Mensuration · ⁨Измерение величин⁩ — IGCSE Mathematics · ⁨IGCSE Математика⁩ (0580) Revision Notes · ⁨Конспекты Mensuration · ⁨Измерение величин⁩ — IGCSE Mathematics

5.1

Units of measure · ⁨Единицы измерения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units.	Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
Используйте метрические единицы массы, длины, площади, объема и емкости в практических ситуациях и переводите величины в большие или меньшие единицы.	Единицы включают: • мм, см, м, км; • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$; • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$; • мл, л; • г, кг. Перевод между единицами включает: • между различными единицами площади, например, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$; • между единицами объема и емкости, например, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Предметное содержание

Примечания и примеры

Используйте метрические единицы массы, длины, площади, объема и емкости в практических ситуациях и переводите величины в большие или меньшие единицы.

Единицы включают: • мм, см, м, км; • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$; • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$; • мл, л; • г, кг. Перевод между единицами включает: • между различными единицами площади, например, $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$; • между единицами объема и емкости, например, $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).

To change units, be careful with squares and cubes:

Length: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
Area: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
Volume: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
Capacity: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, so $1\text{ m}^{3} = 1000$ litres.

Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.

$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Мы используем метрические единицы для массы (г, кг), длины (мм, см, м, км), площади, объёма и ёмкости (мл, литры — пространство внутри ёмкости).

Лестница: км в м (×1000), м в см (×100), см в мм (×10) — Изменение единиц длины: умножать при движении вниз, делить при движении вверх

При переходе от одних единиц измерения к другим будьте осторожны с квадратами и кубами:

Длина: $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
Площадь: $1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$.
Объём: $1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$.
Ёмкость: $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$, следовательно, $1\text{ m}^{3} = 1000$ литров.

Разбор примера. Переведите $3\text{ m}^{2}$ в $\text{cm}^{2}$.

$$3 \times 10\,000 = 30\,000\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

Unit choice lab · ⁨Выбор единиц измерения⁩

Choose the unit that matches the measurement scale. · ⁨Выберите единицу, соответствующую шкале измерения.⁩

5.2

Perimeter and area of basic shapes · ⁨Периметр и площадь базовых фигур⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium.	Except for area of a triangle, formulas are not given.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
Выполняйте вычисления, связанные с периметром и площадью прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции.	За исключением площади треугольника, формулы не даются.

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium.	Except for the area of a triangle, formulas are not given.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
Выполняйте вычисления,涉及的 прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции.	За исключением площади треугольника, формулы не приводятся.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.

Shape	Area
rectangle 矩形	$\text{length} \times \text{width}$
triangle 三角形	$\tfrac{1}{2} \times b \times h$
parallelogram 平行四边形	$b \times h$
trapezium 梯形	$\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides

Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.

$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Периметр — это расстояние по периметру фигуры. Площадь — это количество плоского пространства внутри неё. Здесь $b$ — это основание, а $h$ — перпендикулярная высота.

Фигура	Площадь
прямоугольник	$\text{length} \times \text{width}$
треугольник	$\tfrac{1}{2} \times b \times h$
параллелограмм	$b \times h$
трапеция	$\tfrac{1}{2}(a + b)h$, где $a$ и $b$ — две параллельные стороны

Прямоугольник, треугольник, параллелограмм и трапеция с отмеченными основанием, высотой и параллельными сторонами; у каждой формула площади — Площадь базовых фигур; $b$ — это основание, $h$ — перпендикулярная высота, а $a$ и $b$ — две параллельные стороны трапеции.

Разобранный пример. У трапеции параллельные стороны равны $6\text{ cm}$ и $10\text{ cm}$, а высота — $4\text{ cm}$. Найдите её площадь.

$$\tfrac{1}{2}(6 + 10) \times 4 = \tfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

Area scaling lab · ⁨Лабораторная работа по масштабированию площади⁩

area = side^2 · ⁨площадь = сторона^2⁩

Change side length and see why area grows quadratically. · ⁨Измените длину стороны и посмотрите, почему площадь растёт квадратично.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
metric/ˈmetrɪk/	метрический
mass/mæs/	масса
length/leŋθ/	длина
area/ˈeərɪə/	площадь

5.3

Circles · ⁨Круги⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$.	Formulas are given in the List of formulas.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполняйте вычисления, связанные с длиной окружности и площадью круга.	Ответы могут быть запрошены в терминах $\pi$.
2 Выполняйте вычисления, связанные с длиной дуги и площадью сектора как долями длины окружности и площади круга, где угол сектора является множителем $360^\circ$.	Формулы приведены в Списке формул.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle.	Includes minor and major sectors.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполняйте вычисления,涉及 длины окружности и площади круга.	Ответы могут требоваться в виде выражений через $\pi$. Формулы даны в Своде формул.
2 Выполняйте вычисления,涉及 длины дуги и площади сектора как долей длины окружности и площади круга.	Включает малые и большие сектора.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$

The circumference 圆周 is the distance round the circle.

Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).

$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Для круга с радиусом $r$ (и диаметром $d = 2r$):

Круг с радиусом r; длина окружности = πd и площадь = πr² — Круг: длина окружности = pi × d, площадь = pi × r в квадрате

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^{2}.$$

Длина окружности — это расстояние по кругу.

Разобранный пример. У круга радиус равен $7\text{ cm}$. Найдите его длину окружности и площадь (оставьте $\pi$ в ответе).

$$\text{circumference} = 2\pi \times 7 = 14\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \pi \times 7^{2} = 49\pi\text{ cm}^{2}.$$

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
circle/ˈsɜːkl/	окружность
radius/ˈreɪdɪəs/	радиусу
diameter/daɪˈæmɪtə/	диаметру
circumference/sɜːˈkʌmfrəns/	окружности

5.3

Arcs and sectors · ⁨Дуги и сектора⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$.	Formulas are given in the List of formulas.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполняйте вычисления, связанные с длиной окружности и площадью круга.	Ответы могут быть запрошены в терминах $\pi$.
2 Выполняйте вычисления, связанные с длиной дуги и площадью сектора как долями длины окружности и площади круга, где угол сектора является множителем $360^\circ$.	Формулы приведены в Списке формул.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas.
2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle.	Includes minor and major sectors.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполняйте вычисления,涉及 длины окружности и площади круга.	Ответы могут требоваться в виде выражений через $\pi$. Формулы даны в Своде формул.
2 Выполняйте вычисления,涉及 длины дуги и площади сектора как долей длины окружности и площади круга.	Включает малые и большие сектора.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$

A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.

Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.

The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so

$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Дуга — это часть окружности. Сектор — это «кусочек пиццы» между двумя радиусами. Если угол сектора равен $\theta$, то дуга и сектор составляют эту долю $\dfrac{\theta}{360}$ от всего круга:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}.$$

Затенённый сектор круга с центральным углом theta, радиусом r и дугой вдоль изогнутого края — Сектор составляет долю $\tfrac{\theta}{360}$ от всего круга, поэтому его дуга и площадь — это та же доля от длины окружности и площади.

Маленький кусочек — это меньший сектор; большая оставшаяся часть — больший сектор.

Разобранный пример. Найдите длину дуги и площадь сектора с углом $90^{\circ}$ и радиусом $8\text{ cm}$.

Доля равна $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, поэтому

$$\text{arc} = \tfrac{1}{4} \times 2\pi \times 8 = 4\pi\text{ cm}, \qquad \text{area} = \tfrac{1}{4} \times \pi \times 8^{2} = 16\pi\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

Arcs & sectors · ⁨Дуги и сектора⁩

s = rθ · A = ½r²θ

A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · ⁨Больший угол или радиус означают более длинную дугу и большую площадь сектора.⁩

Explore · ⁨Исследовать⁩

Arc length and sector area · ⁨Длина дуги и площадь сектора⁩

Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · ⁨Измените угол и радиус и считайте длину дуги и площадь сектора — долю от всей окружности.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
arc/ɑːk/	дуга
sector/ˈsektə/	сектора
minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/	малый сектор
major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/	большой сектор
arc length/ɑːk leŋθ/	длину дуги

5.4

Surface area and volume of solids · ⁨Площадь поверхности и объём тел⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.	Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Subject content

Notes and examples

Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone.

Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
Выполнять вычисления и решать задачи, связанные с площадью поверхности и объёмом: • прямоугольного параллелепипеда • призмы • цилиндра • сферы • пирамиды • конуса.	Ответы могут требоваться в виде $\pi$. Приведённые ниже формулы содержатся в Справочнике формул: • площадь боковой поверхности цилиндра • площадь боковой поверхности конуса • площадь поверхности сферы • объём призмы • объём пирамиды • объём цилиндра • объём конуса • объём сферы. Под термином «призма» понимается любое тело с постоянным поперечным сечением, например, цилиндральный сектор.

Предметное содержание

Примечания и примеры

Выполнять вычисления и решать задачи, связанные с площадью поверхности и объёмом: • прямоугольного параллелепипеда • призмы • цилиндра • сферы • пирамиды • конуса.

Ответы могут требоваться в виде $\pi$. Приведённые ниже формулы содержатся в Справочнике формул: • площадь боковой поверхности цилиндра • площадь боковой поверхности конуса • площадь поверхности сферы • объём призмы • объём пирамиды • объём цилиндра • объём конуса • объём сферы. Под термином «призма» понимается любое тело с постоянным поперечным сечением, например, цилиндральный сектор.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):

Solid	Volume	Surface area
cuboid 长方体	$\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$	add the six faces
prism 棱柱	(cross-section 横截面 area) $\times$ length	—
cylinder 圆柱	$\pi r^{2} h$	$2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$
pyramid 棱锥	$\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$	—
cone 圆锥	$\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$	$\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高
sphere 球	$\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$

Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).

$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$

$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Гизские пирамиды Пирамиды Гизы являются квадратными пирамидами — телом 3-мерности.

Площадь поверхности — это общая площадь всех внешних граней. Объем — это пространство внутри. Для этих тел ($r$ = радиус, $h$ = высота):

Тело	Объём	Площадь поверхности
прямоугольный параллелепипед	$\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$	сложите шесть граней
призма	(площадь поперечного сечения) $\times$ × длина	—
цилиндр	$\pi r^{2} h$	$2\pi r h$ (площадь боковой поверхности) × $+\, 2\pi r^{2}$
пирамида	$\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$	—
конус	$\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$	$\pi r l$ (боковая) × $+\, \pi r^{2}$, где $l$ — образующая
сфера	$\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$

Прямоугольный параллелепипед, цилиндр, конус и сфера, нарисованные в 3D с обозначенными размерами радиуса, высоты, длины и образующей — Распространённые тела и размеры ($r$, $h$, $\ell$, образующая $l$), используемые в формулах для вычисления их объёма и площади поверхности.

Разбор примера. Цилиндр имеет радиус $5\text{ cm}$ и высоту $10\text{ cm}$. Найдите его объем и полную площадь поверхности (выразив ответ через $\pi$).

$$\text{volume} = \pi \times 5^{2} \times 10 = 250\pi\text{ cm}^{3}.$$

$$\text{surface area} = 2\pi(5)(10) + 2\pi(5)^{2} = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

Volume scaling lab · ⁨Лабораторная работа по масштабированию объёма⁩

surface area grows with scale^2 · ⁨площадь поверхности растёт пропорционально scale^2⁩

Change length scale and see volume grow faster than surface area. · ⁨Измените масштаб длины и посмотрите, как объём растёт быстрее, чем площадь поверхности.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
volume/ˈvɒljuːm/	объем
capacity/kəˈpæsɪti/	емкостью
perimeter/pəˈrɪmɪtə/	периметр
base/beɪs/	основанием
height/haɪt/	рост
rectangle/ˈrektæŋɡl/	прямоугольник
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	треугольник
parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/	параллелограмм
trapezium/trəˈpiːzɪəm/	трапеция
surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/	площадью поверхности
cuboid/ˈkjuːbɔɪd/	прямоугольный параллелепипед
prism/ˈprɪzəm/	призма
cross-section/krɒs ˈsekʃn/	поперечное сечение
cylinder/ˈsɪlɪndə/	цилиндр
curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/	площадь криволинейной поверхности
pyramid/ˈpɪrəmɪd/	пирамида
cone/kəʊn/	конус
slant height/slænt haɪt/	наклонная высота
sphere/sfɪə/	сфера

5.5

Compound shapes and parts of shapes · ⁨Составные фигуры и части фигур⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids.	e.g. find the volume of half of a sphere.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполнять вычисления и решать задачи, связанные с периметрами и площадями: • составных фигур • частей фигур.	Ответы могут требоваться в виде $\pi$.
2 Выполнять вычисления и решать задачи, связанные с площадями поверхностей и объёмами: • составных тел • частей тел.	напр., найти объём половины сферы.

English

Subject content	Notes and examples
1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes.	Answers may be asked for in terms of $\pi$.
2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids.	e.g. find the surface area and volume of a frustum.

Русский

Предметное содержание	Примечания и примеры
1 Выполнять вычисления и решать задачи, связанные с периметрами и площадями: • составных фигур • частей фигур.	Ответы могут требоваться в виде $\pi$.
2 Выполняйте вычисления и решайте задачи,涉及 площадей поверхностей и объемов: • составных тел • частей тел.	Например, найдите площадь поверхности и объем усеченной пирамиды (конуса).

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.

For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume

$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$

A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.

Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.

The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:

$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$

Русский

Нагруженные друг на друга контейнеры *Нагруженные контейнеры представляют собой прямоугольные параллелепипеды; объём равен длине, умноженной на ширину и высоту.

Составная фигура образуется путём соединения или вырезания простых фигур. Разбейте её на известные части, затем сложите или вычтите их.

Для «частей» круга или тела возьмите соответствующую долю. Например, полусфера (половина сферы) имеет объём

$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{2}{3}\pi r^{3}.$$

Усечённая фигура — это конус или пирамида, у которой срезана верхняя часть; найдите её объём, вычтя объём маленького верхнего конуса из объёма целого конуса.

Разобранное решение. Найдите площадь фигуры, состоящей из прямоугольника $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ с полукругом диаметром $5\text{ cm}$ на одном конце.

Прямоугольник 8 на 5 с полукругом диаметром 5, присоединённым к правому концу — Разбейте составную фигуру на известные части — здесь прямоугольник плюс полукруг — затем сложите площади.

Полукруг имеет радиус $2.5\text{ cm}$:

$$\text{area} = 8 \times 5 + \tfrac{1}{2}\pi (2.5)^{2} = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^{2}.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

Compound shape route · ⁨Маршрут решения составных фигур⁩

Break a compound shape into simple parts, then recombine. · ⁨Разбейте составную фигуру на простые части, затем объедините их.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/	сложная фигура
hemisphere/ˈhemɪsfɪə/	полусфера
frustum/ˈfrʌstəm/	усеченный конус

5.5

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Match the formula to the shape: the area of a circle is $\pi r^2$, the circumference is $\pi d$ (or $2\pi r$) — do not mix them up.
Keep units consistent, and remember area units are squared and volume units cubed (e.g. $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
For an arc or sector, take the fraction $\frac{\theta}{360}$ of the whole circumference or area.
Surface area is the total of all the faces — draw the net if you are unsure. Leave an answer in terms of $\pi$ only if the question allows it.

Русский

Сопоставьте формулу с фигурой: площадь круга равна $\pi r^2$, длина окружности равна $\pi d$ (или $2\pi r$) — не перепутайте их.
Сохраняйте согласованность единиц измерения и помните, что единицы площади возводятся в квадрат, а единицы объёма — в куб (например, $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$).
Для дуги или сектора возьмите долю $\frac{\theta}{360}$ от всей окружности или площади.
Площадь поверхности — это сумма всех граней — начертите развёртку, если не уверены. Оставляйте ответ в виде выражения через $\pi$ только если это разрешено заданием.