T.6 · Funciones, ramas inversas y composición

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Dominios de funciones, ecuaciones cuadráticas y composición.

• Distinguir la inyectividad y la sobreyectividad usando el dominio y el codominio indicados
• Elegir y verificar una rama inversa componiendo en ambas direcciones
• Rastrear la composición repetida de funciones preservando el dominio

bijección: Una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva entre sus conjuntos especificados.

involución: Una función cuya composición consigo misma es la identidad en su dominio.

Una función asigna exactamente una salida a cada entrada permitida. Inyectivo significa que salidas iguales implican entradas iguales; sobreyectivo significa que todo elemento del codominio indicado se alcanza. La función x↦x² de ℝ a [0,∞) es sobreyectiva pero no inyectiva. De [0,∞) a [0,∞) lo es ambas, por lo tanto biyectiva. De [0,∞) a ℝ sigue siendo inyectiva pero falla en la sobreyectividad. Mantenga separado el dominio, la imagen y el codominio al probar cada afirmación.

Una función inversa invierte una biyección. Despeje x en y=f(x), luego use el dominio original para elegir una rama. Para f(x)=(x−2)²−5 con x≥2, la inversa es 2+√(y+5) con y≥−5. La rama negativa devolvería entradas fuera del dominio elegido. Verifique f⁻¹(f(x))=x para x permitido y f(f⁻¹(y))=y para y permitido; una composición sin verificar puede ocultar un error de dominio.

La gráfica inversa refleja la gráfica original respecto a y=x; no toma recíprocos de los valores de salida. Una función auto-inversa, o involución, satisface f(f(x))=x siempre que la composición esté definida. Tanto −x en ℝ como 1/x en ℝ excluyendo cero son involuciones. Una involución estrictamente creciente en un intervalo debe ser la identidad: si f(x)>x, la monotonía creciente implica f(f(x))>f(x)>x, y un argumento análogo descarta f(x)<x.

La iteración fⁿ significa composición repetida, no la potencia (f(x))ⁿ. Calcule las primeras composiciones y verifique sus dominios antes de buscar un período. Para f(x)=1/(1−x) en ℝ excluyendo 0 y 1, f²(x)=(x−1)/x y f³(x)=x. La imagen permanece en el mismo dominio permitido. Por lo tanto, reduzca el número de iteraciones módulo tres. Una fórmula expresada igual a x tras la cancelación no restaura las entradas prohibidas.

Para f(x)=(x−2)²−5 con x≥2, f(5)=4 y f⁻¹(4)=2+√9=5. El cuadrático sin restricciones tendría dos entradas, −1 y 5, dando salida 4. Para g(x)=1/(1−x), la órbita 3→−1/2→2/3→3 tiene periodo tres, por lo que g⁸(3)=2/3; el conteo se refiere a composiciones, no a potencias octavas.

Cambiar el codominio cambia la superectividad. La reflexión a través de y=x es una gráfica inversa; recircular los valores y es una operación diferente. No cancele entradas excluidas.

Restrinja $f(x)=(x-1)^2+2$ a $x\ge1$. Indique su imagen e inversa, incluyendo dominios. Verifique ambas composiciones inversas.

Solución resuelta

La imagen es $[2,\infty)$. Al resolver $y=(x-1)^2+2$ con $x\ge1$ se selecciona $x=1+\sqrt{y-2}$. Así, $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ tiene esa fórmula. Para x permitido, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ porque $x-1\ge0$. Para y permitido, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. La rama de raíz cuadrada negativa pertenece a una restricción diferente, no a una segunda inversa en este dominio.

Sea $h(x)=1/(1-x)$. Determine el dominio de $h\circ h\circ h$ y su fórmula. ¿Puede la expresión simplificada extenderse a los puntos excluidos sin cambiar la composición original?

Verificar después de intentar

La primera etapa requiere $x\ne1$. La segunda requiere $h(x)\ne1$, que excluye x=0. Para $x\ne0,1$, $h^2(x)=(x-1)/x$. Esto nunca es igual a uno, por lo que la tercera etapa no añade exclusión. Luego $h^3(x)=x$ en $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. La fórmula de identidad está definida más ampliamente, pero añadir 0 o 1 define una extensión, no la composición original. Cada entrada intermedia debe estar permitida antes de la cancelación.