T.12 · Completitud métrica y clausura desde una base

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Axiomas métricos, sucesiones de Cauchy y topología desde una base.

• Verifique una métrica de retroceso usando las propiedades de su mapa definitorio
• Determine la completitud mediante la imagen de una isometría
• Determine el cierre usando cada vecindad básica en lugar de la intuición euclidiana

espacio métrico completo: Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy converge a un punto de ese espacio.

base de vecindades: Vecindades básicas suficientes para probar propiedades topológicas locales.

Para un mapa inyectivo h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| es una métrica: la simetría y la desigualdad triangular provienen de R, y la inyectividad asegura que d(x,y)=0 solo cuando x=y. El mapa h es una isometría sobre su imagen h(X). Si h no es inyectivo, esta construcción puede ser solo una pseudométrica. Las distancias acotadas no prueban que un espacio sea completo, y un conjunto familiar de puntos puede tener comportamientos de Cauchy muy diferentes bajo distintas métricas.

La métrica de retroceso es completa exactamente cuando la imagen h(X) es completa en la distancia real ordinaria. Un subconjunto cerrado de R es completo. Para h(x)=arctan x en R, la imagen es (−π/2,π/2), que omite sus extremos. La secuencia n es de Cauchy en la métrica de retroceso porque arctan n→π/2, pero ningún número real x satisface arctan x=π/2, por lo que la métrica es incompleta. Para h(x)=x³, la imagen es todo R y la métrica de retroceso es completa. La equivalencia topológica sola no preserva la completitud.

En una topología con una base, x pertenece al cierre de A cuando cada vecindad abierta básica de x intersecta A. Esta es una prueba de pertenencia, no automáticamente una operación de extremo euclidiano. La base debe cubrir el espacio, y para un punto en dos conjuntos básicos debe haber un conjunto básico más pequeño que lo contenga dentro de su intersección. Un punto puede pertenecer al cierre de un singleton incluso cuando no es el punto del singleton mismo; esa posibilidad depende de la topología.

En X={2,3,4,…}, tome conjuntos básicos U_k={n in X: n divides k}, para k≥2. Cubren X ya que x∈U_x; las intersecciones son U_gcd(k,l) cuando el mcd es al menos 2, o vacías. Un punto x pertenece al cierre de {n} exactamente cuando todo k divisible por x también es divisible por n: equivalentemente, n divide a x. Más directamente, la vecindad básica más pequeña U_x contiene a n precisamente cuando n divide a x, y cualquier otra vecindad que contenga a x incluye estos divisores. Así, el cierre de {8} consiste en los múltiplos positivos de 8, no en los divisores de 8.

Bajo d(x,y)=|arctan x−arctan y|, la secuencia de enteros tiende hacia un extremo de imagen ausente en lugar de un punto de R, así que es cauchy sin convergencia en ese espacio. En la base divisora, 16 está en el cierre de {8}, ya que cualquier conjunto básico que contiene 16 también contiene 8. Pero 4 no: U_4={2,4} es un vecindario de 4 que carece de 8. Esto separa explícitamente los múltiplos de los divisores.

Un límite cauchy debe pertenecer al mismo espacio. La completitud es una propiedad métrica, no solo topológica. Para el cierre, pruebe cada vecindario del punto candidato, en lugar de cada vecindario del valor singleton.

En $\mathbb R$, compare $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ y $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Demuestre que son métricas y determine la completitud.

Solución resuelta

Ambas funciones definitorias son inyectivas, lo que garantiza separación positiva; la distancia absoluta proporciona simetría y la desigualdad triangular. Cada función es una isometría sobre su imagen real. La proyección cúbica tiene como imagen todo $\mathbb R$, un espacio completo, por lo que d1 es completa. La imagen de la arcotangente es el intervalo abierto $(-\pi/2,\pi/2)$, que no es completo. La secuencia n es d2-cauchy porque arctan(n) tiende a π/2, pero ningún punto real tiene esa imagen, por lo que carece de límite d2. Los valores acotados de una métrica no implican completitud.

En $X=\{2,3,4,\ldots\}$ utilice la base divisoria $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Encuentre la clausura de $\{6\}$ y el interior de $\{6\}$. Verifique las condiciones de la base, incluidas las intersecciones vacías.

Verificar después de intentar

Todo x pertenece a Ux. Una intersección es $U_{\gcd(k,l)}$ si el mcd es al menos dos, y es vacía para mcd igual a uno. Así, un punto en una intersección posee un vecindario básico contenido en ella. El menor vecindario básico de x es Ux, contenido en todo Uk que contenga a x. Intersecta {6} exactamente cuando $6\mid x$. Por tanto, la clausura es $\{6,12,18,\ldots\}$, los múltiplos de seis. El punto seis no es interior a su singleton porque U6 también contiene a dos y tres. Ningún otro punto está en ese singleton, por lo que su interior es vacío. Este cálculo de clausura utiliza todos los vecindarios básicos, no la intuición euclidiana.