A.2 · Álgebra abstracta y teoría de números

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Aritmética entera, conjuntos, funciones y demostración por contraejemplo.

• Use grupos, subgrupos, homomorfismos y estructuras cociente
• Distinga anillos, dominios de integridad y cuerpos
• Aplique divisibilidad, congruencias y teoría elemental de números

homomorfismo: Un mapa que preserva la operación relevante.

cuerpo: Un anillo conmutativo donde cada elemento nonzero tiene inverso.

Un grupo necesita clausura, asociatividad, identidad e inversos. La conmutatividad es una condición adicional.

Un homomorfismo preserva la operación. Su núcleo es un subgrupo normal e identifica elementos que mapean a la identidad.

Un cuerpo permite la división por cada elemento nonzero. Los enteros forman un anillo pero no un cuerpo.

Trabajar con congruencias módulo n. Un residuo a tiene inversa multiplicativa si y solo si gcd(a,n)=1.

Módulo 8, 3 tiene inverso 3 porque 3·3=9≡1. Pero 2 no tiene inverso porque gcd(2,8)=2. Módulo un primo, todo residuo distinto de cero tiene un inverso; esto genera un cuerpo finito.

No cancele un factor en una ecuación modular sin verificar primero que sea invertible.

Comparar los grupos aditivos y las estructuras multiplicativas de $\mathbb Z/5\mathbb Z$ y $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Enumerar todas las unidades multiplicativas en cada uno. Explicar por qué eliminar el cero no siempre deja un grupo multiplicativo.

Solución resuelta

Ambos conjuntos completos de residuos son grupos aditivos: la clausura, la asociatividad y la identidad provienen de la suma de enteros, y $-a$ es un inverso aditivo. Un residuo multiplicativo es una unidad precisamente cuando su máximo divisor común con el módulo es uno. Las unidades módulo cinco son $1,2,3,4$; módulo seis son $1,5$. Módulo seis, $2\cdot3=0$ aunque ambos factores son distintos de cero. El conjunto de elementos no nulos ni siquiera es cerrado bajo la multiplicación. Módulo cinco, todo residuo no nulo tiene una inversa; este anillo es un campo. Un anillo, su grupo aditivo y su grupo de unidades son estructuras diferentes.

El mapa de reducción $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ está dado por $\phi(n)=[n]$. Determinar su kernel, imagen y cociente. Resolver $2x\equiv2\pmod6$ completamente y explicar por qué cancelar 2 módulo 6 falla.

Verificar después de intentar

El mapa preserva la suma y la multiplicación. Su kernel es $6\mathbb Z$ y su imagen son los seis residuos. El cociente identifica enteros con el mismo resto, por lo que $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. La congruencia significa $6\mid2(x-1)$, equivalentemente $3\mid x-1$. Por lo tanto $x\equiv1\pmod3$, dando residuos $1$ y $4$ módulo seis. Ambos sustituyen correctamente. Cancelar 2 manteniendo el módulo seis descartaría 4; 2 no tiene inversa multiplicativa allí.