C.3 · Ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Diferenciación, integración, exponenciales y ecuaciones cuadráticas.

• Resolver ecuaciones separables de primer orden
• Resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes
• Utilizar condiciones iniciales y condiciones de unicidad

condición inicial: Un valor de la solución o su derivada especificado en un punto de partida.

raíz característica: Una raíz del polinomio que rige las soluciones exponenciales.

Para y′=ky, la separación e integración dan y=Ce^(kt); recupere la solución cero si se dividió por y. Un valor inicial determina C.

Una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes utiliza un polinomio característico. Raíces distintas producen exponenciales; una raíz repetida requiere (C1+C2t)e^(rt).

Raíces complejas α±iβ dan e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). El movimiento real incluye tanto información de amplitud como de fase.

La existencia y unicidad dependen de hipótesis cerca del punto inicial. Un coeficiente singular o el incumplimiento de un comportamiento de Lipschitz local pueden invalidar la conclusión familiar de unicidad.

Resuelva y″+4y=0 con y(0)=3 y y′(0)=4. Las raíces características son ±2i, así que y=A cos2t+B sin2t. La primera condición da A=3; derivar da y′(0)=2B=4, así que B=2.

Una raíz característica repetida necesita el factor t; dos copias de la misma exponencial no son soluciones independientes.

Resuelva $y''-4y'+4y=0$ con $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Verifique ambas condiciones iniciales y la ecuación.

Solución resuelta

El polinomio característico es $(r-2)^2$. Las soluciones independientes son $e^{2t}$ y $te^{2t}$, por lo tanto $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. El valor inicial da $C_1=1$; la derivada en cero da $2C_1+C_2=0$, así que $C_2=-2$.

La sustitución produce $y''-4y'+4y=0$, y los dos valores iniciales se cumplen. Dos copias de $e^{2t}$ no generarían el espacio de soluciones.

Muestre que el problema de valor inicial $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ tiene más de una solución para $t\ge0$. Identifique la hipótesis estándar de unicidad ausente.

Verificar después de intentar

Una solución es idénticamente cero. Para cualquier $a\ge0$, establezca $y_a(t)=0$ para $0\le t\le a$ y $y_a(t)=(t-a)^2$ para $t>a$. La derivada es cero en el primer intervalo y $2(t-a)$ en el segundo; ambos lados tienen derivada cero en a. Por lo tanto, $y_a$ es diferenciable y satisface la ecuación y el valor inicial. El lado derecho es continuo pero no es de Lipschitz local en y en cero: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ está acotado. La existencia no implica unicidad, y dividir por $\sqrt y$ perdería las soluciones de tiempo de espera.