A.3 · Grupos, cosets y mapas cociente

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Axiomas de grupo, funciones, divisibilidad entera y permutaciones.

• Verificar la estructura de grupo y calcular órdenes de elementos e índices de subgrupos
• Utilizar núcleos e imágenes para identificar grupos cociente
• Distinguir subgrupos normales de subgrupos arbitrarios
• Clasificar la conjugación de permutaciones por tipo de ciclo

coset: Una traslación de un subgrupo que constituye una parte de la partición en cosets.

subgrupo normal: Un subgrupo invariante bajo conjugación por cada elemento del grupo.

Antes de calcular el orden, verifique la clausura, asociatividad, identidad e inverso para cada elemento bajo la operación indicada. Un subconjunto puede heredar la asociatividad pero fallar en la clausura u omitir la identidad. En un grupo finito, el orden de un elemento es la menor potencia positiva que da la identidad. En el grupo aditivo Z/nZ, es el múltiplo positivo más pequeño que da cero; el orden del residuo a es n/gcd(a,n). El teorema de Lagrange establece que los órdenes de los subgrupos dividen al orden del grupo. La recíproca no es un teorema de existencia general, y el orden de un grupo no es necesariamente el orden de cada uno de sus elementos.

Un coset izquierdo gH es una traslación de un subgrupo H. Los cosets tienen igual tamaño y particionan el grupo, por lo que el índice es |G|/|H| en un grupo finito. En un grupo aditivo se escribe g+H. Pertenecer al mismo coset significa que la diferencia pertenece a H. Un coset usualmente no es un subgrupo porque puede omitir la identidad.

Un homomorfismo preserva la operación. Su núcleo consiste en los elementos enviados a la identidad, y su imagen consiste en los valores realmente alcanzados. Todo kernel es normal. El primer teorema de isomorfismo identifica G/ker(phi) con im(phi); no reemplace la imagen con todo el codominio a menos que la función sea sobreyectiva.

La multiplicación cociente está bien definida solo cuando H es normal. Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. En un grupo no abeliano, compruebe gHg^−1=H; un subgrupo de índice dos es normal. Para permutaciones, compose según la convención indicada, aquí de derecha a izquierda. Las longitudes de ciclos disjuntos determinan el orden de la permutación mediante su mínimo común múltiplo. La conjugación hσh⁻¹ relabeliza los elementos en los ciclos de σ, por lo que preserva las longitudes de ciclo; recíprocamente, las permutaciones con las mismas longitudes de ciclo pueden relacionarse mediante un relabelizado. Así, las clases de conjugación en S_n corresponden a las particiones de n, incluyendo ciclos de puntos fijos. En S4, los tipos son 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 y 4: cinco clases, no una clase por cada orden posible de elemento. Los tipos 2+1+1 y 2+2 ambos tienen orden dos pero no son conjugados.

Defina φ de Z/12Z a Z/3Z reduciendo residuos módulo 3. Es sobreyectiva y preserva la suma. Su núcleo H es {0,3,6,9}, así que |H|=4 y el índice es 12/4=3. Los otros cosets son {1,4,7,10} y {2,5,8,11}. Por tanto (Z/12Z)/H es isomorfo a Z/3Z. El elemento 3 en el grupo original tiene orden 12/gcd(3,12)=4, no 3.

Un cociente tiene un elemento por coset, no uno por elemento de su núcleo. Un homomorfismo no necesita ser sobreyectivo sobre su codominio especificado.

En el grupo aditivo $\mathbb Z/18\mathbb Z$, sea $H=\langle6\rangle$. Enumere H y sus cosets. Determine el orden de 6 e identifique el cociente.

Solución resuelta

$H=\{0,6,12\}$ tiene tamaño tres. Los seis cosets son $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ para $r=0,1,2,3,4,5$. Particionan todos los residuos 18. El elemento 6 tiene orden tres, mientras que el cociente tiene orden seis. La reducción módulo seis es sobreyectiva con kernel H, por lo tanto $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. La normalidad se cumple porque el grupo original es abeliano.

En $S_3$, sea $H=\{e,(12)\}$. Verifique si $H$ es normal y decida si la multiplicación de cosets define un grupo cociente. Por separado, encuentre el orden de $(123)(45)$ en $S_5$.

Verificar después de intentar

La conjugación por $(123)$ envía $(12)$ a $(23)$, que está fuera de H. Por lo tanto, H no es normal. Los cosets izquierdos aún particionan $S_3$, pero la multiplicación de esos cosets no está bien definida independientemente de los representantes. Los ciclos disjuntos en $(123)(45)$ tienen longitudes tres y dos, por lo que su orden es $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. El orden de un elemento y el índice de un subgrupo son cantidades diferentes.