Разброс и сгруппированные данные
| English | Русский |
|---|---|
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | сгруппированные данные |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | модальный класс |
| quartiles/ˈkwɔːtaɪlz/ | квартили |
Когда данные сгруппированы
- Опрос зафиксировал рост 200 студентов. Вместо того чтобы перечислять все 200 значений, данные сгруппированы: $140$–$150$ см ($15$ студентов), $150$–$160$ см ($45$ студентов) и так далее.
- Сгруппированные данные теряют индивидуальные значения — поэтому можно только оценить среднее арифметическое.
Лабораторная работа: мера разброса
Классифицируйте сводки данных по тому, что они говорят о разбросе.
Оценка среднего арифметического для сгруппированных данных
- Используйте середину каждого интервала в качестве представительного значения:
Интервал от $10$ до $20$ имеет середину $\dfrac{10 + 20}{2} = 15$.
- Модальный интервал — это группа с наибольшей частотой.
Гистограмма показывает частоту каждой группы
Группа данных идет от 10 до 20. Какое среднее значение (midpoint) вы используете как её значение?
(10 + 20)/2 = 15.
Модальный интервал в сгруппированных данных — это:
Модальный интервал — это просто группа с наибольшим количеством точек данных.
Интервал данных идет от 30 до 50. Какое среднее значение (midpoint) вы используете?
(30 + 50)/2 = 40.
Квартили и межквартильный размах (IQR)
- Упорядочьте данные. Квартили делят их на четыре равные части:
- Нижний квартиль (LQ) находится на позиции $\dfrac{1}{4}$.
- Верхний квартиль (UQ) находится на позиции $\dfrac{3}{4}$.
IQR, а не размах. IQR измеряет разброс средней половины данных, игнорируя крайние значения. Он надежнее размаха при наличии выбросов.
Ящик с усами (box-and-whisker plot)
Постройте ящик с усами по пятичисловому обзору: ящик представляет собой средние 50% (межквартильный размах), а положение медианы указывает на асимметрию.
В наборе данных верхний квартиль равен 15, а нижний квартиль равен 7. Найдите межквартильный размах.
МQR = ВК − НК = 15 − 7 = 8.
Межквартильный размах игнорирует экстремальные значения, в отличие от обычного размаха.
МQR использует только среднюю половину, поэтому выбросы на него не влияют.
МQR показывает разброс средних ______ данных.
МQR — это размах средних 50% значений (между НК и ВК).
Разобранный пример
- UQ $= 15$, LQ $= 7$: $\text{IQR} = 15 - 7 = 8$.
- Это означает, что средняя $50\%$ часть данных охватывает диапазон в $8$ единиц.
Справливо сравните разброс
- Сравнивайте межквартильный размах (IQR), когда нужно оценить разброс средней половины; меньший IQR означает, что эта группа более стабильна.
- Также сравнивайте медианы: одинаковый IQR не означает одинаковые типичные значения.
Вычислите группированную оценку
- Интервалы $0\le x<10,10\le x<20,20\le x<40$ имеют частоты 4,6,5. Середины интервалов — 5,15,30; взвешенная сумма равна $T=4(5)+6(15)+5(30)=260$.
- Оценённое среднее арифметическое $\bar x\approx260/15=17.3$ до одного десятичного знака. Модальный интервал — $10\le x<20$, с наибольшей частотой 6. Среднее арифметическое является оценкой, поскольку индивидуальные значения неизвестны.
Средние значения классов 5,15,30 имеют частоты 4,6,5. Найдите оценочное среднее до 1 знаков после запятой.
Взвешенная сумма = 260, а общая частота = 15, поэтому среднее ≈ 17.3.
Квантили для индивидуальных данных
- Для упорядоченных значений $2,4,5,7,8,10,12,14$ медиана равна $(7+8)/2=7.5$. Медианы нижней и верхней половин дают $Q_1=(4+5)/2=4.5$ и $Q_3=(10+12)/2=11$.
- $\text{IQR}=Q_3-Q_1=11-4.5=6.5$. Укажите используемое правило при работе со списком; в графических вопросах используются позиции четверти и трёх четвертей накопленной частоты.
Квартили равны 4.5 и 11. Найдите межквартильный размах (IQR).
IQR = 11 − 4.5 = 6.5.
Вы поняли
- оцените среднее арифметическое для сгруппированных данных, используя середины каждого интервала; модальный интервал $=$ имеет наибольшую частоту
- IQR $=$ UQ $-$ LQ (разброс средней половины)
- IQR игнорирует экстремальные значения, в отличие от размаха