C.5 · Integrales impropias y aplicaciones geométricas

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Requisitos previos: Antiderivadas, límites, comparación e integración geométrica.

• Define integrales impropias mediante límites en cada frontera singular
• Selecciona fórmulas de área, volumen y longitud de arco de la geometría
• Separa la convergencia de las integrales de la cancelación signada

integral impropia: Una integral definida por límites en fronteras infinitas o singulares.

valor principal: Un límite que usa una cancelación simétrica prescrita que puede existir cuando una integral impropia ordinaria diverge.

Un extremo de integración infinito se reemplaza por una cota finita y un límite. En un punto singular dentro del intervalo, divide la integral y requiere que ambas integrales laterales converjan por separado. La cancelación simétrica puede definir un valor principal de Cauchy pero no demuestra la convergencia de la integral impropia ordinaria. Para 1/x a través de cero, ambos lados divergen aunque los cortes simétricos se cancele.

La integral de x^(−p) de 1 a infinito converge exactamente cuando p>1. De cero a 1 converge exactamente cuando p<1. El mismo exponente se comporta diferente en ambas fronteras. Para integrandos positivos, la comparación transfiere convergencia desde una función mayor integrable o divergencia desde una menor no integrable; mantén la dirección de la desigualdad correcta. Para una integral de un máximo o mínimo, resuelve cruces de rama y verifica qué expresión domina cada intervalo. Para max(√(1−x²),x+1) en [−1,1], el cruce interior es cero; usa el semicírculo en [−1,0] y la recta en [0,1]. El área es π/4+3/2, no la integral de ninguna rama sobre todo el intervalo.

Para rotación alrededor del eje x, discos o arandelas integran π(R²−r²) dx. Cylindrical shells usa 2π veces radio por altura e integra en la variable correspondiente. Selecciona el método según la geometría y verifica radios no negativos. El área entre curvas integra superior menos inferior, dividiendo donde cambia su orden. Una integral signada no es automáticamente área geométrica.

Para una curva plana diferenciable y=f(x), la longitud de arco es la integral de sqrt(1+(f′(x))²) dx. Una superficie formada al rotar una f no negativa alrededor del eje x tiene área integral 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Estas son cantidades diferentes al volumen. Si un intervalo es ilimitado, la fórmula geométrica aún necesita una prueba de convergencia.

Gire y=1/x para x≥1 alrededor del eje x. El volumen de disco es π veces la integral de 1/x², así que V=π. El integrando de superficie lateral es 2π(1/x)√(1+1/x⁴), al menos 2π/x; su integral impropia diverge. Por tanto, un volumen finito no implica una superficie finita. Esta comparación evita intentar encontrar una antiderivada innecesaria.

Nunca cuente un valor principal como una integral impropia convergente, ni infiera la finitud de una cantidad geométrica a partir de otra.

¿Para qué p real converge $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$? Compare la integral impropia ordinaria de $1/x$ en $[-1,1]$ con su valor principal simétrico.

Solución resuelta

Divida en 1. Cerca de cero, la convergencia requiere $p<1$; cerca del infinito, requiere $p>1$. Ningún p real satisface ambas condiciones, y p=1 diverge logarítmicamente en ambos extremos. Ambas partes unilaterales deben converger independientemente. Para $1/x$ a través de cero, las partes negativa y positiva divergen por separado, por lo que la integral impropia ordinaria diverge. Los cortes simétricos se cancelan para dar cero, produciendo solo un valor principal. El cero no es el valor de la integral ordinaria.

Gire la región bajo $y=1/x$, $x\ge1$, alrededor del eje x. Demuestre que su volumen es finito y su área lateral infinita.

Verificar después de intentar

Los discos dan $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Para el área superficial, $y'=-1/x^2$ y

Su integrando no negativo es al menos $2\pi/x$, cuya integral diverge. La comparación demuestra área lateral infinita. Esto no incluye ni una tapa terminal ni la afirmación de que un volumen finito implica un área finita.