Этот материал охватывает тему 4, Геометрия. Части, отмеченные как (Расширенная программа), проверяются только на расширенных вариантах экзамена; всё остальное относится к обоим уровням. На экзамене вы должны приводить обоснования, используя правильные названия ниже, а не просто цифры.
Геометрия
IGCSE Математика · Тема 4
13:25
Геометрия
Внимательно посмотрите на пчелиные соты. Каждая ячейка — шестиугольник: шесть прямых сторон, все одинаковые. Не квадраты. Не пятиугольники. Шестиугольники. Пчёлы никогда не изучали геометрию, но…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
4.1
Прямые и углы
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • линия • параллельный • перпендикулярный • пеленг • прямой угол • острый, тупой и развернутый углы • внутренние и внешние углы • подобный • равный (конгруэнтный) • масштабный коэффициент. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • простых тел. | Включает следующие термины: Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. |
| Простые тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера (термин «полусфера» не требуется) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику окружности. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • дуга • сектор • сегмент. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • прямая • плоскость • параллельный • перпендикулярный • перпендикулярный биссектор • азимут (пеленг) • прямой угол • острый, тупой и выпуклый углы • внутренние и внешние углы • подобие • равенство фигур • коэффициент подобия. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • тел. | Включает следующие термины. Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. |
| Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. Тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера • полусфера • усеченная пирамида (конус) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику круга. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • большая и малая дуги • сектор • сегмент. |
Источник: Программа Cambridge International
Угол, образованный пересечением двух линий, называется вершиной. Две линии называются параллельными, если они никогда не пересекаются, и перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Углы классифицируются по величине:
| Название | Размер |
|---|---|
| острый угол | меньше $90^{\circ}$ |
| прямой угол | ровно $90^{\circ}$ |
| тупой угол | между $90^{\circ}$ и $180^{\circ}$ |
| развернутый угол | между $180^{\circ}$ и $360^{\circ}$ |
Мы называем угол тремя буквами, например, угол $ABC$ — это угол при вершине $B$.
Исследовать
Лабораторная работа по фигурам и углам
Классифицируйте свойства углов по элементу диаграммы, который их образует.
4.6
Свойства углов
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте неизвестные углы и приводите простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360°; • сумма углов на прямой линии = 180°; • вертикальные углы равны; • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание трехбуквенного обозначения углов, например, угол $ABC$. От кандидатов ожидается использование правильной геометрической терминологии при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и применять свойства углов правильных многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять неизвестные углы и давать простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360° • сумма углов на прямой линии = 180° • вертикальные углы равны • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание обозначения углов из 3 букв, например, угол $ABC$. Кандидаты должны использовать правильную геометрическую терминологию при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и использовать свойства углов правильых и неправильых многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
Источник: Программа Cambridge International
Выучите эти основные факты. Каждый из них является допустимым обоснованием на экзамене.
- Сумма углов вокруг точки равна $360^{\circ}$.
- Сумма углов на прямой линии равна $180^{\circ}$.
- Вертикальные углы (образованные двумя пересекающимися прямыми) равны.
Пример решения. Три угла на прямой линии равны $x$, $50^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Найдите значение $x$.
$$x + 50 + 70 = 180 \;\Rightarrow\; x = 60^{\circ}.$$
Исследовать
Лабораторная работа по параллельным прямым и многоугольникам
Выберите правило угла, которое раскрывает каждый рисунок.
4.6
Углы при параллельных прямых
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте неизвестные углы и приводите простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360°; • сумма углов на прямой линии = 180°; • вертикальные углы равны; • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание трехбуквенного обозначения углов, например, угол $ABC$. От кандидатов ожидается использование правильной геометрической терминологии при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и применять свойства углов правильных многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять неизвестные углы и давать простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360° • сумма углов на прямой линии = 180° • вертикальные углы равны • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание обозначения углов из 3 букв, например, угол $ABC$. Кандидаты должны использовать правильную геометрическую терминологию при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и использовать свойства углов правильых и неправильых многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
Источник: Программа Cambridge International
Когда прямая пересекает две параллельные прямые:
- Соответственные углы (расположенные в одинаковых позициях, форма буквы «F») равны.
- Накрест лежащие углы (расположенные по разные стороны от секущей, форма буквы «Z») равны.
- Соответственные углы (имеющие форму буквы "С") в сумме дают $180^{\circ}$; мы говорим, что они являются смежными.
Пример решения. Прямая линия пересекает две параллельные прямые. Один из углов равен $110^{\circ}$. Соответственный угол $y$ удовлетворяет условию $110 + y = 180$, следовательно, значение $y = 70^{\circ}$.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| vertex/ˈvɜːteks/ | вершина |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| acute angle/əˈkjuːt ˈæŋɡl/ | острый угол |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | прямой угол |
| obtuse angle/ɒbˈtjuːs ˈæŋɡl/ | тупой угол |
| reflex angle/ˈriːfleks ˈæŋɡl/ | выпуклый угол |
| vertically opposite angles/ˈvɜːtɪkli ˈɒpəzɪt ˈæŋɡlz/ | вертикальные углы |
| corresponding angles/ˌkɒrɪˈspɒndɪŋ ˈæŋɡlz/ | соответственные углы |
| alternate angles/ɔːlˈtɜːnət ˈæŋɡlz/ | накрест лежащие углы |
| co-interior angles/kəʊ ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡlz/ | односторонние углы |
| supplementary/ˌsʌplɪˈmentəri/ | дополняющие друг друга |
4.1
Треугольники
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • линия • параллельный • перпендикулярный • пеленг • прямой угол • острый, тупой и развернутый углы • внутренние и внешние углы • подобный • равный (конгруэнтный) • масштабный коэффициент. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • простых тел. | Включает следующие термины: Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. |
| Простые тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера (термин «полусфера» не требуется) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику окружности. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • дуга • сектор • сегмент. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • прямая • плоскость • параллельный • перпендикулярный • перпендикулярный биссектор • азимут (пеленг) • прямой угол • острый, тупой и выпуклый углы • внутренние и внешние углы • подобие • равенство фигур • коэффициент подобия. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • тел. | Включает следующие термины. Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. |
| Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. Тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера • полусфера • усеченная пирамида (конус) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику круга. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • большая и малая дуги • сектор • сегмент. |
Источник: Программа Cambridge International
Треугольник имеет три стороны и три угла, сумма которых равна $180^{\circ}$.
| Тип | Свойство |
|---|---|
| равносторонний | все стороны равны, все углы $60^{\circ}$ |
| равнобедренный | две стороны равны, два угла равны |
| разносторонний | все стороны и все углы различны |
| прямоугольный | имеет один прямой угол |
Разбор примера. Треугольник имеет углы $x$, $2x$ и $90^{\circ}$. Найдите $x$.
$$x + 2x + 90 = 180 \;\Rightarrow\; 3x = 90 \;\Rightarrow\; x = 30^{\circ}.$$
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | треугольник |
| equilateral/ˌiːkwɪˈlætərəl/ | равносторонний |
| isosceles/aɪˈsɒsəliːz/ | равнобедренный |
| scalene/ˈskeɪliːn/ | разносторонний |
| quadrilateral/ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | четырехугольник |
4.1
Четырёхугольники
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • линия • параллельный • перпендикулярный • пеленг • прямой угол • острый, тупой и развернутый углы • внутренние и внешние углы • подобный • равный (конгруэнтный) • масштабный коэффициент. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • простых тел. | Включает следующие термины: Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. |
| Простые тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера (термин «полусфера» не требуется) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику окружности. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • дуга • сектор • сегмент. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • прямая • плоскость • параллельный • перпендикулярный • перпендикулярный биссектор • азимут (пеленг) • прямой угол • острый, тупой и выпуклый углы • внутренние и внешние углы • подобие • равенство фигур • коэффициент подобия. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • тел. | Включает следующие термины. Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. |
| Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. Тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера • полусфера • усеченная пирамида (конус) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику круга. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • большая и малая дуги • сектор • сегмент. |
Источник: Программа Cambridge International
Четырехугольник имеет четыре стороны и четыре угла, сумма которых равна $360^{\circ}$.
| Фигура | Свойство |
|---|---|
| квадрат | четыре равные стороны, четыре прямых угла |
| прямоугольник | противоположные стороны равны, четыре прямых угла |
| параллелограмм | противоположные стороны параллельны и равны |
| ромб | четыре равные стороны, противоположные стороны параллельны |
| дельтоид | две пары равных сторон, расположенных рядом друг с другом |
| трапеция | одна пара параллельных сторон |
4.6
Многоугольники
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте неизвестные углы и приводите простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360°; • сумма углов на прямой линии = 180°; • вертикальные углы равны; • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание трехбуквенного обозначения углов, например, угол $ABC$. От кандидатов ожидается использование правильной геометрической терминологии при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и применять свойства углов правильных многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять неизвестные углы и давать простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360° • сумма углов на прямой линии = 180° • вертикальные углы равны • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание обозначения углов из 3 букв, например, угол $ABC$. Кандидаты должны использовать правильную геометрическую терминологию при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и использовать свойства углов правильых и неправильых многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
Источник: Программа Cambridge International
Многоугольник — это фигура с прямыми сторонами. Правильный многоугольник имеет все стороны и все углы равными.
| Количество сторон | Название |
|---|---|
| 5 | пятиугольник |
| 6 | шестиугольник |
| 8 | восьмиугольник |
| 10 | десятиугольник |
Для многоугольника со $n$ сторонами:
$$\text{sum of interior angles} = (n - 2) \times 180^{\circ}, \qquad \text{sum of exterior angles} = 360^{\circ}.$$
Внутренний угол и внешний угол при каждой вершине в сумме составляют $180^{\circ}$.
Разобранный пример. Найдите каждый внутренний угол правильного шестиугольника.
Внешний угол равен $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, следовательно, каждый внутренний угол равен $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| polygon/ˈpɒlɪɡən/ | многоугольник |
| regular polygon/ˈreɡjʊlə ˈpɒlɪɡən/ | правильный многоугольник |
| pentagon/ˈpentæɡən/ | пятиугольник |
| hexagon/ˈheksæɡən/ | шестиугольник |
| octagon/ˈɒktæɡən/ | восьмиугольник |
| decagon/dɪˈkæɡən/ | десятиугольник |
| interior angle/ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡl/ | внутренний угол |
| exterior angle/ekˈstɪərɪə ˈæŋɡl/ | внешний угол |
| line symmetry/laɪn ˈsɪmətri/ | осевая симметрия |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | поворотная симметрия |
| plane of symmetry/pleɪn ɒv ˈsɪmətri/ | плоскость симметрии |
| axis of symmetry/ˈæksɪs ɒv ˈsɪmətri/ | ось симметрии |
4.5
Симметрия
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Распознавайте осевую симметрию и порядок поворотной симметрии в двумерном пространстве. | Включает свойства треугольников, четырехугольников и многоугольников, непосредственно связанные с их симметриями. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Распознавайте осевую симметрию и порядок поворотной симметрии в двумерных фигурах. | Включает свойства треугольников, четырехугольников и многоугольников, непосредственно связанные с их симметрией. |
| 2 Распознавайте свойства симметрии призм, цилиндров, пирамид и конусов. | Например, определите плоскости и оси симметрии. |
Источник: Программа Cambridge International
- Фигура обладает осевой симметрией, если зеркальная линия делит её на две совпадающие половины.
- Фигура обладает поворотной симметрией, если она совпадает сама с собой при вращении. Порядок равен тому, сколько раз фигура совпадает сама с собой за полный оборот.
Для тел (Расширенная программа) плоский срез, делящий тело на зеркальные половины, называется плоскостью симметрии, а ось, вокруг которой можно вращать тело, называется осью симметрии.
Исследовать
Симметрия как отражение
Фигура обладает осевой симметрией, если её отражение не изменяет. Отражайте фигуру и наблюдайте, что сохраняется.
4.1
Круги: части
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • линия • параллельный • перпендикулярный • пеленг • прямой угол • острый, тупой и развернутый углы • внутренние и внешние углы • подобный • равный (конгруэнтный) • масштабный коэффициент. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • простых тел. | Включает следующие термины: Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. |
| Простые тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера (термин «полусфера» не требуется) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику окружности. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • дуга • сектор • сегмент. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте и интерпретируйте следующие геометрические термины: • точка • вершина • прямая • плоскость • параллельный • перпендикулярный • перпендикулярный биссектор • азимут (пеленг) • прямой угол • острый, тупой и выпуклый углы • внутренние и внешние углы • подобие • равенство фигур • коэффициент подобия. | От кандидатов не требуется доказывать равенство двух фигур. |
| 2 Используйте и интерпретируйте лексику: • треугольников • специальных четырехугольников • многоугольников • разверток • тел. | Включает следующие термины. Треугольники: • равносторонний • равнобедренный • разносторонний • прямоугольный. Четырехугольники: • квадрат • прямоугольник • дельтоид • ромб • параллелограмм • трапеция. |
| Многоугольники: • правильные и неправильные многоугольники • пятиугольник • шестиугольник • восьмиугольник • десятиугольник. Тела: • куб • прямоугольный параллелепипед • призма • цилиндр • пирамида • конус • сфера • полусфера • усеченная пирамида (конус) • грань • поверхность • ребро. | |
| 3 Используйте и интерпретируйте лексику круга. | Включает следующие термины: • центр • радиус (множественное число — радиусы) • диаметр • длина окружности • полуокружность • хорда • касательная • большая и малая дуги • сектор • сегмент. |
Источник: Программа Cambridge International
| Термин | Значение |
|---|---|
| круг | множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра |
| центр | средняя точка |
| радиус | расстояние от центра до края (множественное число радиусы) |
| диаметр | проходит через центр справа налево ($= 2 \times$ радиус) |
| длина окружности | расстояние по всему периметру |
| хорда | прямая линия, соединяющая две точки на окружности |
| дуга | часть окружности |
| сектор | фигура в виде «кусочка пиццы» между двумя радиусами |
| сегмент | область, отсекаемая хордой |
| полукруг | половина круга |
| касательная | прямая, касающаяся окружности в одной точке |
Исследовать
Дуга и сектор
Перетащите угол и радиус, чтобы увидеть дугу (часть окружности) и сектор (кусочек пирога), которые они образуют.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | окружность |
4.7 4.8
Теоремы о круге
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте неизвестные углы и приводите объяснения, используя следующие геометрические свойства круга: • угол в полуокружности = 90°; • угол между касательной и радиусом = 90°. | От кандидатов ожидается использование геометрических свойств, перечисленных в программе, при обосновании ответов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте неизвестные углы и дайте объяснения, используя следующие геометрические свойства круга: • угол в полуокружности = 90° • угол между касательной и радиусом = 90° • угол в центре в два раза больше угла на окружности • углы, опирающиеся на одну дугу, равны • противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180° (дополнительные) • теорема о касательной и хорде. | От кандидатов ожидается использование перечисленных в программе геометрических свойств при приведении обоснований ответов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Используйте следующие свойства симметрии круга: • равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра • перпендикулярный биссектор хорды проходит через центр • касательные, проведенные из внешней точки, равны по длине. | От кандидатов ожидается использование перечисленных в программе геометрических свойств при приведении обоснований ответов. |
Источник: Программа Cambridge International
Используйте их для нахождения неизвестных углов, всегда указывая причину.
Для обоих уровней:
- Угол в полукруге равен $90^{\circ}$.
- Угол между касательной и радиусом равен $90^{\circ}$.
Расширенный (теоремы I):
- Угол в центре вдвое больше угла на окружности (опирающегося на ту же дугу).
- Углы в одном сегменте равны.
- Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ}$.
- Теорема о касательной и хорде: угол между касательной и хордой равен углу в противоположном сегменте.
Расширенный (теоремы II): равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра; серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр; два касательных, проведённых из одной внешней точки, равны по длине.
Разобранный пример. A, B, C лежат на окружности. Угол на окружности $ABC$ равен $40^{\circ}$. Найдите угол $AOC$ в центре $O$.
Угол в центре вдвое больше угла на окружности: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | центре |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | радиусу |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | диаметру |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | окружности |
| chord/kɔːd/ | хорда |
| arc/ɑːk/ | дуга |
| sector/ˈsektə/ | сектора |
| segment/ˈseɡmənt/ | сегмент |
| semicircle/ˈsemɪsɜːkl/ | полуокружность |
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательную |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | вписанный четырехугольник |
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | теорема о касательной и хорде (теорема о смежном секторе) |
4.4
Подобные фигуры
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте длины подобных фигур. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте длины подобных фигур. | |
| 2 Используйте соотношения между длинами и площадями подобных фигур, а также длинами, поверхностями и объемами подобных тел. | Включает использование коэффициента подобия, например, $$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$ . |
| 3 Решайте задачи и дайте простые объяснения, связанные с подобием. | Включает доказательство подобия двух треугольников на основе геометрических соображений. |
Источник: Программа Cambridge International
Две фигуры подобны, если одна является увеличением другой: одинаковые углы и все стороны, умноженные на один и тот же коэффициент подобия $k$. (Фигуры, которые полностью совпадают по размеру и форме, называются конгруэнтными.)
Для подобных фигур и тел:
$$\frac{\text{area of } A}{\text{area of } B} = k^{2}, \qquad \frac{\text{volume of } A}{\text{volume of } B} = k^{3}.$$
Разобранный пример. Два подобных тела имеют длины в отношении $2 : 3$. Объём меньшего равен $40\text{ cm}^{3}$. Найдите объём большего.
Отношение объёмов равно $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. Следовательно, объём большего равен $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.
Исследовать
Подобные фигуры — подобие (увеличение)
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но разный размер. При подобии все длины масштабируются одним коэффициентом; углы остаются неизменными.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | подобный |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | множитель масштабирования |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | равновеликими (конгруэнтными) |
4.6
Пеленги (азимуты)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычисляйте неизвестные углы и приводите простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360°; • сумма углов на прямой линии = 180°; • вертикальные углы равны; • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание трехбуквенного обозначения углов, например, угол $ABC$. От кандидатов ожидается использование правильной геометрической терминологии при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и применять свойства углов правильных многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Вычислять неизвестные углы и давать простые объяснения, используя следующие геометрические свойства: • сумма углов вокруг точки = 360° • сумма углов на прямой линии = 180° • вертикальные углы равны • сумма углов треугольника = 180° и сумма углов четырехугольника = 360°. | Требуется знание обозначения углов из 3 букв, например, угол $ABC$. Кандидаты должны использовать правильную геометрическую терминологию при обосновании ответов. |
| 2 Вычисляйте неизвестные углы и приводите геометрические объяснения для углов, образованных внутри параллельных прямых: • соответственные углы равны; • накрест лежащие углы равны; • односторонние углы в сумме дают 180° (дополнительные). | |
| 3 Знать и использовать свойства углов правильых и неправильых многоугольников. | Включает внешние и внутренние углы, а также сумму углов. |
Источник: Программа Cambridge International
Пеленг указывает направление как трёхзначный угол, отсчитываемый по часовой стрелке от севера, от $000^{\circ}$ до $360^{\circ}$. Так, строго восток — это $090^{\circ}$, а строго юг — это $180^{\circ}$.
Разобранный пример. Пеленг $B$ от $A$ равен $025^{\circ}$. Найдите пеленг $A$ от $B$.
Обратный (возвратный) пеленг отличается на $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.
Исследовать
Маршрут азимутов
Изучите, как правильно измерить азимут от направления север.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| bearing/ˈbeərɪŋ/ | азимут (bearing) |
| clockwise/ˈklɒkwaɪz/ | по часовой стрелке |
| construct/ˈkɒnstrʌkt/ | построить |
| compasses/ˈkʌmpəsɪz/ | циркуль |
4.2 4.3
Построения, развертки и тела
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Измеряйте и чертите линии и углы. | Для всех прямых сторон следует использовать линейку. Построение серединных перпендикуляров и биссектрис углов не требуется. |
| 2 Постройте треугольник, зная длины всех сторон, используя только линейку и циркуль. | Например, постройте ромб, начертив два треугольника. Дуги построения должны быть показаны. |
| 3 Чертите, используйте и интерпретируйте развёртки. | Примеры включают: • чертежи разворотов кубов, прямоугольных параллелепипедов, призм и пирамид; • использование размеров из разворотов для вычисления объемов и площадей поверхности. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Чертите и интерпретируйте масштабные чертежи. | Для всех прямых сторон необходимо использовать линейку. |
| 2 Используйте и интерпретируйте пеленги в трех цифрах. | Пеленги отсчитываются по часовой стрелке от севера (от 000° до 360°). Например, найдите пеленг точки A относительно B, если пеленг B относительно A составляет 025°. |
| Включает понимание терминов север, восток, юг и запад. Например, точка D находится точно на восток от точки C. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Чертите и интерпретируйте масштабные чертежи. | Для всех прямых сторон необходимо использовать линейку. |
| 2 Использование и интерпретация азимутов (рудов) с тремя цифрами. | Азимуты отсчитываются по часовой стрелке от севера (от $000^{\circ}$ до $360^{\circ}$). Например: найти азимут точки $A$ относительно точки $B$, если азимут точки $B$ относительно точки $A$ равен $025^{\circ}$. Включает понимание терминов «север», «восток», «юг» и «запад». Например: точка $D$ находится строго на восток от точки $C$. |
Источник: Программа Cambridge International
- Чтобы построить треугольник по трём данным сторонам, начертите основание линейкой, затем используйте циркуль для отметки каждой другой стороны как дуги. Оставьте построительные дуги видимыми.
- Развёртка — это плоская фигура, которая складывается в тело. Развёртку можно использовать для вычисления площадей поверхностей.
- Чертёж в масштабе показывает реальный объект меньше (или больше) в фиксированном масштабе, например, от $1\text{ cm}$ до $5\text{ m}$.
Распространённые тела и их части:
| Тело | Примечание |
|---|---|
| куб / прямоугольный параллелепипед | коробчатые формы |
| призма | одинаковая форма вдоль всей длины |
| цилиндр | круговая призма |
| пирамида / конус | сходятся в точку |
| сфера / полусфера | шар / половина шара |
| усечённая пирамида/конус | конус или пирамида с отрезанной верхней частью |
Плоская грань тела называется гранью, две грани пересекаются по ребру, а вся внешняя поверхность — это поверхность.
Исследовать
Построения и лаборатория твердых тел
Классифицируйте геометрические задачи по необходимому инструменту или представлению.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| square/skweə/ | квадратом |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | прямоугольник |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | параллелограмм |
| rhombus/ˈrɒmbəs/ | ромб |
| kite/kaɪt/ | дельтоид (змейка) |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | трапеция |
| net/net/ | чистым |
| scale drawing/skeɪl ˈdrɔːɪŋ/ | чертеж в масштабе |
| solids/ˈsɒlɪdz/ | твердых веществ |
| cube/kjuːb/ | куб |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | прямоугольный параллелепипед |
| prism/ˈprɪzəm/ | призма |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | цилиндр |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | пирамида |
| cone/kəʊn/ | конус |
| sphere/sfɪə/ | сфера |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | полусфера |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | усеченный конус |
| face/feɪs/ | грань |
| edge/edʒ/ | ребро |
| surface/ˈsɜːfɪs/ | поверхности |
4.2 4.3
Советы для экзамена
- Углы на прямой линии в сумме дают $180°$, вокруг точки — $360°$, а в треугольнике — $180°$. Указывайте причину на каждом шаге решения задачи об углах.
- Выучите теоремы о круге: угол в центре вдвое больше угла на окружности; угол в полукруге равен $90°$; углы в одном сегменте равны; противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180°$.
- Внешние углы любого многоугольника в сумме составляют $360°$, а каждый внутренний угол + внешний = $180°$.
- Пеленги отсчитываются по часовой стрелке от севера и всегда записываются тремя цифрами (например, $072°$).
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.