T.4 · Secuencias, series y convergencia uniforme

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Límites de secuencias, supremo, continuidad y series numéricas.

• Usar criterio de Cauchy, convergencia monótona y subsecuencia
• Distinguir entre convergencia puntual y uniforme de funciones
• Verificar hipótesis antes de intercambiar límites e integrales

Secuencia de Cauchy: Una secuencia cuyos términos suficientemente tardíos están arbitrariamente cerca unos de otros.

Convergencia uniforme: Convergencia con un umbral de error válido en todo punto del dominio.

Una secuencia real convergente es de Cauchy, y toda secuencia de Cauchy real converge porque R es completo. En Q una secuencia de Cauchy puede aproximarse a un número irracional y fallar en converger dentro de Q. Una secuencia real acotada y monótona converge. Una secuencia acotada no necesariamente converge, pero Bolzano–Weierstrass garantiza una subsecuencia convergente; (-1)^n tiene dos límites de subsecuencia distintos.

Para una serie numérica, la convergencia absoluta implica convergencia; la convergencia condicional no permite reordenamientos arbitrarios sin afectar la suma. La serie armónica alternante converge pero su serie de valor absoluto diverge. En una prueba de razón, un límite por debajo de 1 demuestra convergencia absoluta y uno por encima de 1 demuestra divergencia; un límite igual a 1 es inconclusivo, como demuestran tanto la suma 1/n como la suma 1/n².

La convergencia puntual elige un índice N separado para cada x y tolerancia. La convergencia uniforme elige un único N que funcione para cada x en el dominio. Para funciones de valores reales, verificar el supremo de |f_n−f| sobre todo el dominio. Un límite puntual continuo no prueba por sí mismo la convergencia uniforme. Los extremos del dominio y los picos decrecientes suelen distinguir ambas nociones.

Un límite uniforme de funciones continuas es continuo. En un intervalo cerrado acotado, la convergencia uniforme de funciones integrables de Riemann permite intercambiar límite e integral. Intercambiar derivadas necesita hipótesis adicionales; la convergencia uniforme de las funciones sola es insuficiente. La prueba M de Weierstrass establece la convergencia absoluta uniforme de una serie de funciones si cada término está acotado por M_n en todo el dominio y sum M_n converge.

En [0,1], f_n(x)=x^n tiende a 0 para x<1 y a 1 en x=1. El límite es discontinuo, por lo que la convergencia no puede ser uniforme; directamente, el error supremo es 1, aproximado desde abajo 1. En [0,a] con 0≤a<1, el límite es cero y el supremo es a^n, que tiende a cero, por lo que la convergencia es uniforme. Cambiar el dominio cambia la conclusión.

Comprobar varios valores fijos de x demuestra ni una cota superior ni convergencia uniforme. El punto que produce el mayor error puede moverse con n.

Determinar la convergencia puntual y uniforme de $f_n(x)=x^n$ en $[0,1]$ y en $[0,a]$ para fijo $0<a<1$. Comparar $\sum1/n^2$ con la serie armónica alternante para la convergencia absoluta.

Solución resuelta

En $[0,1]$, el límite es cero para $x<1$ y uno en 1. Este límite es discontinuo, por lo que las funciones continuas $f_n$ no pueden convergir uniformemente. Más directamente, el error supremo en $[0,1)$ es uno. En $[0,a]$ el supremo es $a^n\to0$, por lo que la convergencia es uniforme a cero. La p-serie con p=2 converge absolutamente. La serie armónica alternante converge por términos decrecientes tendiendo a cero, pero la serie absoluta diverge; su convergencia es condicional.

Sea $g_n(x)=\sin(nx)/n$ en $\mathbb R$. ¿Es la convergencia uniforme? ¿Pueden sus derivadas converger a la derivada de su límite? Usar un punto explícito para decidir.

Verificar después de intentar

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, por lo que las funciones convergen uniformemente a cero. Pero $g_n'(x)=\cos(nx)$, y en $x=0$ estas derivadas son todas 1. La derivada del límite cero es 0. Por lo tanto, la convergencia uniforme de las funciones sola no justifica diferenciar un límite; se necesitan hipótesis adicionales de convergencia de derivadas.