Координатная геометрия

Точка на графике описывается своими координатами, иногда называемыми декартовыми координатами, которые записываются как $(x, y)$. Первое число обозначает смещение по горизонтали, а второе — по вертикали.

• Две числовые прямые являются осями: горизонтальная ось $x$ и вертикальная ось $y$.
• Они пересекаются в начале координат, точке $(0, 0)$.
• Оси делят сетку на четыре четверти.

Таким образом, точка $(3, -2)$ находится путем перемещения на $3$ вправо и на $2$ вниз.

Большинство прямых линий можно записать как

где $m$ — это угловой коэффициент (крутизна), а $c$ — это свободный член — значение по $y$, при котором линия пересекает ось $y$.

• Прямая вида $x = k$ (например, $x = 3$) является вертикальной.
• Прямая вида $y = k$ (например, $y = 3$) является горизонтальной.

Уравнение прямой также может быть дано в виде $ax + by = c$. Преобразуйте его к виду $y = mx + c$, чтобы определить угловой коэффициент и пересечение с осью.

Разобранный пример. Найдите угловой коэффициент и свободный член по оси $y$ для прямой $5x + 4y = 8$.

Следовательно, угловой коэффициент равен $-\tfrac{5}{4}$, а свободный член по оси $y$ равен $2$.

Угловой коэффициент показывает, насколько крута линия:

Положительный угловой коэффициент идет вверх вправо; отрицательный угловой коэффициент идет вниз вправо.

Разобранный пример. Найдите наклон прямой, проходящей через точки $(1, 2)$ и $(4, 11)$.

Чтобы построить график функции $y = mx + c$, самый быстрый способ таков:

1. Отметьте пересечение с осью $c$ на оси $y$.
2. Используйте угловой коэффициент для перехода к другим точкам (для прямой $m = 3$ двигайтесь на $1$ вправо и на $3$ вверх).
3. Соедините точки прямой линией.

Вы также можете составить небольшую таблицу значений: выберите два или три значения по $x$, вычислите соответствующие значения по $y$ и нанесите точки на график.

Если вы знаете угловой коэффициент $m$ и одну точку на прямой, подставьте координаты этой точки в формулу $y = mx + c$, чтобы найти значение $c$.

Разобранный пример. Прямая имеет угловой коэффициент $3$ и проходит через точку $(1, 2)$. Найдите её уравнение.

Таким образом, уравнение прямой: $y = 3x - 1$. (Если даны две точки, сначала найдите угловой коэффициент, а затем выполните эти действия.)

Отрезок прямой — это прямая часть между двумя точками.

Чтобы найти длину отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, воспользуйтесь теоремой Пифагора для горизонтальных и вертикальных расстояний:

Чтобы найти середину (точку ровно посередине), вычислите среднее арифметическое координат:

Разобранный пример. Найдите длину и середину отрезка от точки $(1, 2)$ до точки $(4, 6)$.

Параллельные прямые никогда не пересекаются, поэтому они имеют одинаковый угловой коэффициент.

Разобранный пример. Найдите уравнение прямой, параллельной прямой $y = 4x - 1$ и проходящей через точку $(1, -3)$.

Её угловой коэффициент также равен $4$. Подставьте координаты точки:

таким образом, уравнение прямой: $y = 4x - 7$.

Две прямые являются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно $-1$:

Иными словами: переверните дробь и измените знак.

Разобранный пример. Найдите угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой $2y = 3x + 1$.

Преобразуем уравнение: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, следовательно, угловой коэффициент равен $\tfrac{3}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $-\tfrac{2}{3}$.

Перпендикулярный биссектор

Перпендикулярный биссектор отрезка делит его пополам под прямым углом. Чтобы найти его уравнение: определите середину отрезка, а затем проведите прямую с перпендикулярным угловым коэффициентом через эту точку.

Разобранный пример. Найдите перпендикулярный биссектор отрезка, соединяющего точки $(-3, 8)$ и $(9, -2)$.

• Середина отрезка: $\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$.
• Угловой коэффициент отрезка: $\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$.
• Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $\frac{6}{5}$.

Проходит через точку $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Следовательно, уравнение биссектора:

• Прямая имеет вид $y = mx + c$: $m$ — это угловой коэффициент, а $c$ — место, где прямая пересекает ось $y$.
• Угловой коэффициент = (изменение по $y$) ÷ (изменение по $x$). Сохраняйте порядок двух координат одинаковым в числителе и знаменателе.
• Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент; перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, произведение которых равно $-1$ (взаимно обратные со знаком минус).
• Середина отрезка — это среднее арифметическое координат; расстояние между двумя точками вычисляется по теореме Пифагора на основе разницы координат.