C.11 · Integración por partes, inversión del orden y simetría

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Regla del producto, límites impropios y regiones de integración planas.

• Derivar reducciones de integración por partes con límites de extremo válidos
• Invertir una integral doble reconstruyendo su región
• Usar simetría de reflexión verificando el comportamiento eliminable en los extremos

integración por partes: Una identidad de integración derivada de la regla del producto con un término de frontera.

simetría de reflexión: Una relación entre los valores del integrando en puntos simétricos respecto al punto medio de un intervalo.

La integración por partes deriva de la regla del producto: ∫u dv=uv−∫v du. Para integrales definidas, incluye el término de frontera en ambos extremos. Con I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, elige u=(ln t)^n y dv=dt. Para n≥1, el límite inferior se anula, obteniendo I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Un signo más violaría la identidad diferenciada. Mantén el mismo límite inferior en una recurrencia; cambiarlo altera las constantes.

Para integrales impropias, aplica primero la identidad en extremos finitos, luego justifica el límite de frontera y la integral restante. Si ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, establece u=x y dv=x e^(−x²)dx para ∫x²e^(−x²)dx. Dado que v=−e^(−x²)/2 y x e^(−x²)→0 en ambos infinitos, el segundo momento completo es √π/2. La paridad proporciona el momento de la semirrecta positiva √π/4. El término de frontera anulado forma parte del argumento, no una propiedad automática de toda integral impropia.

Para invertir ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, describe el triángulo 0≤x≤y≤1, luego reescríbelo como ∫₀¹integral de 0 a yF(x,y)dx dy. Tanto el intervalo exterior como los límites internos cambian; solo intercambiar símbolos altera la región. Para F=e^(y²), integrar respecto a x primero da ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. La continuidad en este triángulo compacto hace válida la inversión de orden; casos singulares o condicionalmente convergentes requieren mayor cuidado.

Si una función integrable en [a,b] satisface f(a+b−x)=−f(x), la reflexión iguala su integral a su negativo, por lo tanto cero. Para sin(2mx)/sin x en [0,π] con entero positivo m, la reflexión x↦π−x cambia el signo del numerador y preserva el denominador. Las aparentes singularidades en los extremos son removibles: los límites son 2m en cero y −2m en π. Verifica estos límites antes de invocar simetría; la cancelación no sustituye a la integrabilidad.

Para I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, la recurrencia da x(ln x)²−2I₁(x), con I₁(x)=x ln x−x+1. Por lo tanto I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. La constante −2 asegura que I₂(1)=0. Por separado, invertir la integral triangular de e^(y²) produce un factor y de la longitud interna en x; omitir ese factor restauraría la dificultad original y cambiaría el valor.

La integración por partes impropia necesita límites de extremo. Reconstruya la región antes de invertir el orden. Un integrando reflejado con apariencia extraña debe ser integrable, incluyendo cualquier extremo eliminable.

Evalúa $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ invirtiendo el orden. Describe la región antes y después de la inversión. Deriva una fórmula para $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.

Solución resuelta

La región es $0\le x\le y\le1$. En el orden invertido, y varía de cero a uno y x de cero a y. La continuidad en el triángulo compacto permite la inversión de orden, dando $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. Integración por partes con $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ da $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. Dado que $I_1=x\ln x-x+1$,

Para entero positivo m, evalúa $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. Justifica la integrabilidad en los extremos antes de invocar la simetría.

Verificar después de intentar

Los límites en los extremos son 2m en cero y -2m en pi, por el límite seno de primer orden. Ambas singularidades son removibles, así que el integrando extendido continuamente es integrable. La reflexión $x\mapsto\pi-x$ preserva el denominador e invierte el numerador. La integral iguala su negativo y por tanto es cero. La cancelación simétrica no establecería convergencia para un extremo verdaderamente divergente; los límites removibles son esenciales.