Средние значения и размах
| English | Русский |
|---|---|
| mean/miːn/ | среднее значение |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| mode/məʊd/ | модой |
| range/reɪndʒ/ | область значений |
| outlier/ˈaʊtlaɪə/ | выбросом |
Что такое «нормально»?"
- Средняя зарплата в компании составляет 50 000 — но большинство людей зарабатывают гораздо меньше, потому что один генеральный директор получает миллионы.
- Какой средний показатель вы выбираете, меняет историю. Среднее арифметическое, медиана и мода каждый говорят свою правду.
Лабораторная работа: выбор среднего
Выберите среднее значение, подходящее для данной ситуации.
Три средних показателя
- Среднее арифметическое $= \dfrac{\text{sum of values}}{\text{how many}}$.
- Медиана $=$ среднее значение, когда данные упорядочены по возрастанию.
- Мода $=$ наиболее часто встречающееся значение.
$4, 7, 7, 2, 5$: упорядоченные $2, 4, 5, 7, 7$. Среднее $= \dfrac{25}{5} = 5$; медиана $= 5$; мода $= 7$.
Коробчатая диаграмма (box-and-whisker plot) показывает сводку из пяти чисел; длина коробки соответствует межквартильному размаху
Найдите среднее арифметическое чисел 4, 7, 7, 2, 5.
(4 + 7 + 7 + 2 + 5)/5 = 25/5 = 5.
Найдите моду чисел 4, 7, 7, 2, 5.
7 встречается чаще всего.
Найдите медиану чисел 4, 7, 7, 2, 5.
В порядке возрастания: 2, 4, 5, 7, 7. Среднее (3-е) значение равно 5.
Соотнесите каждое среднее значение или меру с тем, как её найти.
Среднее арифметическое, медиана и мода — три вида средних; размах показывает разброс.
Размах
- Размах $=$ максимальное значение $-$ минимальное значение. Он измеряет разброс данных.
- Размах $4, 7, 7, 2, 5$: $7 - 2 = 5$.
Размах легко искажается. Одно экстремальное значение (выброс) делает размах огромным, даже если большинство значений сгруппированы близко друг к другу. МQR (в следующем уроке) является более устойчивой характеристикой.
Среднее, медиана, мода и размах для небольшого набора данных
Найдите размах чисел 4, 7, 7, 2, 5.
Максимум − минимум = 7 − 2 = 5.
Размах легко меняется под воздействием одного экстремального значения (выброса).
Размах использует только наибольшее и наименьшее значения, поэтому один выброс может сделать его очень большим.
Среднее арифметическое по таблице частот
- Когда значения сопровождаются частотами:
- Значения $1, 2, 3$ с частотами $4, 5, 1$: $\;\dfrac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{10} = \dfrac{17}{10} = 1.7$.
Значения 1, 2, 3 встречаются с частотами 4, 5, 1. Найдите среднее значение (с точностью до 1 знаков после запятой).
(1·4 + 2·5 + 3·1)/(4+5+1) = 17/10 = 1.7.
Какое среднее выбрать?
- Среднее арифметическое: использует все данные, но чувствительно к выбросам.
- Медиана: обычно меньше подвержена влиянию экстремальных значений, чем среднее арифметическое — подходит для скошенных данных (например, зарплат).
- Мода: полезна для категориальных данных (самый популярный цвет, самый распространенный размер обуви).
Упорядочивание данных на числовой оси делает медиану очевидной — это значение, находящееся посередине.
Нечётное количество и медианы из частотной таблицы
- Для $2,5,7,10$ средняя пара составляет 5 и 7, поэтому медиана $M=(5+7)/2=6$; не выбирайте только одно среднее значение.
- Значения 1,2,3 с частотами 2,3,1 дают шесть наблюдений. Позиции 3 и 4 обе равны 2, поэтому медиана 2. Частотные подсчеты определяют средние позиции, а не количество строк таблицы.
Значения 1, 2, 3 имеют частоты 2, 3, 1. Найдите медиану.
Позиции 3 и 4 в шести наблюдениях равны 2.
Вы поняли
- среднее арифметическое $=$ сумма ÷ количество; медиана $=$ среднее в упорядоченном ряду; мода $=$ наиболее часто встречающееся значение
- размах $=$ максимальное − минимальное
- среднее арифметическое по таблице частот $= \dfrac{\sum(\text{value} \times \text{freq})}{\sum \text{freq}}$