C.7 · Cambios de coordenadas y teoremas integrales vectoriales

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Integrales múltiples, derivadas parciales y bordes orientados.

• Transformar integrales dobles y triples con sus jacobianos
• Aplicar los teoremas de Green, Stokes y divergencia con la orientación correcta
• Verificar singularidades del dominio antes de afirmar la independencia del camino

divergencia: La suma de las derivadas parciales coordenadas de un campo vectorial que mide el flujo local hacia afuera.

campo conservativo: Un campo vectorial igual al gradiente de un potencial escalar con integrales de línea independientes del camino.

Cambiar variables escala el área o volumen por el determinante absoluto del jacobiano. Las coordenadas polares usan r dr dtheta; las coordenadas cilíndricas usan r dr dtheta dz; las coordenadas esféricas con phi medido desde el eje z positivo usan rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Indicar las convenciones angulares y transformar tanto el integrando como la región. Un jacobiano faltante convierte una integral de densidad uniforme en una cantidad física incorrecta.

El teorema de Green iguala la integral de circulación del contorno planar orientado positivamente P dx+Q dy con la integral doble de Q_x−P_y sobre la región. Las hipótesis usuales requieren primeras derivadas continuas en un conjunto abierto que contenga la región. Un agujero necesita su propio borde interior orientado negativamente u otro tratamiento válido del dominio ausente. El teorema no puede integrar a través de una singularidad del campo.

El teorema de Stokes iguala la circulación en el contorno de una superficie con la integral superficial de curl F dot the oriented normal. La regla de la mano derecha vincula la dirección del contorno con la normal. El teorema de divergencia iguala el flujo saliente a través de una superficie cerrada con la integral de volumen de div F. Circulación, flujo, rotacional y divergencia son distintos; se requiere una superficie cerrada para el teorema de divergencia habitual.

Un campo gradiente tiene integrales de línea independientes del camino, determinadas por diferencias de potencial entre extremos. Un campo libre de rotacional de clase C¹ en un dominio abierto simplemente conexo es conservativo. Libre de rotacional solo en un dominio con un agujero es insuficiente. Para F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), el origen está excluido; la circulación del círculo unitario es 2π, aunque el rotacional es cero donde el campo está definido.

Para F=(x,y,z), la divergencia es 3. Por tanto, el flujo hacia afuera a través de la esfera de radio 2 es 3 veces su volumen, o 3·(4π·2³/3)=32π. Esto evita una parametrización superficial. Para el campo plano (−y,x), el teorema de Green da la circulación antihoraria del círculo unitario como integral de 1−(−1)=2 sobre el disco, resultando en 2π. Invertir la orientación cambia el signo de la circulación.

La rotación nula no es suficiente cuando el dominio tiene un agujero. El flujo hacia afuera y la circulación antihoraria usan teoremas diferentes y reglas de orientación.

Evaluar $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ en $1\le x^2+y^2\le4$. Encontrar el flujo saliente de $F=(x,y,z)$ a través de la esfera unitaria.

Solución resuelta

El anillo tiene límites polares $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. Incluyendo el jacobiano,

F es de clase C¹ en toda la bola y tiene divergencia tres. El teorema de divergencia da flujo saliente $3(4\pi/3)=4\pi$. Una orientación entrante invertiría su signo.

Dejar $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ en el plano punteado. Su rotacional escalar es cero allí. Evaluar su circulación en el círculo unitario antihorario. Explicar por qué el teorema de Green no lo hace cero.

Verificar después de intentar

Parametrizar $r(t)=(\cos t,\sin t)$ para $0\le t\le2\pi$. Entonces $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, por lo tanto $G\cdot r'=1$ y la integral es $2\pi$. El campo no está definido en el origen dentro del disco. El teorema de Green requiere la suavidad necesaria en un entorno de la región, no solo en su frontera. Rotacional cero en un dominio punteado no establece un potencial global; un campo cerrado no exacto puede circular alrededor de su agujero.