Этот лист охватывает тему 9, Статистика. Части, помеченные (Расширенная), проверяются только на расширенных экзаменах; остальное — для обоих уровней.
Статистика
IGCSE Математика · Тема 9
8:09
Статистика
Каждый день мир собирает о вас числа: сколько вы проехали, сколько спали, какой балл получили на тесте. Длинный список чисел говорит вам почти…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
9.1 9.2
Сбор и представление данных
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Классифицировать и систематизировать статистические данные. | напр. таблицы подсчёта, двумерные таблицы. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Читать, интерпретировать и делать выводы на основе таблиц и статистических диаграмм. | |
| 2 Сравнивать наборы данных с помощью таблиц, графиков и статистических показателей. | напр. сравнивать средние значения и размах между двумя наборами данных. |
| 3 Осознавать ограничения при выводе заключений по имеющимся данным. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Читать, интерпретировать и делать выводы на основе таблиц и статистических диаграмм. | |
| 2 Сравнивайте наборы данных с помощью таблиц, графиков и статистических показателей. | Например, сравнивайте средние значения и показатели разброса между двумя наборами данных. |
| 3 Осознавать ограничения при выводе заключений по имеющимся данным. |
Источник: Программа Cambridge International
Для организации статистических данных используйте:
- таблицу отметок — ставьте знак для каждого значения, затем подсчитывайте.
- таблицу двусторонней классификации — сортирует данные по двум признакам одновременно (например, мальчики/девочки против ходьбы/автобус).
При чтении диаграммы делайте выводы только те, которые действительно поддерживаются данными.
Исследовать
Цикл работы с данными
Следуйте статистическому вопросу от сбора до представления данных.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| statistical/stəˈtɪstɪkl/ | статистические |
| data/ˈdeɪtə/ | данные |
| tally table/ˈtælɪ ˈteɪbl/ | таблица подсчета |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | двумерная таблица |
9.3
Средние значения и размах
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычислять среднее арифметическое, медиану, моду и размах для отдельных данных и различать цели их применения. | Данные могут быть представлены списком или таблицей частот, но не должны быть сгруппированы. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте среднее арифметическое, медиану, моду, квартили, размах и межквартильный размах для отдельных данных и различайте цели их применения. | |
| 2 Вычисляйте оценку среднего арифметического для группированных дискретных или непрерывных данных. | |
| 3 Определяйте модальный класс по сгруппированному частотному распределению. |
Источник: Программа Cambridge International
Три средних значения описывают типичное значение данных, а размах показывает, насколько они рассеяны. Каждое используется для разных целей:
- среднее арифметическое $= \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{how many values}}$.
- медиана $=$ среднее значение, когда данные упорядочены по возрастанию.
- мода $=$ значение, которое встречается чаще всего.
- размах $=$ наибольшее значение $-$ наименьшее значение (он показывает, насколько рассеяны данные).
Разобранное решение. Найдите среднее арифметическое, медиану, моду и размах для $4, 7, 7, 2, 5$.
Упорядочьте данные: $2, 4, 5, 7, 7$.
$$\text{mean} = \frac{4 + 7 + 7 + 2 + 5}{5} = \frac{25}{5} = 5, \quad \text{median} = 5, \quad \text{mode} = 7, \quad \text{range} = 7 - 2 = 5.$$
Исследовать
Лабораторная работа: выбор среднего
Выберите среднее значение, подходящее для данной ситуации.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| mean/miːn/ | среднее значение |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| mode/məʊd/ | модой |
| range/reɪndʒ/ | область значений |
9.3
Средние значения из таблицы частот
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычислять среднее арифметическое, медиану, моду и размах для отдельных данных и различать цели их применения. | Данные могут быть представлены списком или таблицей частот, но не должны быть сгруппированы. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте среднее арифметическое, медиану, моду, квартили, размах и межквартильный размах для отдельных данных и различайте цели их применения. | |
| 2 Вычисляйте оценку среднего арифметического для группированных дискретных или непрерывных данных. | |
| 3 Определяйте модальный класс по сгруппированному частотному распределению. |
Источник: Программа Cambridge International
Когда данные перечислены со своей частотой (сколько раз встречается каждое значение), среднее арифметическое равно
$$\text{mean} = \frac{\sum (\text{value} \times \text{frequency})}{\sum \text{frequency}}.$$
Разобранное решение. Значения $1, 2, 3$ встречаются с частотами $4, 5, 1$. Найдите среднее арифметическое.
$$\text{mean} = \frac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{4 + 5 + 1} = \frac{17}{10} = 1.7.$$
Сгруппированные данные (Расширенная)
Для сгруппированных данных невозможно найти точное среднее значение, поэтому оценивайте его с помощью середины каждого интервала как значения. Модальный класс — это просто группа с наибольшей частотой.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | частоту |
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | сгруппированные данные |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | модальный класс |
9.3
Меры разброса (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте среднее арифметическое, медиану, моду, квартили, размах и межквартильный размах для отдельных данных и различайте цели их применения. | |
| 2 Вычисляйте оценку среднего арифметического для группированных дискретных или непрерывных данных. | |
| 3 Определяйте модальный класс по сгруппированному частотному распределению. |
Источник: Программа Cambridge International
Когда данные упорядочены, квартили делят их на четыре равные части. Нижняя квартиль (LQ) находится на одной четверти пути вверх; верхняя квартиль (UQ) — на трех четвертях пути вверх. Межквартильный размах измеряет разброс центральной половины:
$$\text{interquartile range} = \text{UQ} - \text{LQ}.$$
Межквартильный размах полезен тем, что, в отличие от размаха, он не учитывает экстремальные значения.
Исследовать
Ящик с усами (box-and-whisker plot)
Постройте ящик с усами по пятичисловому обзору: ящик представляет собой средние 50% (межквартильный размах), а положение медианы указывает на асимметрию.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | квартиль |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | межквартильный размах |
9.4
Графики и диаграммы
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Строить и интерпретировать: (a) столбчатые диаграммы (b) круговые диаграммы (c) пиктограммы (d) стеблевые диаграммы (e) простые распределения частот. | Включают составные (стопочные) и двойные (расположенные рядом) столбчатые диаграммы. Стеблевые диаграммы должны содержать упорядоченные данные и условные обозначения. |
Источник: Программа Cambridge International
| График | Что показывает |
|---|---|
| столбчатая диаграмма | столбец для каждой категории; высота равна частоте |
| круговая диаграмма | круг, разделенный на секторы, каждый является дробью от $360^{\circ}$ |
| пиктограмма | использует символ для обозначения количества предметов |
| стебель-листья | сохраняет цифры упорядоченных данных, с условным обозначением |
| частотное распределение | таблица значений и их частот |
Разбор примера (круговая диаграмма). Из $120$ человек $30$ выбрали чай. Найдите угол сектора чая.
$$\frac{30}{120} \times 360^{\circ} = 90^{\circ}.$$
Исследовать
Углы круговой диаграммы
Угол каждого сектора — это его доля от целого, переведенная в градусы — частота ÷ общее количество × 360 — и секторы всегда в сумме дают 360°.
Исследовать
Лабораторная работа: выбор диаграммы
Выберите диаграмму, подходящую для типа данных.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| bar chart/bɑː tʃɑːt/ | столбчатая диаграмма |
| pie chart/paɪ tʃɑːt/ | круговая диаграмма |
| pictogram/ˈpɪktəɡræm/ | пиктограмма |
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | стебель-лист диаграмма |
| frequency distribution/ˈfriːkwənsi ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | частотное распределение |
| scatter diagram/ˈskætə ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма рассеяния |
9.5
Диаграммы рассеивания и корреляция
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Строить и интерпретировать точечные диаграммы. | Отмеченные точки должны быть чётко видны, например, в виде маленьких крестиков (×). |
| 2 Понимать понятие положительной, отрицательной и нулевой корреляции. | |
| 3 На глаз строить, интерпретировать и использовать линию тренда. | Линия тренда: • должна представлять собой единственную прямую линию, проведённую визуально; • должна охватывать весь набор данных; • не обязана точно проходить через какие-либо точки, но над её всей длиной должно наблюдаться примерно равномерное распределение точек по обе стороны от неё. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Рисуйте и интерпретируйте диаграммы рассеяния. | Нанесённые точки должны быть чётко обозначены, например, маленькими крестиками (x). |
| 2 Понимать понятие положительной, отрицательной и нулевой корреляции. | |
| 3 На глаз строить, интерпретировать и использовать линию тренда. | Линия тренда: • должна представлять собой единственную прямую линию, проведённую визуально; • должна охватывать весь набор данных; • не обязана точно проходить через какие-либо точки, но над её всей длиной должно наблюдаться примерно равномерное распределение точек по обе стороны от неё. |
Источник: Программа Cambridge International
Диаграмма рассеивания отображает пары значений точками, чтобы показать, связаны ли две величины. Эта связь называется корреляцией:
- положительная корреляция — когда одна величина растет, другая тоже растет.
- отрицательная корреляция — когда одна величина растет, другая падает.
- нулевая корреляция — четкой связи нет.
Если есть корреляция, проведите линию тренда: одну прямую линию через центр точек, примерно одинаковое количество точек с каждой стороны. Используйте ее для прогнозирования значений.
Исследовать
Точечная диаграмма и корреляция
Измените силу связи и добавьте линию тренда, чтобы выявить закономерность.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| correlation/ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | корреляцию |
| positive correlation/ˈpɒzɪtɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | положительная корреляция |
| negative correlation/ˈneɡətɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | отрицательная корреляция |
| zero correlation/ˈzɪərəʊ ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | нулевая корреляция |
| line of best fit/laɪn ɒv best fɪt/ | линия тренда |
9.6
Кумулятивные частотные диаграммы (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Рисуйте и интерпретируйте таблицы и диаграммы кумулятивных частот. | Точки на кумулятивной частотной диаграмме должны быть чётко обозначены, например, маленькими крестиками (x), и соединены плавной кривой. |
| 2 Оценивайте и интерпретируйте медиану, перцентили, квартили и межквартильный размах по кумулятивным частотным диаграммам. |
Источник: Программа Cambridge International
Кумулятивная частота — это накопительная сумма частот. Отложите ее по верхней границе каждого класса и соедините точки плавной кривой.
По графику можно найти медиану (на уровне половины общей суммы), квартили (на уровнях одной четверти и трёх четвертей) и любой процентиль (например, $90$-й процентиль находится на уровне $90\%$ от общего количества).
Исследовать
Путь накопленной частоты
Перейдите от исходных данных к кривой накопленной частоты и считыванию перцентилей.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | накопительная частота |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | перцентиль |
9.7
Гистограммы (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Рисуйте и интерпретируйте гистограммы. | На гистограммах вертикальная ось подписывается как 'Плотность частоты'. |
| 2 Производите вычисления с плотностью частоты. | Плотность частоты определяется как $\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
Источник: Программа Cambridge International
Гистограмма похожа на столбчатую диаграмму, но столбцы могут иметь разную ширину, а площадь каждого столбца (а не его высота) показывает частоту. Вертикальная ось — это плотность частоты:
$$\text{frequency density} = \frac{\text{frequency}}{\text{class width}}.$$
Разбор примера. В классе ширина класса $10$ и частота $25$. Найдите плотность частоты.
$$\text{frequency density} = \frac{25}{10} = 2.5.$$
Исследовать
Гистограмма плотности частоты
При неравных ширинах классов высота столбца — это плотность частоты, поэтому площадь (а не высота) представляет частоту.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | гистограмма |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | плотность частоты |
| class width/klæs wɪtθ/ | ширина класса |
9.7
Советы для экзамена
- Знать три средних значения: среднее арифметическое (сложить ÷ количество), медиана (среднее значение в упорядоченном ряду), мода (самое частое). Размах = максимальное − минимальное.
- По таблице частот среднее равно $\frac{\sum fx}{\sum f}$ — делить нужно на общую частоту, а не на число строк.
- На диаграмме рассеивания опишите корреляцию как положительную, отрицательную или отсутствующую, и проведите линию тренда через точку средних значений.
- Для гистограммы с неравными ширинами классов высота равна плотности частоты (частота ÷ ширина класса), а не самой частоте.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.