IGCSE Mathematics · IGCSE Математика · Topic 7 · Тема 7
7:56
Преобразования и векторы
Посмотрите на эту стену. Она кажется сложной — сотни фигур, замкнутых друг в друга. Но никто не рисовал каждую деталь. Кто-то нарисовал одну маленькую фигуру, а затем переместил её снова…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 7, Transformations and vectors. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Vectors as a whole topic are Extended.
Этот раздаточный материал охватывает Тема 7: Преобразования и векторы. Части, помеченные (Расширенная программа), проверяются только на расширенных экзаменах; всё остальное — для обоих уровней. Векторы как целая тема относятся к расширенной программе.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions will not involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a vertical or horizontal line. | |
| 2 Rotation of a shape about the origin, vertices or midpoints of edges of the shape, through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive and fractional scale factors only. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Предметное содержание | Примечания и примеры |
|---|---|
| Распознавать, описывать и изображать следующие преобразования: | Вопросы не будут включать комбинации преобразований. Для всех прямых линий обязательно использование линейки. |
| 1 Отражение фигуры относительно вертикальной или горизонтальной прямой. | |
| 2 Поворот фигуры вокруг начала координат, вершин или середин сторон фигуры на угол, кратный 90°. | |
| 3 Увеличение (масштабирование) фигуры из центра с коэффициентом подобия. | Только положительные и дробные коэффициенты подобия. |
| 4 Перемещение (трансляция) фигуры с помощью вектора $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformations | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions may involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a straight line. | |
| 2 Rotation of a shape about a centre through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive, fractional and negative scale factors may be used. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Преобразования | Заметки и примеры |
|---|---|
| Распознавайте, описывайте и изображайте следующие преобразования: | Вопросы могут включать комбинации преобразований. Для всех прямых линий необходимо использовать линейку. |
| 1 Отражение фигуры относительно прямой. | |
| 2 Поворот фигуры вокруг центра на угол, кратный 90°. | |
| 3 Увеличение (подобие) фигуры из центра с коэффициентом подобия. | Могут использоваться положительные, дробные и отрицательные коэффициенты подобия. |
| 4 Перемещение (трансляция) фигуры с помощью вектора $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A transformation 变换 changes the position or size of a shape. The original is the object and the result is the image. There are four types. When asked to describe one, you must name the type and give all the details below.
A reflection 反射 flips the shape over a mirror line 对称轴. Each image point is the same distance from the line as the object point, on the other side.
Worked example. Reflect the point $(3, 2)$ in the $y$-axis. Only the sign of $x$ changes: the image is $(-3, 2)$. (In the $x$-axis it would be $(3, -2)$.)
A rotation 旋转 turns the shape about a fixed point, the centre 中心 of rotation, through multiples of $90^{\circ}$.
Worked example. Rotate $(3, 1)$ by $90^{\circ}$ anticlockwise about the origin. The rule is $(x, y) \to (-y, x)$, so the image is $(-1, 3)$.
An enlargement 放大 changes the size by a scale factor 比例因子 $k$, measured from a fixed centre. Each distance from the centre is multiplied by $k$.
Worked example. Enlarge $(1, 2)$ from the origin by scale factor $2$. Multiply both coordinates: the image is $(2, 4)$.
A translation 平移 slides the shape with no turning, by a vector 向量 written as a column vector 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ across, $y$ up).
Worked example. Translate $(5, 3)$ by $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: move $2$ left and $4$ up to get $(3, 7)$.
(Extended: a question may ask you to combine two transformations and describe the single transformation that has the same effect.)
Преобразование меняет положение или размер фигуры. Исходная фигура называется объектом, а результат — образом. Существует четыре типа. Когда просят описать преобразование, необходимо назвать тип и привести все детали ниже.
Отражение переворачивает фигуру через зеркальную линию. Каждая точка образа находится на том же расстоянии от линии, что и соответствующая точка объекта, но по другую сторону.
Разобранный пример. Отобразите точку $(3, 2)$ относительно оси $y$. Меняется только знак $x$: изображение имеет координаты $(-3, 2)$. (Относительно оси $x$ оно было бы $(3, -2)$.)
Вращение поворачивает фигуру вокруг фиксированной точки — центра вращения, на угол, кратный $90^{\circ}$.
Разобранный пример. Поверните $(3, 1)$ на $90^{\circ}$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Правило преобразования: $(x, y) \to (-y, x)$, поэтому изображение имеет координаты $(-1, 3)$.
Увеличение меняет размер фигуры с помощью коэффициента подобия $k$, отсчитываясь от фиксированного центра. Каждое расстояние от центра умножается на $k$.
Разобранный пример. Увеличьте $(1, 2)$ от начала координат с коэффициентом подобия $2$. Умножьте обе координаты: изображение имеет координаты $(2, 4)$.
Перенос перемещает фигуру без поворота на вектор, записанный в виде столбца $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ вправо, $y$ вверх).
Разобранный пример. Выполните перенос для точки $(5, 3)$ на вектор $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: переместите на $2$ влево и на $4$ вверх, чтобы получить точку $(3, 7)$.
(Extended: в задании может потребоваться объединить два преобразования и описать одно эквивалентное преобразование).
Translate, reflect, rotate or enlarge the shape and watch where it lands. · Переведите, отразите, поверните или увеличьте фигуру и наблюдайте, куда она переместится.
| English | Русский |
|---|---|
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | трансформация |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | отражения |
| mirror line/ˈmɪrə laɪn/ | ось симметрии |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | поворот |
| centre/ˈsentə/ | центре |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | увеличение |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | множитель масштабирования |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | трансляция |
| Vectors in two dimensions | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Describe a translation using a vector represented by $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. | Vectors will be printed as $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. |
| 2 Add and subtract vectors. | |
| 3 Multiply a vector by a scalar. |
| Векторы в двух измерениях | Заметки и примеры |
|---|---|
| 1 Опишите перенос с помощью вектора, обозначаемого как $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ или $\mathbf{a}$. | Векторы будут напечатаны как $\overrightarrow{AB}$ или $\mathbf{a}$. |
| 2 Складывайте и вычитайте векторы. | |
| 3 Умножайте вектор на скаляр. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A vector has both size and direction. It can be written as a column vector, as $\overrightarrow{AB}$ (from $A$ to $B$), or in bold as $\mathbf{a}$.
Worked example. If $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ and $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, then
Вектор имеет и величину, и направление. Его можно записать в виде столбца, например $\overrightarrow{AB}$ (от точки $A$ до точки $B$), или жирным шрифтом как $\mathbf{a}$.
Разобранное решение. Если даны функции $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, то
Drag two vectors and add them tip to tail to get the resultant. · Перетащите два вектора и сложите их конец к началу, чтобы получить результирующий вектор.
| English | Русский |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | векторное |
| column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/ | столбцовый вектор |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| Magnitude of a vector | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the magnitude of a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ as $\sqrt{x^2 + y^2}$. | The magnitudes of vectors will be denoted by modulus signs, e.g. • $|\mathbf{a}|$ is the magnitude of $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ is the magnitude of $\overrightarrow{AB}$. |
| Модуль вектора | Заметки и примеры |
|---|---|
| Вычисляйте модуль вектора $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$. | Модули векторов обозначаются вертикальными чертами (модулем), например: • $|\mathbf{a}|$ — это модуль вектора $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ — это модуль вектора $\overrightarrow{AB}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The magnitude 模 (length) of a vector is found with Pythagoras. For $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
Worked example. The magnitude of $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ is $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Модуль (длина) вектора находится по теореме Пифагора. Для вектора $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
Разобранный пример. Модуль вектора $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ равен $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
| English | Русский |
|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
| directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/ | направленный отрезок |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | вектор положения |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | коллинеарный |
| coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/ | компланарный |
| Vector geometry | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent vectors by directed line segments. | |
| 2 Use position vectors. | |
| 3 Use the sum and difference of two or more vectors to express given vectors in terms of two coplanar vectors. | |
| 4 Use vectors to reason and to solve geometric problems. | Examples include: • show that vectors are parallel • show that 3 points are collinear • solve vector problems involving ratio and similarity. |
| Векторная геометрия | Заметки и примеры |
|---|---|
| 1 Изображайте векторы направленными отрезками. | |
| 2 Используйте радиус-векторы. | |
| 3 Используйте сумму и разность двух или более векторов для выражения заданных векторов через два копланарных вектора. | |
| 4 Используйте векторы для геометрических рассуждений и решения задач. | Примеры: • показать, что векторы параллельны • показать, что 3 точки лежат на одной прямой • решить векторную задачу, связанную с отношением и подобием. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A vector can be drawn as a directed line segment 有向线段 (an arrow). The position vector 位置向量 of a point is the vector from the origin $O$ to that point.
A key idea: the vector from $A$ to $B$ is
where $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are the position vectors of $A$ and $B$.
Two vectors are parallel 平行 if one is a scalar multiple of the other (for example $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Three points are collinear 共线 (in a straight line) if the vectors between them are parallel and share a point. You can express any vector in terms of two coplanar 共面 vectors.
Worked example. $O$ is the origin, with $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $AB$. Find $\overrightarrow{OM}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
Вектор можно изобразить как направленный отрезок (стрелку). Радиус-вектор точки — это вектор от начала координат $O$ до данной точки.
Ключевая идея: вектор от точки $A$ до точки $B$ равен
где $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — радиус-векторы точек $A$ и $B$.
Два вектора называются параллельными, если один является скалярным множителем другого (например, $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Три точки называются коллинеарными (лежащими на одной прямой), если векторы между ними параллельны и имеют общую точку. Любой вектор можно выразить через два компланарных вектора.
Разобранный пример. Точка $O$ — начало координат, даны точки $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите вектор $\overrightarrow{OM}$ через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
resultant = a + b · равнодействующая = a + b
Combine vectors to reach a point — the resultant is the direct route. · Сложите векторы, чтобы достичь точки — равнодействующий показывает прямой путь.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…