Координаты и координатная плоскость
| English | Русский |
|---|---|
| coordinate plane/kəʊˈɔːdɪnət pleɪn/ | координатная плоскость |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | начало координат |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | четверти |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | координаты |
Город, боевой корабль, карта сокровищ
- Друг говорит: «Иди 3 блока на восток, затем 2 блока на юг.» Вы можете найти это место точно — потому что у вас есть два направления.
- Одно число («иди 3 блока») оставляет вас на всем круге. Два числа фиксируют вас в одной точке.
- В этом заключается вся идея координатной плоскости: каждой точке присваивается уникальный адрес.
Координатная плоскость
- Два перпендикулярных числовых луча — $x$-ось (горизонтальная) и $y$-ось (вертикальная) — пересекаются в начале координат $O = (0, 0)$.
- Оси делят плоскость на четыре квадранта (I, II, III, IV).
- Любая точка описывается своими координатами $(x, y)$ — сначала значение $x$, затем значение $y$.
Оси пересекаются в начале координат; $(3, -2)$ означает 3 единицы вправо, затем 2 вниз — четвёртая четверть.
Координатная плоскость
y = mx + c
У каждой точки есть координаты (x, y). Прямая линия — это множество точек, где y зависит от x определенным образом.
Точка пересечения оси $x$ и оси $y$ называется ______.
Начало координат — это точка $(0, 0)$, где пересекаются две оси.
Соотнесите каждую точку с её четвертью.
I четверть: обе положительные. II: $x$ отрицательная, $y$ положительная. III: обе отрицательные. IV: $x$ положительная, $y$ отрицательная.
Чтение координат точки
- Начните с начала координат. Определите значение по оси $x$, двигаясь горизонтально (вправо — положительное, влево — отрицательное).
- Затем определите значение по оси $y$, двигаясь вверх (положительное) или вниз (отрицательное).
- Точка $(3, -2)$: перейдите на $3$ вправо, затем на $2$ вниз. Она находится в IV четверти.
Порядок имеет значение. Точки $(3, -2)$ и $(-2, 3)$ — это совершенно разные точки. Всегда читайте сначала по горизонтали, а потом по вертикали — как будто идете по улице, прежде чем подниматься по лестнице.
Городская уличная сетка: каждое место фиксируется своими координатами
Точка $(-4, 3)$ находится в какой четверти?
Отрицательное $x$ (влево) и положительное $y$ (вверх) → II четверть (верхний левый угол).
Точка начинается в позиции $(2, 5)$. Она смещается на $5$ вправо и на $2$ вниз. Какова её новая координата $y$?
Новая позиция: $(2+5,\; 5-2) = (7, 3)$. Координата $y$ равна $3$.
Точки $(3, -2)$ и $(-2, 3)$ — это одна и та же точка.
Координаты упорядочены: $(x, y)$. Точка $(3, -2)$ находится в IV четверти; точка $(-2, 3)$ во II четверти — совершенно разные положения.
Построение графика прямой линии
- Большинство линий имеют $y = mx + c$. Самый быстрый способ их построить:
- Способ 1 — отметьте точку пересечения с осью $c$ на оси $y$, затем двигайтесь, используя угловой коэффициент $m$.
- Способ 2 — составьте таблицу значений: выберите несколько значений по оси $x$, вычислите соответствующие значения по оси $y$, нанесите точки на график и соедините их.
Оси пересекаются в начале координат $O$ и делят плоскость на четыре квадранта; $(3,-2)$ означает 3 вправо и 2 вниз
Разбор примера — таблица значений
- Нарисуйте график функции $y = 2x + 1$.
| $x$ | $y = 2x + 1$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $3$ |
| $2$ | $5$ |
- Нанесите точки $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$ и соедините их прямой линией.
Выберите значения по оси $x$, найдите соответствующие значения по оси $y$, нанесите точки и соедините их — таблица гарантирует точность.
Особые прямые. $x = k$ — это вертикальная прямая (фиксированный $x$ для любого $y$); $y = k$ — это горизонтальная прямая (фиксированный $y$ для любого $x$). Горизонтальная прямая имеет $m=0$ и подходит для $y=mx+c$; вертикальная прямая нет.
Какое уравнение дает горизонтальную линию?
$y = k$ фиксирует значение $y$ для каждого значения $x$, создавая горизонтальную линию. $x = k$ является вертикальной.
Интересный факт
- Координатную плоскость назвали в честь Рене Декарта (1596–1650), который, согласно легенде, придумал её, лежа в постели и наблюдая за мухой на потолке, пытаясь понять, как описать её точное положение.
Вы поняли
- точка читается как $(x, y)$ — сначала по горизонтали, потом по вертикали; оси пересекаются в начале координат $(0, 0)$
- четыре четверти нумеруются от I (верхняя правая) до IV (нижняя правая) против часовой стрелки
- $(3, -2)$ → 3 вправо, 2 вниз (четверть IV); $(-2, 3)$ — это совершенно другая точка
- построение графика $y = mx + c$: отметьте точку пересечения $c$ на оси $y$, затем двигайтесь по угловому коэффициенту — либо используйте таблицу значений