C.4 · expansiones de Taylor y extremos de series de potencias

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Derivadas, series geométricas y pruebas de convergencia.

• Construir polinomios de Taylor y controlar el error de aproximación
• Determinar radios de convergencia y probar extremos por separado
• Diferenciar e integrar series de potencias dentro de su intervalo de convergencia

radio de convergencia: La distancia desde el centro de la serie dentro de la cual una serie de potencias converge absolutamente.

resto: La diferencia entre una función y su aproximación finita.

El polinomio de Taylor de grado m en a es la suma de f^(k)(a)(x−a)^k/k! para k desde cero hasta m. El factorial pertenece a cada coeficiente. Si la siguiente derivada está acotada en magnitud por M entre a y x, el resto de Lagrange tiene magnitud como máximo M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. La suavidad sola no garantiza que la serie de Taylor infinita iguale a la función en todas partes.

Una serie de potencias sum c_n(x−a)^n converge absolutamente dentro de su radio R y diverge fuera de él. Las pruebas de cociente o raíz suelen determinar R, con valores posibles cero e infinito. En x=a−R y x=a+R la prueba suele ser inconclusiva; sustituye cada extremo en la serie original. Los comportamientos en los extremos pueden diferir.

Dentro del intervalo abierto de convergencia, la diferenciación e integración término a término preservan el radio. Pueden cambiar si se incluyen los extremos. Comienza con la serie geométrica 1/(1−x)=sum x^n para |x|<1, luego integra desde cero hasta x para obtener −ln(1−x)=sum x^n/n para n≥1. Verifica la constante de integración y el dominio del logaritmo real.

Las series también resuelven formas indeterminadas de límites removibles. Para evaluar (e^x−1−x)/x² cerca de cero, retén el primer término superviviente x²/2 en lugar de usar solo e^x≈1+x. Una truncación asintótica establece el límite; una desigualdad de intervalo finito necesita un argumento separado de signo o magnitud del resto. No sustituyas en una serie fuera de su intervalo de convergencia.

Para sum x^n/n con n≥1, la prueba de cociente da radio 1. En x=1 es la serie armónica divergente; en x=−1 es una serie alternante convergente. Así, su intervalo de convergencia real es [−1,1). Diferenciar internamente da sum x^(n−1)=1/(1−x), que no converge en ninguno de los extremos. El radio permaneció 1 mientras que la inclusión de extremos cambió.

Un radio no es un intervalo completo de convergencia. Las pruebas de extremos y los coeficientes factoriales deben verificarse explícitamente.

Encuentra el intervalo de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ y de su derivada término a término. Aproxima $e^{0.1}$ mediante su polinomio de Taylor cuadrático con una cota de error justificada.

Solución resuelta

La prueba de cociente da radio uno. En 1 la serie armónica original diverge; en -1 la serie alternante converge. Así, el intervalo original es $[-1,1)$. La derivada es $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ solo para $|x|<1$; sus términos no tienden a cero en ninguno de los extremos. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. En $[0,0.1]$, la tercera derivada es $e^x<2$. La cota de Lagrange da $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. La cota es deliberadamente conservadora, no una afirmación de error exacto.

Evalúa $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Explica por qué reemplazar coseno por solo $1-x^2/2$ no puede determinar este límite.

Verificar después de intentar

El teorema de Taylor cerca de cero da $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. La resta cancela los términos constantes y cuadráticos, dejando $x^4/24+O(x^6)$. Tras la división, el límite es $1/24$. Una truncación con resto simplemente $o(x^2)$ no proporciona control tras dividir por $x^4$; retén y acota el primer orden superviviente.