T.2 · Matemáticas discretas, probabilidad y métodos numéricos

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Conteo finito, probabilidad elemental, recurrencias y derivadas.

• Usar conteo, recurrencias, razonamiento gráfico y lógica
• Calcular probabilidades y propiedades de distribución
• Aplicar aproximación numérica y evaluar error

recurrencia: Una regla que vincula un término de una secuencia con términos anteriores.

mutuamente excluyentes: Eventos que no pueden ocurrir juntos.

Elige primero el modelo de conteo: las selecciones ordenadas de r objetos distintos usan n(n−1)⋯(n−r+1), mientras que los subconjuntos sin orden usan C(n,r). Un grafo simple completo sobre n vértices tiene una arista por cada par de vértices sin orden, dando n(n−1)/2 aristas; bucles y aristas múltiples cambiarían el modelo. Para n líneas en posición general en un plano, la k-ésima línea cruza las k−1 líneas anteriores en puntos distintos y añade k regiones. El total es 1+n(n+1)/2; paralelas o concurrencia triple invalidan ese conteo.

Usa complementos para contar al menos una ocurrencia, y condicionaliza sobre la población restante real tras un sorteo sin reemplazo. Para r resultados iid elegidos de n valores igualmente probables, la probabilidad de que todos sean distintos es n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r cuando r≤n. Su complemento cuenta resultados repetidos. Para un conteo binomial con N ensayos independientes y probabilidad fija de éxito p, la media es Np y la varianza Np(1−p). Probabilidades idénticas solas no establecen independencia.

Una recurrencia describe valores posteriores a partir de anteriores y necesita suficientes datos iniciales para determinar una secuencia. Separa el índice del valor: a_n=2a_(n−1) con a_0=3 da a_n=3·2^n. Los argumentos gráficos y algorítmicos a menudo establecen una recurrencia identificando qué añade un nuevo vértice o paso. Una fórmula cerrada debe satisfacer tanto la recurrencia como sus condiciones iniciales; ajustar algunos términos observados no prueba que funcione para todo índice.

La aproximación numérica necesita un argumento de error. Bisección preserva un corchete con cambio de signo para una función continua y reduce su ancho a la mitad en cada paso; un cero puede ausentarse si falla la continuidad. La actualización de Newton es x_new=x−f(x)/f′(x), requiriendo una derivada distinta de cero en el punto actual; la convergencia no es automática desde cualquier valor inicial. El residuo de una aproximación y su error en x son diferentes. Establece las suposiciones del método y un criterio de detención, en lugar de tratar decimales adicionales mostrados como precisión.

Para f(x)=x²−2 y x₀=1, el paso de Newton da 1−(1−2)/2=1.5. El siguiente valor es 1.5−0.25/3=1.4167. Estos aproximan sqrt(2), pero f′(0)=0 hace que cero sea un punto inicial inválido.

Los eventos con probabilidades positivas no pueden ser simultáneamente independientes e incompatibles.

Cuatro sorteos etiquetados son independientes y uniformes de cinco símbolos, con reemplazo. Encuentra la probabilidad de que al menos dos sorteos coincidan. Compara el número de selecciones ordenadas y sin orden de cuatro símbolos distintos.

Solución resuelta

Hay $5^4$ cadenas de sorteos equally probables. Las cadenas sin repeticiones numeran $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

Las selecciones ordenadas distintas numeran 120; los subconjuntos sin orden numeran $\binom54=5$. Cada subconjunto ocurre en $4!=24$ órdenes. Dividir por $4!$ es apropiado solo para el conteo sin orden, no para el denominador de probabilidad de sorteos.

Aplica bisección a $f(x)=x^3-2$ en $[1,2]$. Da los primeros dos corchetes retenidos y una cota para el error del punto medio después de diez bisecciones. ¿Un cambio de signo solo justificaría bisección para $1/x$ en $[-1,1]$?

Verificar después de intentar

El polinomio es continuo; $f(1)<0<f(2)$. El primer punto medio es $1.5$ con valor positivo, conservando $[1,1.5]$. El siguiente es $1.25$ con valor negativo, conservando $[1.25,1.5]$. Después de diez divisiones por la mitad, el ancho es $2^{-10}$ y el punto medio de ese intervalo retenido difiere de la raíz acotada en al最多 $2^{-11}=1/2048$. El límite del error utiliza el intervalo, no solo un residuo pequeño. Para $1/x$, cero es una singularidad y no hay raíz. La continuidad en el intervalo falla; los signos opuestos en los extremos no justifican el método.