Параллельные и перпендикулярные прямые
| English | Русский |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | отрицательная обратная величина |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | перпендикулярный бисектор |
Железнодорожные пути и городские кварталы
- Железнодорожные пути идут параллельно — одинаковый угловой коэффициент, никогда не пересекаются, уходят вдаль.
- Улицы в планировочном городе, таком как Нью-Йорк или Барселона, пересекаются под прямым углом, образуя сетку.
- Обе идеи — параллельность и перпендикулярность — сводятся к одному: угловому коэффициенту.
Параллельные прямые
- Параллельные прямые никогда не пересекаются, сколько бы вы их ни продлевали.
- Непересекающиеся (невертикальные) прямые параллельны, если они имеют одинаковый градиент. Вертикальные прямые также параллельны, но их градиент не определен.
- $y = 4x - 1$ и $y = 4x + 7$ параллельны (обе имеют угловой коэффициент $m = 4$).
Найти параллельную прямую. Прямая, параллельная $y = 4x - 1$, проходящая через $(1, -3)$: тот же наклон $4$, поэтому $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. Уравнение имеет вид $y = 4x - 7$.
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон; наклоны перпендикулярных прямых в произведении дают $-1$
Параллельность и перпендикулярность
y = ax + b
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент; перпендикулярные угловые коэффициенты в произведении дают −1.
Прямая параллельна y = 4x − 1 и проходит через точку (1, −3). В уравнении y = 4x + c чему равно c?
Параллельность → тот же угловой коэффициент 4. −3 = 4(1) + c, отсюда c = −7.
Какая прямая параллельна y = −2x + 5?
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Прямая y = −2x − 3 имеет угловой коэффициент −2, такой же, как у y = −2x + 5.
Перпендикулярные прямые (Расширенная тема)
- Две прямые перпендикулярны, если они пересекаются под прямым углом ($90°$).
- Их наклоны в произведении равны $-1$:
- Простыми словами: переверните дробь и измените знак (это противоположное обратное число).
- Наклон $\dfrac{3}{2}$ → наклон перпендикулярной прямой $-\dfrac{2}{3}$.
Параллельные (бирюзовые): одинаковый наклон. Перпендикулярные (розовые + фиолетовые): их наклоны в произведении дают $-1$.
Прямая имеет угловой коэффициент 3/2. Чему равен угловой коэффициент прямой, перпендикулярной ей?
Переверните и измените знак: угловой коэффициент перпендикулярной прямой = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Две перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, произведение которых равно −1.
m₁ × m₂ = −1 является определяющим свойством перпендикулярных угловых коэффициентов.
Если две прямые перпендикулярны, то m₁ × m₂ = ______.
Произведение перпендикулярных угловых коэффициентов всегда равно −1.
Разобранное решение — перпендикулярная прямая
- Найти прямую, перпендикулярную $y = 2x + 3$, проходящую через $(4, 1)$.
- Исходный наклон $m_1 = 2$, значит наклон перпендикулярной прямой $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Подстановка: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- Перпендикулярная прямая имеет уравнение $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Не забудьте оба шага. Наклон перпендикулярной прямой — это перевернуть И изменить знак. Наклон $3$ → перпендикулярный $-\dfrac{1}{3}$ (а не $\dfrac{1}{3}$, который был бы просто обратным числом).
Прямая имеет угловой коэффициент 5. Чему равен угловой коэффициент прямой, перпендикулярной ей?
Угловой коэффициент перпендикуляра = −1/5 = −0.2.
Перпендикулярный биссектриса (Расширенная тема)
- Перпендикулярный биссектриса отрезка делит его пополам под прямым углом.
- Метод (три шага):
- 1. Найдите середину отрезка.
- 2. Найдите наклон перпендикулярной прямой ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Используйте наклон перпендикулярной прямой и середину, чтобы записать уравнение.
Соотнесите каждую пару угловых коэффициентов (m₁, m₂) с отношением между прямыми.
2/3 × (−3/2) = −1 → перпендикулярны. 4 = 4 → параллельны. 1 × (−1) = −1 → перпендикулярны. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 и 5 ≠ −5 → ни то, ни другое.
Расставьте шаги для нахождения серединного перпендикуляра к отрезку от (0, 0) до (6, 2) в правильном порядке.
Сначала найдите середину, затем угловой коэффициент отрезка, затем переверните и измените знак для получения углового коэффициента перпендикулярной прямой, затем подставьте значения в y = mx + c.
Городские планировщики и правила наклона
- Сетка Манхэттена была запроектирована в 1811 году с проспектами, идущими с севера на юг, и улицами, идущими с востока на запад — все они перпендикулярны.
- Напротив, старые европейские города имеют улицы, пересекающиеся под любыми углами —完全没有 наклона rule at all.
- Инженеры используют перпендикулярные наклоны для проектирования дорожных развязок, железнодорожных переездов и фундаментов зданий.
Вы поняли
- параллельные → одинаковый наклон ($m_1 = m_2$)
- перпендикулярные → наклоны в произведении дают $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "перевернуть и изменить знак")
- перпендикулярный биссектриса = перпендикулярный наклон через середину
- параллельная к $y = 4x - 1$ через $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$