Градиент
| English | Русский |
|---|---|
| rise/raɪz/ | растут |
| run/rʌn/ | run |
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | наклона (градиента) |
Самая крутая улица в мире
- Улица Болдуин в Данидине, Новая Зеландия, поднимается на 35 м вверх на каждые 100 м вдоль земли.
- Это отношение — подъем ÷ горизонтальное смещение — математики называют угловым коэффициентом (градиентом).
- Одно число точно указывает, насколько круто что-либо: будь то улица, крыша или линия на графике.
Что измеряет угловой коэффициент
- Угловой коэффициент $m$ tells you две вещи о прямой линии:
- Насколько крутая она является (больший модуль градиента = более крутая).
- В каком направлении она идет (положительный = вверх вправо, отрицательный = вниз вправо).
- Угловой коэффициент $0$ означает, что линия идеально горизонтальна —完全没有 подъема.
Крутой альпийский перевал: угловой коэффициент измеряет крутизну как подъем над горизонтальным смещением
Градиент
y = ax + b
Градиент a измеряет крутизну — отношение подъема к горизонтальному перемещению.
Прямая, идущая вниз при движении вправо, имеет градиент, который:
Спуск вправо означает, что изменение y отрицательно при положительном изменении x, поэтому градиент отрицателен.
Градиент горизонтальной линии равен 0.
Горизонтальная линия не имеет вертикального изменения (подъем = 0), поэтому m = 0/перемещение = 0.
Градиент по сетке; координаты в расширенной программе
- Выберите любые две точки на линии, $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
- Подъем (rise) — это вертикальное расстояние между точками; горизонтальное смещение (run) — это горизонтальное расстояние.
Треугольник углового коэффициента: посчитайте клетки вверх (подъем) и вбок (горизонтальное смещение), затем разделите.
Заполните формулу: m = (y₂ − y₁) / (? − x₁).
Полная формула: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Знаменатель — это изменение x, то есть x₂ − x₁.
Разобранный пример
- Найдите угловой коэффициент линии, проходящей через $(1, 2)$ и $(4, 11)$.
- Подъем составляет $= 11 - 2 = 9$; горизонтальное смещение составляет $= 4 - 1 = 3$.
- $m = \dfrac{9}{3} = 3$.
- Линия поднимается на $3$ единиц вверх на каждые $1$ единицы вправо — довольно круто.
Быстрая проверка. Через точки $(0, 1)$ и $(2, 7)$: подъем $= 7 - 1 = 6$, горизонтальное смещение $= 2 - 0 = 2$, значит угловой коэффициент равен $m = \dfrac{6}{2} = 3$. Тот же угловой коэффициент, та же крутизна — но это другая линия.
Найдите градиент прямой, проходящей через точки (1, 2) и (4, 11).
(11 − 2)/(4 − 1) = 9/3 = 3.
Найдите градиент прямой, проходящей через точки (0, 1) и (2, 7).
(7 − 1)/(2 − 0) = 6/2 = 3.
Ловушка вычитания
- Вы обязаны выполнять вычитание в одном и том же порядке для обеих координат:
- Значения из точки $(y_2 - y_1)$ парятся со значениями из точки $(x_2 - x_1)$, либо значения из точки $(y_1 - y_2)$ парятся со значениями из точки $(x_1 - x_2)$.
- Перепутанный порядок меняет знак и дает неправильный угловой коэффициент.
Частая ошибка. Через точки $(1, 2)$ и $(4, 11)$: если вы записали $\dfrac{11 - 2}{1 - 4} = \dfrac{9}{-3} = -3$, вы перепутали порядок — вы взяли $y_2 - y_1$ сверху, но $x_1 - x_2$ снизу. Выберите одну точку как «первую» и придерживайтесь этого порядка.
Угловой коэффициент в реальном мире
- Дорожные знаки указывают угловой коэффициент в процентах: уклон 10% означает подъем 10 м на каждые 100 м пути.
- Рампы для инвалидных колясок должны иметь угловой коэффициент не более $\dfrac{1}{12}$ (около 8%) — это требование строительных норм во многих странах.
- Уклон крыши — это тоже угловой коэффициент; более крутые крыши быстрее сбрасывают дождевую воду.
Соотнесите каждое описание с соответствующим свойством градиента.
Положительный = подъем вправо; нулевой = горизонтальный; отрицательный = спуск вправо; больший модуль означает более крутой наклон.
Вы поняли
- угловой коэффициент $m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- положительный угловой коэффициент → линия идет вверх вправо; отрицательный → вниз вправо; нолевой → горизонтальный
- выполняйте вычитание в одном и том же порядке для обеих координат — перепутанный порядок меняет знак
- через точки $(1,2)$ и $(4,11)$: угловой коэффициент равен $m = \dfrac{9}{3} = 3$