T.8 · Condicionamiento, inferencia bayesiana y error muestral

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Tablas de probabilidad, esperanza, varianza y muestreo independiente.

• Separar probabilidades condicionales, conjuntas e independientes
• Calcular probabilidades posteriores con una tabla completa de tasa base
• Usar varianza y tamaño muestral para determinar el error estándar de la media muestral

probabilidad posterior: Una probabilidad condicional a la evidencia observada tras considerar las proporciones previas.

error estándar: La desviación estándar de una estadística a través de muestras repetidas.

Para P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): restrinja la población a B antes de calcular la fracción en A. La independencia significa P(A∩B)=P(A)P(B), equivalentemente P(A|B)=P(A) cuando el denominador es distinto de cero. Eventos mutuamente excluyentes con probabilidades positivas no pueden ser independientes, porque su probabilidad conjunta es cero. El muestreo sin reemplazo generalmente cambia las probabilidades posteriores; un denominador fijo para dibujos sucesivos describiría un experimento diferente.

Construya probabilidades conjuntas multiplicando una proporción de categoría previa por la probabilidad condicional relevante. Si D es la condición y + un resultado positivo, P(D∩+)=P(D)P(+|D). La probabilidad total positiva es P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), porque estas son disjuntas y cubren todos los resultados positivos. Bayes divide la primera probabilidad conjunta por este total. La sensibilidad es P(+|D), mientras que la especificidad es P(−|not D); la tasa de falso positivo es uno menos la especificidad.

Para una prueba hipotética con prevalencia 2%, sensibilidad 90% y especificidad 95%, use una población de 10,000 para claridad. De 200 personas con la condición, 180 dan positivo. De 9,800 sin ella, 490 dan positivo. Por lo tanto, 180 de 670 resultados positivos tienen la condición: posterior 18/67, aproximadamente 26.9%. Invertir la condicional daría 90%, respondiendo una pregunta diferente. Este es un modelo matemático, no una recomendación sobre decisiones clínicas.

Para observaciones independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita σ², la media muestral tiene esperanza μ y varianza σ²/n; su error estándar es σ/√n. Esto representa la dispersión de las medias muestrales repetidas, no la dispersión de las observaciones individuales. Cuadruplicar n reduce a la mitad el error estándar, en lugar de reducirlo a un cuarto. Los datos de una población normal producen exactamente una media normal; de lo contrario, se requiere una aproximación del límite central con condiciones adecuadas y tamaño muestral suficiente. La correlación invalida el cálculo simple de varianza para observaciones independientes.

Sea P(A)=0.4, P(B)=0.5 y P(A∩B)=0.3. Entonces P(A|B)=0.6, por lo que A y B no son independientes, dado que 0.3≠0.4·0.5. Si una variable tiene desviación estándar 12, una muestra independiente de tamaño 36 tiene error estándar de la media 2. Aumentar el tamaño muestral a 144 da 1; la desviación estándar de observaciones individuales permanece en 12.

No invierta P(+|D) en P(D|+). Incluya los falsos positivos en el denominador posterior. La desviación estándar de observaciones individuales y el error estándar de su media tienen comportamientos distintos respecto al tamaño muestral.

En un modelo dado, 10% de los dispositivos tienen un defecto. Una prueba es positiva para 80% de los dispositivos defectuosos y 5% de los dispositivos no defectuosos. Encuentre la probabilidad de un defecto dado un resultado positivo usando 1000 dispositivos esperados.

Solución resuelta

Los conteos esperados son 100 defectuosos y 900 no defectuosos. Los conteos positivos son $100(0.8)=80$ y $900(0.05)=45$, respectivamente. El grupo condicionado contiene 125 positivos, por lo tanto

Los conteos negativos 20 y 855 verifican ambos totales de fila. La sensibilidad 0.8 es $P(+\mid D)$, no la condición invertida solicitada. Estas son tasas ilustrativas del modelo, no afirmaciones sobre el rendimiento medido.

Las observaciones independientes tienen varianza 25. Calcule el error estándar de su media para n=100. Si cada par distinto tiene covarianza 1, encuentre la varianza de la media. ¿Cuadruplicar n necesariamente reduce a la mitad el error estándar en ese segundo modelo?

Verificar después de intentar

La independencia proporciona $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ y a 100 error estándar $5/10=0.5$. Con covarianza uno,

En 100 es 1.24. El error estándar tiende a uno a medida que n crece, en lugar de tender a cero; cuadruplicar n no necesariamente lo reduce a la mitad. Los términos de covarianza solo pueden omitirse bajo una descorrelación justificada, siendo la independencia una condición suficiente.