Длина и середина отрезка
| English | Русский |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | отрезок прямой |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | гипотенузой |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | Теорема Пифагора |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | середина |
Как далеко, на самом деле?
- Ваш телефон указывает, что кафе находится на расстоянии 1.2 км, но это прямое расстояние, а не зигзагообразный путь пешком по улицам.
- В аналитической геометрии часто требуется найти точное прямое расстояние между двумя точками.
- Инструмент для этого? Теорема, которой уже 2500 лет.
Лабораторная работа по длине и середине отрезка
midpoint находится посередине между концами отрезка
Перемещайтесь вдоль отрезка прямой и наблюдайте середину как midpoint.
Длина отрезка (Расширенное объяснение)
- Отрезок прямой — это прямая часть между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
- Нарисуйте прямоугольный треугольник, где отрезок является гипотенузой:
- Горизонтальный разрыв составляет $x_2 - x_1$, а вертикальный разрыв — $y_2 - y_1$.
- По теореме Пифагора длина равна:
Разрыв по горизонтали (3) и разрыв по вертикали (4) дают длину по теореме Пифагора; середина отрезка — это среднее арифметическое координат
Разобранное решение — длина
- Найдите расстояние от $(1, 2)$ до $(4, 6)$.
- Горизонтальный разрыв $= 4 - 1 = 3$; вертикальный разрыв $= 6 - 2 = 4$.
- Длина $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- Классический прямоугольный треугольник 3-4-5 дает красивый ответ.
Теорема Пифагора находит длину (гипотенузу); усреднение находит середину отрезка (звездочка).
Из начала координат. Расстояние от $(0, 0)$ до $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Тот же треугольник, но другая начальная точка.
Найдите длину отрезка от (1, 2) до (4, 6).
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Найдите длину отрезка от (0, 0) до (3, 4).
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Классический треугольник 3-4-5.
Найдите длину отрезка от (1, 5) до (7, 5).
У обеих точек y = 5 (горизонтальный отрезок). Длина = 7 − 1 = 6.
Середина отрезка (расширенная тема)
- Середина отрезка — это точка, расположенная ровно посередине между двумя концами.
- Найдите ее, вычислив среднее арифметическое каждой координаты:
- Это «половина» $x$ в паре с «половиной» $y$.
Разобранное решение — середина отрезка
- Найдите середину отрезка от $(1, 2)$ до $(4, 6)$.
- Половина по $x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- Половина по $y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Середина отрезка $= (2.5,\, 4)$ — ровно посередине пути.
Усредняйте, а не складывайте. Середина отрезка между $(1, 2)$ и $(4, 6)$ равна $(2.5, 4)$, а не $(5, 8)$. Вы должны разделить на 2 — найти среднее арифметическое, а не сумму.
Середина отрезка между (1, 2) и (4, 6) имеет координаты (a, 4). Чему равно a?
Вычислите среднее арифметическое значений x: (1 + 4)/2 = 2.5.
Середина отрезка между (2, 3) и (8, 9) имеет координаты (5, b). Чему равно b?
Вычислите среднее арифметическое значений y: (3 + 9)/2 = 6.
Координата x середины отрезка между (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равна:
Середина — это среднее арифметическое каждой координаты: (x₁ + x₂)/2. Вариант 2 забывает разделить; вариант 3 дает половину разницы, а не позицию.
Заполните пропуск: координата x середины = (x₁ + ______) / 2.
Координата x середины — это среднее арифметическое двух значений x: (x₁ + x₂)/2.
Семейство треугольников 3-4-5
- Треугольник со сторонами $3, 4, 5$ является наименьшим прямоугольным треугольником со целочисленными сторонами.
- Кратные значения также подходят: $6, 8, 10$ и $9, 12, 15$ тоже являются прямоугольными треугольниками.
- Вы будете встречать это семейство часто в экзаменационных заданиях — узнавайте его и экономьте время.
Для горизонтального отрезка (оба значения y одинаковы) длина равна просто разности значений x.
Когда y₁ = y₂, формула упрощается до √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|.
Соотнесите каждый отрезок с его длиной.
(0,0)–(5,0) — горизонтальный, длина 5. (1,1)–(1,4) — вертикальный, длина 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5.
Вы поняли
- длина $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (по теореме Пифагора для горизонтальных и вертикальных разрывов)
- середина отрезка $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (среднее арифметическое каждой координаты)
- от $(1,2)$ до $(4,6)$: длина $5$, середина отрезка $(2.5,\, 4)$
- прямоугольный треугольник 3-4-5 встречается часто — заметьте его как можно раньше