Этот материал охватывает тему 6, Тригонометрия. Части, помеченные как (Расширенный курс), тестируются только на расширенных экзаменах; всё остальное — для обоих уровней. Отвечайте на вопросы об углах с точностью до одного десятичного знака.
Тригонометрия
IGCSE Математика · Тема 6
8:37
Тригонометрия
Какова высота этой башни? Вы не можете измерить её рулеткой. Но вы можете стоять на земле, отойти на пятьдесят метров назад и измерить один угол — угол, который…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
6.1
Теорема Пифагора
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Знать и применять теорему Пифагора. |
Источник: Программа Cambridge International
Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника (треугольника с одним $90^{\circ}$ углом). Если самая длинная сторона (гипотенуза, лежащая напротив прямого угла) равна $c$, то
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$
Используйте её, чтобы найти неизвестную сторону.
Разобранный пример. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу $13\text{ cm}$ и одну короткую сторону $5\text{ cm}$. Найдите другую короткую сторону.
$$b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144, \qquad b = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.$$
Исследовать
Теорема Пифагора
Измените две короткие стороны и убедитесь в $a^2 + b^2 = c^2$ — квадраты, построенные на сторонах, действительно складываются.
6.2
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Знать и использовать соотношения синуса, косинуса и тангенса для острых углов при вычислениях со сторонами и углами прямоугольного треугольника. | Углы задаются в градусах; ответы следует записывать в градусах, округляя до одного знака после запятой. |
| 2 Решать задачи в двух измерениях с использованием теоремы Пифагора и тригонометрии. | Может потребоваться знание пеленгов (азимутов). |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Знать и использовать соотношения синуса, косинуса и тангенса для острых углов при вычислениях со сторонами и углами прямоугольного треугольника. | Углы задаются в градусах; ответы следует записывать в градусах, округляя до одного знака после запятой. |
| 2 Решать задачи в двух измерениях с использованием теоремы Пифагора и тригонометрии. | Может потребоваться знание пеленгов (азимутов). |
| 3 Знать, что перпендикулярное расстояние от точки до прямой является кратчайшим расстоянием до этой прямой. | |
| 4 Выполняйте вычисления,涉及 углов возвышения и снижения. |
Источник: Программа Cambridge International
Обозначьте стороны относительно угла, который вы используете: противолежащий (напротив угла), прилежащий (рядом с углом) и гипотенуза. Три отношения — это синус, косинус и тангенс (sin, cos, tan):
$$\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$$
Запоминайте их как SOH-CAH-TOA. Для нахождения угла используйте обратные функции ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Разобранное решение (найти сторону). В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $10\text{ cm}$, а угол составляет $30^{\circ}$. Найдите противолежащую сторону.
$$\text{opp} = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}.$$
Разобранное решение (найти угол). Противолежащая сторона равна $4\text{ cm}$, а прилежащая сторона равна $3\text{ cm}$.
$$\tan\theta = \frac{4}{3}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}.$$
Исследовать
Синус, косинус и тангенс
Перетащите угол на единичной окружности, чтобы увидеть, откуда берутся sin, cos и tan.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | Теорема Пифагора |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | прямоугольный треугольник |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | треугольник |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | гипотенузой |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | противоположным |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | прилежащий |
6.2
Углы возвышения и опускания (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Знать и использовать соотношения синуса, косинуса и тангенса для острых углов при вычислениях со сторонами и углами прямоугольного треугольника. | Углы задаются в градусах; ответы следует записывать в градусах, округляя до одного знака после запятой. |
| 2 Решать задачи в двух измерениях с использованием теоремы Пифагора и тригонометрии. | Может потребоваться знание пеленгов (азимутов). |
| 3 Знать, что перпендикулярное расстояние от точки до прямой является кратчайшим расстоянием до этой прямой. | |
| 4 Выполняйте вычисления,涉及 углов возвышения и снижения. |
Источник: Программа Cambridge International
Угол возвышения — это угол от горизонтальной линии вверх до объекта над вами. Угол опускания — это угол от горизонтальной линии вниз до объекта под вами. Кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикулярное расстояние.
Разобранное решение. От точки $50\text{ m}$ у основания башни угол возвышения до её вершины составляет $40^{\circ}$. Найдите высоту башни.
$$\text{height} = 50 \times \tan 40^{\circ} = 50 \times 0.839 = 42.0\text{ m}.$$
6.3
Точные тригонометрические значения (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Знать точные значения: 1 $\sin x$ и $\cos x$ для $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ и $90^\circ$. 2 $\tan x$ для $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ и $60^\circ$. |
Источник: Программа Cambridge International
Вы должны знать эти точные значения без калькулятора.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
6.4
Графики и тригонометрические уравнения (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Распознавайте, чертите и интерпретируйте следующие графики для $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Решайте тригонометрические уравнения,涉及 $\sin x$, $\cos x$ или $\tan x$, для $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | Например, решите: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ для $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ для $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Источник: Программа Cambridge International
Для $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
- $y = \sin x$ — это волна, начинающаяся в $0$, достигающая максимума в $90^{\circ}$, возвращающаяся к $0$ в $180^{\circ}$, опускающаяся до $-1$ в $270^{\circ}$.
- $y = \cos x$ — та же волна, но начинающаяся в $1$.
- $y = \tan x$ круто поднимается и повторяется каждые $180^{\circ}$.
Тригонометрическое уравнение часто имеет больше одного решения в этом диапазоне. Используйте график (или симметрию волны), чтобы найти все решения.
Разобранное решение. Решите $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ относительно $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
Один ответ — $x = 60^{\circ}$. Синусоида также равна $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ при значении $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Значит, подходит $x = 60^{\circ}$ или $120^{\circ}$.
Разобранное решение. Решите $2\cos x + 1 = 0$ относительно $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
$$\cos x = -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 120^{\circ} \text{ or } 240^{\circ}.$$
Исследовать
Тригонометрические графики и уравнения
(cos θ, sin θ)
По мере изменения θ синус и косинус описывают свои волны — и повторяются каждые 360°.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| sine/saɪn/ | синусоида |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | косинус |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | отношение тангенса |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | угол возвышения |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | угол места (углубления) |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | тригонометрическое уравнение |
6.5
Правило синусов и правило косинусов (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| 1 Используйте теорему синусов и теорему косинусов в вычислениях,涉及 длин и углов любого треугольника. | Включает задачи с тупыми углами и неоднозначным случаем. |
| 2 Используйте формулу $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | Формулы синусов и косинусов, а также формула площади треугольника приведены в списке формул. |
Источник: Программа Cambridge International
Для любого треугольника (не только прямоугольного), со сторонами $a, b, c$, противолежащими углам $A, B, C$:
$$\text{sine rule:}\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$
$$\text{cosine rule:}\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A.$$
Используйте правило синусов, когда известна сторона и противолежащий ей угол. Используйте правило косинусов, когда известны две стороны и угол между ними, либо все три стороны. При использовании правила синусов обращайте внимание на неоднозначный случай, когда угол может быть острым или тупым.
Площадь любого треугольника равна
$$\text{area} = \tfrac{1}{2}ab\sin C.$$
Разобранное решение. У треугольника известны стороны $b = 7\text{ cm}$ и $c = 8\text{ cm}$, а угол между ними равен $A = 40^{\circ}$. Найдите сторону $a$.
$$a^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 113 - 112 \times 0.766 = 27.2,$$
$$a = \sqrt{27.2} = 5.2\text{ cm}.$$
Исследовать
Теорема синусов и косинусов
Две стороны и угол между ними однозначно задают треугольник: теорема косинусов находит третью сторону, теорема синусов — остальные углы.
Исследовать
Что означают синус и косинус
Покрутите угол на единичной окружности: горизонтальный катет — это cos θ, а вертикальный — sin θ; это те же самые отношения, что используются в теоремах синусов и косинусов.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | теорему синусов |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | теорему косинусов |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | неоднозначный случай |
| plane/pleɪn/ | плоскость |
6.6
Теорема Пифагора и тригонометрия в 3D (Расширенная программа)
Программа
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Выполняйте вычисления и решайте задачи в трёх измерениях с использованием теоремы Пифагора и тригонометрии, включая нахождение угла между прямой и плоскостью. |
Источник: Программа Cambridge International
В трехмерном пространстве найдите прямоугольный треугольник внутри тела, затем примените теорему Пифагора или тригонометрию. Частая задача — угол между линией и плоской поверхностью (плоскостью).
Разобранное решение. Коробка имеет основание $6\text{ cm}$ на $8\text{ cm}$ и высоту $5\text{ cm}$. Найдите угол между диагональю тела и основанием.
Сначала диагональ основания: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Эта диагональ и высота образуют прямоугольный треугольник, поэтому угол $\theta$ с основанием равен
$$\tan\theta = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}.$$
Исследовать
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике a² + b² = c². То же самое правило, применённое дважды, позволяет найти длины внутри объектов в 3 измерениях.
6.6
Советы для экзамена
- Используйте теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), когда нет угла; используйте SOH-CAH-TOA, если involvement угла.
- Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла. Обозначьте стороны (противолежащая, прилежащая, гипотенуза) относительно используемого угла.
- Для нахождения угла используйте обратные функции ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$) и убедитесь, что ваш калькулятор переведён в режим градусов.
- Для треугольника без прямого угла используйте правило синусов или правило косинусов — правило косинусов, когда известны две стороны и угол между ними.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.