A.5 · Polinomios y extensiones de campos

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: División polinómica, campos y dimensión de espacios vectoriales.

• Verificar la irreducibilidad de polinomios sobre el campo especificado
• Construir pequeños campos finitos a partir de polinomios irreducibles
• Usar grados de extensión y la ley de torres
• Usar raíces ciclotómicas y relaciones de coeficientes para calcular sumas y productos

polinomio irreducible: Un polinomio de grado positivo sin factorización en grados positivos menores sobre el campo indicado.

grado de extensión: La dimensión de un campo de extensión como espacio vectorial sobre su campo base.

Un polinomio es irreducible sobre un campo si tiene grado positivo y no se factoriza en polinomios de grados positivos menores allí. Un cuadrático o cúbico es irreducible exactamente cuando no tiene raíz en ese campo. Esta prueba de raíces sola falla para grado cuatro o superior; por ejemplo, (x²+1)(x²+2) no tiene raíz real pero es reducible sobre R. Nombren siempre el campo base.

El cociente F[x]/(p) es un campo cuando p es irreducible. Reduzcan potencias usando p(alpha)=0, donde alpha es la clase de residuo de x. Si F tiene q elementos y p tiene grado d, el cociente tiene q^d elementos representados por polinomios de grado menor que d. Z/4Z tiene cuatro elementos pero tiene divisores de cero, así que no es el campo de cuatro elementos.

Sobre F2, p(x)=x²+x+1 toma valores 1 tanto en 0 como en 1 y es irreducible. En su cociente, alpha²=alpha+1 porque la resta equivale a la suma en característica dos. Los cuatro elementos son 0,1, alpha, alpha+1. Los tres elementos no nulos deben ser unidades; calculen sus productos en lugar de tratar alpha como un número real ordinario.

Para campos de grado finito anidados K dentro L dentro M, la ley de torres da [M:K]=[M:L][L:K]. El grado de un elemento algebraico es el grado de su polinomio mínimo. Una extensión finita de grado dos no contiene un elemento de grado tres sobre el campo base. Sobre Q, sqrt(2) tiene grado dos; al adjuntar también sqrt(3), se produce una extensión de grado cuatro, ya que sqrt(3) no está en Q(sqrt(2)). Sobre C, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad tienen orden exacto n y son las raíces del polinomio ciclotómico Φ_n. Para n=10, divide x⁵+1 por x+1 para excluir la raíz de orden dos −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Las fórmulas de Vieta dan suma 1 y producto 1 de sus cuatro raíces primitivas. No sumes todas las raíces décimas ni asumas que cada raíz décima no trivial es primitiva; debe verificarse el orden de cada raíz. Para un polinomio monic de grado d, el producto de sus raíces es (−1)^d veces el coeficiente constante.

En F2[alpha] con alpha²+alpha+1=0, multiplique alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Por lo tanto alpha^−1=alpha+1. Además alpha³=1 y alpha no es 1, así que su orden multiplicativo es 3. Esto produce un campo de cuatro elementos. En contraste 2·2=0 en Z/4Z, demostrando que el cociente no es un campo.

La reducibilidad de un polinomio cambia según el campo de coeficientes. El polinomio x²−2 es irreducible sobre Q pero se factoriza sobre R.

Construye $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Enumera sus elementos y encuentra el inverso del residuo $\alpha=[x]$.

Solución resuelta

El cuadrático toma valor uno en ambos elementos de $\mathbb F_2$, por lo que no tiene raíz y es irreducible. Su cociente es un campo. La división deja un representante de grado menor que dos: $0,1,\alpha,1+\alpha$. La relación es $\alpha^2=\alpha+1$ en característica dos. En consecuencia $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, por lo tanto $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Esto no es $\mathbb Z/4\mathbb Z$, que posee un divisor de cero no nulo.

¿Es $x^4+4$ irreducible sobre $\mathbb Q$? ¿La ausencia de raíces racionales responde a esa pregunta? ¿Puede una extensión de grado dos de $\mathbb Q$ contener una raíz de un cúbico irreducible sobre $\mathbb Q$?

Verificar después de intentar

La multiplicación directa da $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, por lo que es reducible sobre $\mathbb Q$ a pesar de no tener raíces reales, y por ende ninguna racional. La prueba de ausencia de raíces caracteriza la irreducibilidad solo para grados dos o tres sobre un campo. Si una raíz cúbica irreducible $\beta$ perteneciera a una extensión de grado dos L, entonces $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ y la ley de torres harían que 3 divida a 2. Esto es imposible. La conclusión usa la irreducibilidad, no simplemente una ecuación cúbica.