T.5 · Conjuntos abiertos, compacidad y conexidad

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Conjuntos, conjuntos abiertos relativos, funciones continuas y secuencias.

• Calcular clausura, interior y frontera en un espacio dado
• Aplicar compacidad y conexidad a funciones continuas
• Diferenciar la topología relativa de la topología euclidiana ambiente

topología relativa: Subconjuntos abiertos heredados al intersectar una subespacio con conjuntos abiertos del espacio ambiente.

conexidad: Ausencia de separación en subconjuntos abiertos relativamente disjuntos no vacíos.

En un espacio métrico, un conjunto abierto contiene una bola pequeña alrededor de cada uno de sus puntos. El interior consiste en tales puntos; el cierre incluye todos los puntos límite; la frontera es el cierre menos el interior. Los conceptos de abierto y cerrado no son excluyentes mutuamente; el conjunto vacío y todo el espacio son ambos. En ℝ, el conjunto [0,1) tiene interior (0,1), cierre [0,1] y frontera {0,1}.

En una subespacio X, un conjunto abierto tiene la forma X intersectado con un conjunto abierto ambiente. Así, [0,1) es abierto relativo a [0,2], usando la intersección con (-1,1), aunque no sea abierto en ℝ. Un conjunto también puede ser cerrado relativamente sin serlo en el espacio ambiente. Siempre indique qué espacio define los vecindarios y qué métrica se utiliza.

La compacidad significa que toda familia abierta tiene una subfamilia finita. En ℝ^n euclidiano, Heine–Borel hace esto equivalente a ser cerrado y acotado. En un espacio métrico, la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial; la completitud y el acotamiento por sí solos no bastan en espacios métricos arbitrarios. La imagen continua de un conjunto compacto es compacta, lo que garantiza máximos y mínimos alcanzados para funciones reales continuas en un dominio compacto no vacío.

Los conjuntos conectados no pueden separarse en dos partes abiertas relativamente disjuntas no vacías; los subconjuntos conectados de ℝ son precisamente los intervalos. La imagen continua de un conjunto conectado es conectada, lo que implica el teorema del valor intermedio. La conexidad por caminos implica conexidad, pero no viceversa en todo espacio. Un conjunto compacto no necesariamente es conectado, y un conjunto conectado no necesariamente es compacto; un conjunto finito de dos puntos y un intervalo abierto proporcionan los casos contrastantes.

Sea X=[0,1] con su topología relativa usual. El conjunto U=[0,0.5) es igual a X intersectado con (-1,0.5), por lo que U es abierto en X. Su clausura en X es [0,0.5], y su frontera en X es {0.5}; cero es un punto interior relativo a X. Para una función continua f en X con f(0)<0<f(1), la conexidad asegura una raíz, mientras que la compacidad asegura por separado extremos alcanzados.

La prueba de Heine–Borel para conjuntos cerrados y acotados es un teorema del espacio euclidiano. La conectividad y la compacidad responden a preguntas diferentes.

En ⟨$X=[0,2]$⟩ con su topología relativa, encuentre el interior, el cierre y la frontera de ⟨$A=[0,1)$⟩. ¿Es A abierto o cerrado en X?

Solución resuelta

$A=X\cap(-1,1)$ es abierto en X, por lo tanto su interior relativo es A. Su cierre es ⟨$[0,1]$⟩ y su frontera es ⟨$\{1\}$⟩. Cero es interior relativo a X porque una bola suficientemente pequeña en X no tiene parte negativa. A no es cerrado en X: la secuencia ⟨$1-1/n$⟩ para ⟨$n\ge2$⟩ tiende al punto faltante ⟨1⟩. En la recta real ambiente, el interior y la frontera serían en cambio ⟨$(0,1)$⟩ y ⟨$\{0,1\}$⟩.

Proporcione un conjunto real compacto desconectado y un conjunto real conectado no compacto. ¿Debe una función real continua en este último alcanzar un valor extremo? Explique cuál propiedad proporciona el teorema del valor intermedio.

Verificar después de intentar

El conjunto finito ⟨$\{0,2\}$⟩ es compacto pero desconectado. El intervalo ⟨$(0,1)$⟩ es conectado pero no compacto. La función identidad continua sobre ⟨$(0,1)$⟩ no alcanza ni máximo ni mínimo. La conexidad hace que una imagen real continua sea un intervalo y, por tanto, proporcione valores intermedios. La compacidad, en cambio, hace que una imagen real continua no vacía alcance sus valores extremos. Ninguna propiedad sustituye a la otra.