sistema lineal
• Use un determinante jacobiano distinto de cero para justificar un inverso local
• Distinga entre derivadas parciales inversas y reglas de recíproco escalar

Matriz jacobiana: La matriz de derivadas parciales primeras de una función vectorial.

inverso local: Un inverso definido en vecindades de un punto de entrada y salida específico.

Para una función diferenciable F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), su jacobiano es J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Los pequeños cambios satisfacen [dx,dy] (transpuesta)=J[du,dv] (transpuesta) al primer orden. Para encontrar u_x manteniendo y fijo, diferencie ambas ecuaciones definitorias con respecto a x: f_u u_x+f_v v_x=1 y g_u u_x+g_v v_x=0. Estos son un sistema lineal acoplado, no dos reglas inversas escalares independientes.

Si f y g son continuamente diferenciables cerca del punto y det J=f_u g_v−f_v g_u es distinto de cero allí, el teorema de la función inversa proporciona un inverso local diferenciable. Su derivada es J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Así, u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J y v_y=f_u/det J. Evalúe todas las derivadas en el punto correspondiente. Un inverso local no necesariamente se extiende a uno global.

Para ecuaciones implícitas H(u,v,x,y)=0 y K(u,v,x,y)=0, diferencie manteniendo fija la coordenada independiente solicitada. Resuelva [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpuesta)=−[H_x,K_x] (transpuesta). El determinante en las variables desconocidas u,v debe ser distinto de cero para usar el teorema implícito usual. Los signos a la derecha provienen de mover las derivadas conocidas al otro lado. Si el determinante se anula, este teorema es inconclusivo; no demuestra por sí mismo la inexistencia de ningún inverso o solución implícita.

El atajo escalar du/dx=1/(dx/du) vale para un inverso de una variable con derivada distinta de cero, pero generalmente falla para un sistema acoplado porque v cambia para mantener y fijo. Para x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] tiene determinante 1 e inverso [[2,−1],[−1,1]]. Por lo tanto u_x=2 mientras 1/f_u=1. Un jacobiano inverso transforma sensibilidades diferenciales; una integral de cambio de variables usa en cambio el valor absoluto del determinante para el escalado de área o volumen, no una entrada inversa seleccionada.

Tome x=u²+v e y=u−v. En (u,v)=(1,0), la salida es (1,1), y J=[[2,1],[1,−1]] tiene determinante −3. La inversa es [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], por lo tanto u_x=1/3 y v_y=−2/3 allí. Multiplicar J por esta inversa da la identidad. El recíproco 1/f_u=1/2 no es u_x porque cambiar u también requiere cambiar v para mantener fijo y.

Diferencie ambas ecuaciones e indique cuál salida se mantiene fija. Un determinante no nulo garantiza una inversa local bajo las hipótesis de regularidad; el determinante nulo no es prueba de imposibilidad. Use una entrada de la inversa para las sensibilidades y un valor absoluto del determinante para la integración.

Sea $x=u^2+v,y=u-v$. En $(u,v)=(1,0)$, encuentre el jacobiano inverso y las cuatro derivadas parciales inversas. Verifique mediante multiplicación.

Solución resuelta

La salida correspondiente es $(1,1)$. El jacobiano es $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ con determinante -3, distinto de cero. Las derivadas parciales continuas dan un inverso local diferenciable. Por lo tanto

Lea las filas como (u_x,u_y) y (v_x,v_y), todas en la salida (1,1). La multiplicación da la identidad. En particular $u_x=1/3$, no $1/x_u=1/2$: v cambia para mantener y fijo.

Para $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, decida si su derivada es invertible lejos del origen y si F es globalmente inyectiva en el plano sin el origen. ¿Qué establece por sí mismo un determinante nulo en el origen?

Verificar después de intentar

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ lejos de cero, así que el teorema de la función inversa proporciona un inverso local en cada uno de esos puntos. Pero $F(u,v)=F(-u,-v)$, por lo que no es globalmente inyectiva en el plano sin el origen. Un determinante nulo en cero significa que este teorema no puede garantizar un inverso local diferenciable allí. No es, por sí mismo, una prueba general de que no pueda existir ningún inverso conjuntista local para ninguna función; por ejemplo, la función escalar cúbica es biyectiva a pesar de tener derivada cero en cero.

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Prerequisites: Row operations, triangular systems and rank-nullity.

• Solve a factored linear system by forward and backward substitution
• Apply row permutations consistently when pivoting is required
• Bound the kernel dimension of a composition using image-kernel intersections

forward substitution 前代: Solving a lower triangular system from its first equation downward.

nullity 零度: The dimension of the kernel of a linear map.

A factorisation A=LU expresses a square matrix as lower triangular L and upper triangular U. With unit diagonal L, forward substitution is especially simple. An invertible matrix need not admit this form without row exchanges: a zero leading pivot can require a permutation. For PA=LU, solve Ly=Pb, then Ux=y. The permutation acts on the right side as well as the coefficient matrix. Nonzero leading principal pivots justify the usual no-exchange elimination, not invertibility alone.

In Ly=b, compute y from top to bottom, subtracting terms already known; divide by the current diagonal unless it is one. In Ux=y, compute x from bottom to top. For each equation substitute back into the original row as a check. Reusing LU for many right sides avoids repeating the elimination: dense factorisation takes cubic-order work in dimension, while each triangular solve takes quadratic-order work. Exact arithmetic can check small examples; numerical pivoting reduces some roundoff problems but cannot remove inherent ill-conditioning.

For B:V→W and A:W→Z, ker B is contained in ker(A∘B), but the latter can be larger. Extra vectors are those mapped by B into ker A. Restrict B to ker(A∘B): its image is im B∩ker A and its kernel is ker B. Rank-nullity on this restricted map gives dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). The intersection, not the whole kernel of A, determines the extra nullity.

For endomorphisms of R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3, rank B=3 and the intersection dimension can range from 0 to 2. Thus nullity of A∘B ranges from 3 to 5. Bounds depend on the common intermediate space: for subspaces of dimensions r and s in an m-dimensional space, their intersection has dimension between max(0,r+s−m) and min(r,s). Reversing the composition can change its nullity, even though AB and BA are both defined. Choose compatible spaces before applying these formulas.

Let L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], and b=(−1,−1,12). Forward substitution gives y=(−1,1,8). Back substitution gives x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, and x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. Therefore x=(1,−1,2). Multiplying Ux gives y and multiplying Ly gives b, independently checking the factor order.

Solve with L first and U second, and permute b if PA=LU. A composition’s nullity is not automatically the sum of the two nullities; only the image-kernel intersection adds to nullity B.

Let $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ and $b=(5,12)^T$. Solve LUx=b and verify in the multiplied matrix. For PA=LU, where does P act when solving Ax=b?

Worked solution

First solve Ly=b: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$, so $y_2=2$. Then Ux=y gives $x_2=1$ and $3x_1+1=5$, hence $x_1=4/3$. The product matrix is $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$; applying it to $(4/3,1)^T$ gives $(5,12)^T$. If PA=LU, multiply the original equation by P and solve Ly=Pb, followed by Ux=y. Omitting P on b solves a different system.

Let A and B be endomorphisms of $\mathbb R^5$ with nullities two and three, respectively. Find all possible nullities of AB, and justify both the bound and attainability.

Check after attempting

Rank B is two. Restrict B to $\ker(AB)$ to get

The two subspaces in the intersection both have dimension two in five dimensions, so intersection dimension may be zero, one or two. Thus nullity is 3, 4 or 5. To realise each, take $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ and image B respectively $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ or $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. Choose any rank-two B onto that image. These constructions prove attainability rather than only a loose interval bound.

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Prerrequisitos: Regla del producto, límites impropios y regiones de integración planas.

• Derivar reducciones de integración por partes con límites de extremo válidos
• Invertir una integral doble reconstruyendo su región
• Usar simetría de reflexión verificando el comportamiento eliminable en los extremos

integración por partes: Una identidad de integración derivada de la regla del producto con un término de frontera.

simetría de reflexión: Una relación entre los valores del integrando en puntos simétricos respecto al punto medio de un intervalo.

La integración por partes deriva de la regla del producto: ∫u dv=uv−∫v du. Para integrales definidas, incluye el término de frontera en ambos extremos. Con I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, elige u=(ln t)^n y dv=dt. Para n≥1, el límite inferior se anula, obteniendo I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Un signo más violaría la identidad diferenciada. Mantén el mismo límite inferior en una recurrencia; cambiarlo altera las constantes.

Para integrales impropias, aplica primero la identidad en extremos finitos, luego justifica el límite de frontera y la integral restante. Si ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, establece u=x y dv=x e^(−x²)dx para ∫x²e^(−x²)dx. Dado que v=−e^(−x²)/2 y x e^(−x²)→0 en ambos infinitos, el segundo momento completo es √π/2. La paridad proporciona el momento de la semirrecta positiva √π/4. El término de frontera anulado forma parte del argumento, no una propiedad automática de toda integral impropia.

Para invertir ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, describe el triángulo 0≤x≤y≤1, luego reescríbelo como ∫₀¹integral de 0 a yF(x,y)dx dy. Tanto el intervalo exterior como los límites internos cambian; solo intercambiar símbolos altera la región. Para F=e^(y²), integrar respecto a x primero da ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. La continuidad en este triángulo compacto hace válida la inversión de orden; casos singulares o condicionalmente convergentes requieren mayor cuidado.

Si una función integrable en [a,b] satisface f(a+b−x)=−f(x), la reflexión iguala su integral a su negativo, por lo tanto cero. Para sin(2mx)/sin x en [0,π] con entero positivo m, la reflexión x↦π−x cambia el signo del numerador y preserva el denominador. Las aparentes singularidades en los extremos son removibles: los límites son 2m en cero y −2m en π. Verifica estos límites antes de invocar simetría; la cancelación no sustituye a la integrabilidad.

Para I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, la recurrencia da x(ln x)²−2I₁(x), con I₁(x)=x ln x−x+1. Por lo tanto I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. La constante −2 asegura que I₂(1)=0. Por separado, invertir la integral triangular de e^(y²) produce un factor y de la longitud interna en x; omitir ese factor restauraría la dificultad original y cambiaría el valor.

La integración por partes impropia necesita límites de extremo. Reconstruya la región antes de invertir el orden. Un integrando reflejado con apariencia extraña debe ser integrable, incluyendo cualquier extremo eliminable.

Evalúa $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ invirtiendo el orden. Describe la región antes y después de la inversión. Deriva una fórmula para $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.

Solución resuelta

La región es $0\le x\le y\le1$. En el orden invertido, y varía de cero a uno y x de cero a y. La continuidad en el triángulo compacto permite la inversión de orden, dando $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. Integración por partes con $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ da $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. Dado que $I_1=x\ln x-x+1$,

La derivada verifica el integrando; sustituir x=1 verifica la constante.

Para entero positivo m, evalúa $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. Justifica la integrabilidad en los extremos antes de invocar la simetría.

Verificar después de intentar

Los límites en los extremos son 2m en cero y -2m en pi, por el límite seno de primer orden. Ambas singularidades son removibles, así que el integrando extendido continuamente es integrable. La reflexión $x\mapsto\pi-x$ preserva el denominador e invierte el numerador. La integral iguala su negativo y por tanto es cero. La cancelación simétrica no establecería convergencia para un extremo verdaderamente divergente; los límites removibles son esenciales.

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Prerequisites: Chain rule, circular cross-sections and limits.

• Translate a geometric rate into a derivative of the relevant quantity
• Derive and differentiate a spherical-cap volume formula
• Separate continuous quotient extension from differentiable extension

related rate 相关变化率: A rate obtained by differentiating the relationship between changing quantities.

removable limit 可去极限: A finite nearby limit used to fill in a missing function value continuously.

For a quantity V depending on a changing depth h(t), the chain rule gives dV/dt=V′(h) dh/dt. A draining tank has dh/dt<0, so signed dV/dt is negative; an outflow magnitude is its negative. Draw the geometry and name the instantaneous depth before substituting numbers. Do not treat the rate as a static volume divided by elapsed time unless the situation actually specifies a constant average rate.

A spherical tank of radius R has cross-section radius squared R²−(R−h)²=2Rh−h² at depth h from the bottom. Integrating these circular areas gives the cap volume V(h)=π(Rh²−h³/3), for 0≤h≤2R. Its derivative π(2Rh−h²) is the current cross-sectional area. At R=3,h=1,dh/dt=−1/4, signed volume rate is −5π/4 and outflow magnitude 5π/4. The formula works for both shallow and deep caps within the stated range.

If f and g are continuously differentiable near zero, f(0)=g(0)=0 and g′(0)≠0, then f(x)/g(x) tends to f′(0)/g′(0). This follows from f(x)=f′(0)x+o(x) and g(x)=g′(0)x+o(x); continuity of g′ keeps the quotient defined nearby except at zero. Filling in this limit gives a continuous extension. The argument does not require f′(0) nonzero, and it does not prove the extended quotient differentiable.

For f(x)=x|x| and g(x)=x, both are continuously differentiable, f(0)=g(0)=0 and g′(0)=1. Their quotient for x≠0 is |x|, which extends continuously at zero but has unequal one-sided derivatives there. For (f²−f)/(2g−g³), factor to (f/g)(f−1)/(2−g²); its removable limit is −f′(0)/(2g′(0)). Additional factors approach −1 and 2. Distinguish the limit of the quotient from the derivative of its extension.

For a sphere with R=3 and depth h=1, cross-sectional area is π(6−1)=5π. A depth decrease of 1/4 per time unit therefore removes volume at magnitude 5π/4 per time unit. For f(x)=sin(2x),g(x)=3x, the quotient extends at zero with value 2/3. This limit says nothing about the size of a tank and should not be substituted as a derivative rate without identifying the dependent quantities.

Use instantaneous cross-section area, not total tank surface area. Report a signed volume change or a positive outflow as requested. A finite removable quotient limit establishes continuity, not differentiability of the filled-in quotient.

A spherical tank has radius 2 m and water depth h measured from its bottom. Derive V(h). At h=1 m and $dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$, find signed volume change and outflow magnitude.

Worked solution

At depth s, the cross-sectional radius obeys $r(s)^2=2Rs-s^2$. Integrating disks gives $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ for $0\le h\le2R$.

The outflow magnitude is $0.3\pi\ \mathrm{m^3/min}$. The sign describes loss of stored water, not negative physical outflow.

Suppose f,g are continuously differentiable near zero, $f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$. Find the removable limit of $(f^2-f)/(2g-g^3)$. Do these assumptions imply differentiability of the extended quotient? Give a counterexample to that general implication.

Check after attempting

Since g'(0) is nonzero, the denominator is nonzero near zero except at zero. Factor the expression as $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. Its limit is $(4/2)(-1)/2=-1$. First-order differentiability gives $f/g\to f'(0)/g'(0)$; it does not give second-order control. For a counterexample preserving these derivatives, take $f(x)=4x+x|x|$ and $g(x)=2x$. They are continuously differentiable. For nonzero x the quotient becomes $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. Its expansion is $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$, giving different one-sided derivatives. Thus the extension is continuous but not differentiable.

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Axiomas métricos, sucesiones de Cauchy y topología desde una base.

• Verifique una métrica de retroceso usando las propiedades de su mapa definitorio
• Determine la completitud mediante la imagen de una isometría
• Determine el cierre usando cada vecindad básica en lugar de la intuición euclidiana

espacio métrico completo: Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy converge a un punto de ese espacio.

base de vecindades: Vecindades básicas suficientes para probar propiedades topológicas locales.

Para un mapa inyectivo h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| es una métrica: la simetría y la desigualdad triangular provienen de R, y la inyectividad asegura que d(x,y)=0 solo cuando x=y. El mapa h es una isometría sobre su imagen h(X). Si h no es inyectivo, esta construcción puede ser solo una pseudométrica. Las distancias acotadas no prueban que un espacio sea completo, y un conjunto familiar de puntos puede tener comportamientos de Cauchy muy diferentes bajo distintas métricas.

La métrica de retroceso es completa exactamente cuando la imagen h(X) es completa en la distancia real ordinaria. Un subconjunto cerrado de R es completo. Para h(x)=arctan x en R, la imagen es (−π/2,π/2), que omite sus extremos. La secuencia n es de Cauchy en la métrica de retroceso porque arctan n→π/2, pero ningún número real x satisface arctan x=π/2, por lo que la métrica es incompleta. Para h(x)=x³, la imagen es todo R y la métrica de retroceso es completa. La equivalencia topológica sola no preserva la completitud.

En una topología con una base, x pertenece al cierre de A cuando cada vecindad abierta básica de x intersecta A. Esta es una prueba de pertenencia, no automáticamente una operación de extremo euclidiano. La base debe cubrir el espacio, y para un punto en dos conjuntos básicos debe haber un conjunto básico más pequeño que lo contenga dentro de su intersección. Un punto puede pertenecer al cierre de un singleton incluso cuando no es el punto del singleton mismo; esa posibilidad depende de la topología.

En X={2,3,4,…}, tome conjuntos básicos U_k={n in X: n divides k}, para k≥2. Cubren X ya que x∈U_x; las intersecciones son U_gcd(k,l) cuando el mcd es al menos 2, o vacías. Un punto x pertenece al cierre de {n} exactamente cuando todo k divisible por x también es divisible por n: equivalentemente, n divide a x. Más directamente, la vecindad básica más pequeña U_x contiene a n precisamente cuando n divide a x, y cualquier otra vecindad que contenga a x incluye estos divisores. Así, el cierre de {8} consiste en los múltiplos positivos de 8, no en los divisores de 8.

Bajo d(x,y)=|arctan x−arctan y|, la secuencia de enteros tiende hacia un extremo de imagen ausente en lugar de un punto de R, así que es cauchy sin convergencia en ese espacio. En la base divisora, 16 está en el cierre de {8}, ya que cualquier conjunto básico que contiene 16 también contiene 8. Pero 4 no: U_4={2,4} es un vecindario de 4 que carece de 8. Esto separa explícitamente los múltiplos de los divisores.

Un límite cauchy debe pertenecer al mismo espacio. La completitud es una propiedad métrica, no solo topológica. Para el cierre, pruebe cada vecindario del punto candidato, en lugar de cada vecindario del valor singleton.

En $\mathbb R$, compare $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ y $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Demuestre que son métricas y determine la completitud.

Solución resuelta

Ambas funciones definitorias son inyectivas, lo que garantiza separación positiva; la distancia absoluta proporciona simetría y la desigualdad triangular. Cada función es una isometría sobre su imagen real. La proyección cúbica tiene como imagen todo $\mathbb R$, un espacio completo, por lo que d1 es completa. La imagen de la arcotangente es el intervalo abierto $(-\pi/2,\pi/2)$, que no es completo. La secuencia n es d2-cauchy porque arctan(n) tiende a π/2, pero ningún punto real tiene esa imagen, por lo que carece de límite d2. Los valores acotados de una métrica no implican completitud.

En $X=\{2,3,4,\ldots\}$ utilice la base divisoria $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Encuentre la clausura de $\{6\}$ y el interior de $\{6\}$. Verifique las condiciones de la base, incluidas las intersecciones vacías.

Verificar después de intentar

Todo x pertenece a Ux. Una intersección es $U_{\gcd(k,l)}$ si el mcd es al menos dos, y es vacía para mcd igual a uno. Así, un punto en una intersección posee un vecindario básico contenido en ella. El menor vecindario básico de x es Ux, contenido en todo Uk que contenga a x. Intersecta {6} exactamente cuando $6\mid x$. Por tanto, la clausura es $\{6,12,18,\ldots\}$, los múltiplos de seis. El punto seis no es interior a su singleton porque U6 también contiene a dos y tres. Ningún otro punto está en ese singleton, por lo que su interior es vacío. Este cálculo de clausura utiliza todos los vecindarios básicos, no la intuición euclidiana.