C.10 · Diferenciación implícita y jacobiano inverso

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Regla de la cadena, inversión matricial e hipótesis de inverso local.

• Diferencie un sistema acoplado implícito como un sistema lineal
• Use un determinante jacobiano distinto de cero para justificar un inverso local
• Distinga entre derivadas parciales inversas y reglas de recíproco escalar

Matriz jacobiana: La matriz de derivadas parciales primeras de una función vectorial.

inverso local: Un inverso definido en vecindades de un punto de entrada y salida específico.

Para una función diferenciable F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), su jacobiano es J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Los pequeños cambios satisfacen [dx,dy] (transpuesta)=J[du,dv] (transpuesta) al primer orden. Para encontrar u_x manteniendo y fijo, diferencie ambas ecuaciones definitorias con respecto a x: f_u u_x+f_v v_x=1 y g_u u_x+g_v v_x=0. Estos son un sistema lineal acoplado, no dos reglas inversas escalares independientes.

Si f y g son continuamente diferenciables cerca del punto y det J=f_u g_v−f_v g_u es distinto de cero allí, el teorema de la función inversa proporciona un inverso local diferenciable. Su derivada es J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Así, u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J y v_y=f_u/det J. Evalúe todas las derivadas en el punto correspondiente. Un inverso local no necesariamente se extiende a uno global.

Para ecuaciones implícitas H(u,v,x,y)=0 y K(u,v,x,y)=0, diferencie manteniendo fija la coordenada independiente solicitada. Resuelva [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transpuesta)=−[H_x,K_x] (transpuesta). El determinante en las variables desconocidas u,v debe ser distinto de cero para usar el teorema implícito usual. Los signos a la derecha provienen de mover las derivadas conocidas al otro lado. Si el determinante se anula, este teorema es inconclusivo; no demuestra por sí mismo la inexistencia de ningún inverso o solución implícita.

El atajo escalar du/dx=1/(dx/du) vale para un inverso de una variable con derivada distinta de cero, pero generalmente falla para un sistema acoplado porque v cambia para mantener y fijo. Para x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] tiene determinante 1 e inverso [[2,−1],[−1,1]]. Por lo tanto u_x=2 mientras 1/f_u=1. Un jacobiano inverso transforma sensibilidades diferenciales; una integral de cambio de variables usa en cambio el valor absoluto del determinante para el escalado de área o volumen, no una entrada inversa seleccionada.

Tome x=u²+v e y=u−v. En (u,v)=(1,0), la salida es (1,1), y J=[[2,1],[1,−1]] tiene determinante −3. La inversa es [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], por lo tanto u_x=1/3 y v_y=−2/3 allí. Multiplicar J por esta inversa da la identidad. El recíproco 1/f_u=1/2 no es u_x porque cambiar u también requiere cambiar v para mantener fijo y.

Diferencie ambas ecuaciones e indique cuál salida se mantiene fija. Un determinante no nulo garantiza una inversa local bajo las hipótesis de regularidad; el determinante nulo no es prueba de imposibilidad. Use una entrada de la inversa para las sensibilidades y un valor absoluto del determinante para la integración.

Sea $x=u^2+v,y=u-v$. En $(u,v)=(1,0)$, encuentre el jacobiano inverso y las cuatro derivadas parciales inversas. Verifique mediante multiplicación.

Solución resuelta

La salida correspondiente es $(1,1)$. El jacobiano es $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ con determinante -3, distinto de cero. Las derivadas parciales continuas dan un inverso local diferenciable. Por lo tanto

Lea las filas como (u_x,u_y) y (v_x,v_y), todas en la salida (1,1). La multiplicación da la identidad. En particular $u_x=1/3$, no $1/x_u=1/2$: v cambia para mantener y fijo.

Para $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, decida si su derivada es invertible lejos del origen y si F es globalmente inyectiva en el plano sin el origen. ¿Qué establece por sí mismo un determinante nulo en el origen?

Verificar después de intentar

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ lejos de cero, así que el teorema de la función inversa proporciona un inverso local en cada uno de esos puntos. Pero $F(u,v)=F(-u,-v)$, por lo que no es globalmente inyectiva en el plano sin el origen. Un determinante nulo en cero significa que este teorema no puede garantizar un inverso local diferenciable allí. No es, por sí mismo, una prueba general de que no pueda existir ningún inverso conjuntista local para ninguna función; por ejemplo, la función escalar cúbica es biyectiva a pesar de tener derivada cero en cero.