Сила и трансlaçãoционная динамика

Цель обучения 2.1.A: Описывать свойства и взаимодействия системы.

• 2.1.A.1 Свойства системы определяются взаимодействиями между объектами внутри системы.
• 2.1.A.2 Если свойства или взаимодействия составляющих объектов внутри системы не важны при моделировании поведения макроскопической системы, саму систему можно рассматривать как единый объект.
• 2.1.A.3 Системы могут допускать взаимодействия между составляющими частью системы и окружающей средой, что может привести к передаче энергии или массы.
• 2.1.A.4 Отдельные объекты внутри выбранной системы могут вести себя по-разному как друг относительно друга, так и по отношению к системе в целом.
• 2.1.A.5 Внутренняя структура системы влияет на анализ этой системы.
• 2.1.A.6 При изменении переменных, внешних по отношению к системе, ее субструктура может измениться.

Цель обучения 2.1.B: Описывать положение центра масс системы относительно её составляющих частей.

• 2.1.B.1 Для объектов или систем с симметричным распределением масс центр масс расположен на линиях симметрии.
• 2.1.B.2 Положение центра масс системы вдоль данной оси может быть рассчитано с использованием уравнения ⟦number⟧
  • Уравнение: $\vec{x}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum m_i \vec{x}_i}{\sum m_i}$
• 2.1.B.3 Для неоднородного твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность дифференциальных элементов массы, $dm$, центр масс твердого тела может быть рассчитан с использованием уравнения
  • Уравнение: $\vec{r}_{\text{cm}} = \dfrac{\int \vec{r}\, dm}{\int dm}$
  • 2.1.B.3.i Линейная плотность массы стержня или другого линейного жесткого тела — это производная массы стержня по положению элемента дифференциальной массы на жестком теле.
    • Уравнение: $\lambda = \dfrac{d}{d\ell} m(\ell)$
  • 2.1.B.3.ii Если задана функция плотности массы твердого тела, полную массу можно определить, проинтегрировав плотность массы по длине (одно измерение), площади (два измерения) или объему (три измерения) твердого тела. Например:
    • Уравнение: $M_{\text{total}} = \int \rho(r)\, dV$
• 2.1.B.4 Систему можно моделировать как единичный объект, расположенный в центре масс системы.

Цель обучения 2.2.A: Описать силу как взаимодействие между двумя объектами или системами

• 2.2.A.1 Силы — это векторные величины, описывающие взаимодействия между объектами или системами.
  • 2.2.A.1.i Сила, действующая на объект или систему, всегда возникает в результате взаимодействия этого объекта или системы с другим объектом или системой.
  • 2.2.A.1.ii Объект или система не может exert (прикладывать) равнодействующую силу самому себе.
• 2.2.A.2 Контактные силы описывают взаимодействие объекта или системы, соприкасающегося с другим объектом или системой, и являются макроскопическим проявлением межатомных электрических сил.

Цель обучения 2.2.B: Описывать силы, действующие на объект или систему, используя диаграмму свободного тела.

• 2.2.B.1 Диаграммы свободного тела являются полезными инструментами для визуализации сил, действующих на отдельный объект или систему, а также для определения уравнений, представляющих физическую ситуацию.
• 2.2.B.2 Диаграмма свободного тела (FBD) объекта или системы показывает каждую силу, действующую на объект или систему со стороны окружающей среды.
• 2.2.B.3 Силы, действующие на объект или систему, изображаются в виде векторов, исходящих из представления центра масс, например, точки. Система рассматривается так, будто вся её масса сосредоточена в центре масс.
• 2.2.B.4 Координатная система, ось которой параллельна направлению ускорения объекта или системы, упрощает перевод диаграммы свободного тела в алгебраическое представление. Например, на диаграмме свободного тела объекта на наклонной плоскости полезно расположить одну ось параллельно поверхности наклона.

Уточнение: AP Physics C: Механика и AP Physics C: Электричество и магнетизм требуют от студентов лишь изображать силы, действующие на объекты, а не проекции сил на диаграммах свободного тела. На экзаменах AP по физике отдельные силы, представленные на диаграмме свободного тела, должны быть нарисованы как отдельные прямые стрелки, исходящие из точки и указывающие в направлении действия силы. Отдельные силы, направленные в одну сторону, должны быть нарисованы рядом друг с другом, без наложения.

Цель обучения 2.3.A: Описать взаимодействие двух объектов или систем с использованием третьего закона Ньютона и представления парных сил, действующих на каждый объект или систему.

• 2.3.A.1 Третий закон Ньютона описывает взаимодействие двух объектов или систем через парные силы, которые каждое из них оказывает на другое.
  • Уравнение: $\vec{F}_{\text{A on B}} = -\vec{F}_{\text{B on A}}$
• 2.3.A.2 Взаимодействия между объектами внутри системы (внутренние силы) не влияют на движение центра масс системы.
• 2.3.A.3 Натяжение является макроскопическим результатом сил, которые бесконечно малые участки нити, троса, цепи или аналогичной системы оказывают друг на друга в ответ на внешнюю силу.
  • 2.3.A.3.i Идеальная нить имеет пренебрежимо малую массу и не растягивается под действием натяжения.
  • 2.3.A.3.ii Натяжение в идеальной нити одинаково во всех её точках.
  • 2.3.A.3.iii В нити с непренебрежимо малой массой натяжение может быть различным во всех её точках.
  • 2.3.A.3.iv Идеальный блок — это блок, имеющий пренебрежимо малую массу и вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр масс, при пренебрежимо малом трении.

Цель обучения 2.4.A: Описать условия, при которых скорость системы остается постоянной.

• 2.4.A.1 Равнодействующая сила системы равна векторной сумме всех сил, действующих на систему.
• 2.4.A.2 Трансляционное равновесие — это конфигурация сил, при которой равнодействующая сила, действующая на систему, равна нулю.
  • Выведенное уравнение: $\sum \vec{F}_i = 0$
• 2.4.A.3 Первый закон Ньютона гласит, что если равнодействующая сила, действующая на систему, равна нулю, скорость этой системы останется постоянной.
• 2.4.A.4 Силы могут быть скомпенсированы в одном измерении, но нескомпенсированы в другом. Скорость системы изменится только в направлении нескомпенсированной силы.
• 2.4.A.5 Инерциальная система отсчета — это такая система, из которой наблюдатель может подтвердить первый закон движения Ньютона.

Цель обучения 2.5.A: Описать условия, при которых скорость системы изменяется.

• 2.5.A.1 Нескомпенсированные силы — это конфигурация сил, при которой равнодействующая сила, действующая на систему, не равна нулю.
• 2.5.A.2 Второй закон Ньютона гласит, что ускорение центра масс системы по модулю пропорционально модулю равнодействующей силы, действующей на систему, и направлено в ту же сторону, что и эта равнодействующая сила.
  • Уравнение: $\vec{a}_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \vec{F}}{m_{\text{sys}}} = \dfrac{\vec{F}_{\text{net}}}{m_{\text{sys}}}$
• 2.5.A.3 Скорость центра масс системы изменится только тогда, когда на эту систему действует ненулевая внешняя равнодействующая сила.

Цель обучения 2.6.A: Описать гравитационное взаимодействие между двумя объектами или системами с массой.

• 2.6.A.1 Закон всемирного тяготения Ньютона описывает гравитационную силу между двумя объектами или системами как прямо пропорциональную каждой из их масс и обратно пропорциональную квадрату расстояния между центрами масс систем.
  • Уравнение: $\left| \vec{F}_g \right| = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
  • 2.6.A.1.i Гравитационная сила является притягивающей.
  • 2.6.A.1.ii Гравитационная сила всегда действует вдоль линии, соединяющей центры масс двух взаимодействующих систем.
  • 2.6.A.1.iii Гравитационную силу, действующую на систему, можно считать приложенной к центру масс этой системы.
• 2.6.A.2 Поле моделирует эффекты бесконтактной силы, действующей на объект в различных точках пространства.
  • 2.6.A.2.i Модуль гравитационного поля, создаваемого системой массы $M$ в точке пространства, равен отношению гравитационной силы, оказываемой системой на пробный объект массы $m$, к массе пробного объекта.
    • Выведенное уравнение: $\left| \vec{g} \right| = \dfrac{\left| \vec{F}_g \right|}{m} = G \dfrac{M}{r^2}$
  • 2.6.A.2.ii Если гравитационная сила является единственной силой, действующей на объект, наблюдаемое ускорение объекта (в $\text{m/s}^2$) численно равно модулю напряженности гравитационного поля (в $\text{N/kg}$) в данном месте.
• 2.6.A.3 Гравитационная сила, оказываемая небесным телом на относительно небольшой близлежащий объект, называется весом.
  • Выведенное уравнение: $\text{Weight} = F_g = mg$

Цель обучения 2.6.B: Описать ситуации, в которых гравитационную силу можно считать постоянной.

• 2.6.B.1 Если изменение гравитационной силы между центрами масс двух систем пренебрежимо мало при изменении их относительного положения, гравитационную силу можно считать постоянной во всех точках между начальным и конечным положениями систем.
• 2.6.B.2 Вблизи поверхности Земли напряженность гравитационного поля равна
  • Уравнение: $g \approx 10\ \text{N/kg}$

Цель обучения 2.6.C: Описать условия, при которых модуль кажущегося веса системы отличается от модуля гравитационной силы, действующей на эту систему.

• 2.6.C.1 Модуль кажущегося веса системы равен модулю силы нормальной реакции опоры, действующей на систему.
• 2.6.C.2 Если система движется с ускорением, её кажущийся вес не равен модулю гравитационной силы, действующей на систему.
• 2.6.C.3 Система кажется невесомой, когда на неё не действуют силы или когда единственной силой, действующей на систему, является сила тяжести.
• 2.6.C.4 Принцип эквивалентности гласит, что наблюдатель в неинерциальной системе отсчета не может отличить видимый вес объекта от гравитационной силы, действующей на него со стороны гравитационного поля.

Цель обучения 2.6.D: Описать инертную и гравитационную массу.

• 2.6.D.1 Объекты обладают инертной массой, или инерцией, — свойством, определяющим сопротивление изменениям движения при взаимодействии с другими объектами.
• 2.6.D.2 Гравитационная масса связана с силой притяжения между двумя системами, обладающими массой.
• 2.6.D.3 Экспериментально подтверждено, что инертная и гравитационная массы эквивалентны.

Цель обучения 2.6.E: Описать гравитационную силу, действующую на объект со стороны равномерного сферического распределения массы.

• 2.6.E.1 Равнодействующая гравитационная сила, действующая на объект со стороны равномерного сферического распределения массы, представляет собой сумму отдельных сил от малых дифференциальных масс, составляющих это распределение.
• 2.6.E.2 Теорема о оболочках Ньютона описывает равнодействующую гравитационную силу, действующую на объект со стороны равномерной сферической оболочки массы.
  • 2.6.E.2.i Равнодействующая гравитационная сила, действующая на объект внутри тонкой сферической оболочки, равна нулю.
  • 2.6.E.2.ii Равнодействующую гравитационную силу, действующую на объект вне тонкой сферической оболочки, можно определить, рассматривая оболочку как единый массивный объект, расположенный в центре оболочки.
  • 2.6.E.2.iii Объект внутри сферы с равномерной плотностью испытывает равнодействующую гравитационную силу только от частичной массы сферы.
  • 2.6.E.2.iv Частичная масса сферы, которая вносит вклад в равнодействующую гравитационную силу, действующую на объект внутри этой сферы, представляет собой часть массы сферы, расположенную на расстоянии меньше или равном расстоянию объекта до центра сферы, и может быть рассчитана с использованием плотности сферы.
    • Выведенное уравнение: $m_{\text{partial}} = \rho \dfrac{4}{3} \pi \left( r_{\text{partial}} \right)^3$
• 2.6.E.3 Можно показать, что гравитационная сила, действующая на объект внутри равномерной сферы, пропорциональна расстоянию объекта до центра сферы.
  • Выведенное уравнение: $F_{g,\text{partial}} = -k r_{\text{partial}}$

Уточнение: AP Physics C: Механика не требует от студентов математически доказывать или выводить теорему о оболочках Ньютона.

Цель обучения 2.7.A: Описать кинетическое трение между двумя поверхностями.

• 2.7.A.1 Кинетическое трение возникает, когда две контактирующие поверхности движутся относительно друг друга.
  • 2.7.A.1.i Сила кинетического трения действует в направлении, противоположном движению каждой поверхности относительно другой поверхности.
  • 2.7.A.1.ii Сила трения между двумя поверхностями не зависит от площади контакта этих поверхностей.
• 2.7.A.2 Модуль силы кинетического трения, действующей на объект, равен произведению нормальной силы, с которой поверхность действует на объект, на коэффициент кинетического трения.
  • Уравнение: $\left| \vec{F}_{f,k} \right| = \left| \mu_k \vec{F}_N \right|$
  • 2.7.A.2.i Коэффициент кинетического трения зависит от свойств материалов контактирующих поверхностей.
  • 2.7.A.2.ii Нормальная сила — это перпендикулярный компонент силы, с которой поверхность действует на объект; она направлена от поверхности.

Цель обучения 2.7.B: Описать статическое трение между двумя поверхностями.

• 2.7.B.1 Статическое трение может возникать между контактирующими поверхностями двух объектов, которые неподвижны относительно друг друга.
• 2.7.B.2 Статическое трение принимает значение и направление, необходимые для предотвращения скольжения или проскальзывания объекта по поверхности.
  • Уравнение: $\left| \vec{F}_{f,s} \right| \leq \left| \mu_s \vec{F}_n \right|$
  • 2.7.B.2.i Проскальзывание и скольжение относятся к ситуациям, когда две поверхности движутся относительно друг друга.
  • 2.7.B.2.ii Существует предельное значение, при котором статическое трение предотвращает скольжение объекта по данной поверхности.
    • Выведенное уравнение: $F_{f,s,\text{max}} = \mu_s F_N$
• 2.7.B.3 Коэффициент статического трения обычно больше коэффициента кинетического трения для данной пары поверхностей.

Цель обучения 2.8.A: Описать силу, действующую на объект со стороны идеальной пружины.

• 2.8.A.1 Идеальная пружина имеет пренебрежимо малой массой и оказывает силу, пропорциональную изменению ее длины по сравнению с длиной в放松енном состоянии. Неидеальная пружина либо имеет непренебрежимо малой массой, либо оказывает силу, не пропорциональную изменению ее длины по сравнению с длиной в放松енном состоянии.
• 2.8.A.2 Модуль силы, создаваемой идеальной пружиной на объект, определяется законом Гука:
  • Уравнение: $\vec{F}_s = -k \Delta \vec{x}$
• 2.8.A.3 Сила, действующая на объект со стороны пружины, всегда направлена к положению равновесия системы «объект–пружина».

Цель обучения 2.8.B: Описать эквивалентную жесткость комбинации пружин, оказывающих силы на объект.

• 2.8.B.1 Совоность пружин, действующих на объект, может вести себя так, как будто они являются одной пружиной с эквивалентной жесткостью $k_{\text{eq}}$.
  • 2.8.B.1.i Величина, обратная эквивалентной жесткости набора пружин, соединенных последовательно, равна сумме величин, обратных индивидуальным жесткостям пружин.
    • Выведенное уравнение: $\dfrac{1}{k_{\text{eq, series}}} = \sum_i \dfrac{1}{k_i} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dots$
  • 2.8.B.1.ii Эквивалентная жесткость набора пружин, соединенных последовательно, меньше наименьшей из индивидуальных жесткостей.
  • 2.8.B.1.iii Эквивалентная жесткость набора пружин, соединенных параллельно, равна сумме индивидуальных жесткостей.
    • Выведенное уравнение: $k_{\text{eq, parallel}} = \sum_i k_i = k_1 + k_2 + \dots$

Уточнение: AP Physics C: Механика требует от студентов находить эффективную жесткость систем пружин, соединенных либо последовательно, либо параллельно, и не требует от студентов находить эффективную жесткость систем, в которых пружины соединены как последовательно, так и параллельно.

Цель обучения 2.9.A: Описать движение объекта, подверженного сопротивляющей силе.

• 2.9.A.1 Сопротивляющая сила определяется как зависящая от скорости сила, направленная в сторону, противоположную вектору скорости объекта, например:
  • Уравнение: $\vec{F}_r = -k\vec{v}$
• 2.9.A.2 Применение второго закона Ньютона к объекту, на который действует сила сопротивления, приводит к дифференциальному уравнению для скорости.
  • 2.9.A.2.i Используя метод разделения переменных, скорость можно определить интегрированием по соответствующим пределам интегрирования.
  • 2.9.A.2.ii Ускорение или положение движущегося объекта, подверженного силе, зависящей от скорости, могут быть определены с использованием начальных условий объекта и методов математического анализа после определения функции скорости.
  • 2.9.A.2.iii Положение, скорость и ускорение как функции времени объекта под действием силы сопротивления вида $\vec{F}_r = -k\vec{v}$ являются экспоненциальными и имеют асимптоты, определяемые начальными условиями объекта и силами, действующими на объект.
• 2.9.A.3 Терминальная скорость определяется как максимальная скорость, достигаемая объектом, движущимся под действием постоянной силы и силы сопротивления, которые действуют на объект в противоположных направлениях. Терминальное состояние достигается, когда результирующая сила, действующая на объект, равна нулю.

Цель обучения 2.10.A: Описать движение объекта, движущегося по круговой траектории.

• 2.10.A.1 Центростремительное ускорение — это компонента ускорения объекта, направленная к центру его круговой траектории.
  • 2.10.A.1.i Модуль центростремительного ускорения объекта, движущегося по круговой траектории, равен отношению квадрата тангенциальной скорости объекта к радиусу круговой траектории.
    • Уравнение: $a_c = \dfrac{v^2}{r}$
  • 2.10.A.1.ii Центростремительное ускорение направлено к центру круговой траектории объекта.
• 2.10.A.2 Центростремительное ускорение может возникать под действием одной силы, нескольких сил или компонент сил, действующих на объект при круговом движении.
  • 2.10.A.2.i В верхней точке вертикальной круговой петли объекту необходима минимальная скорость для поддержания кругового движения. В этой точке и при этой минимальной скорости сила тяжести является единственной силой, вызывающей центростремительное ускорение.
    • Выведенное уравнение: $v = \sqrt{gr}$
  • 2.10.A.2.ii Компоненты силы трения покоя и нормальной реакции опоры могут вносить вклад в результирующую силу, создающую центростремительное ускорение объекта, движущегося по окружности на наклонной поверхности.
  • 2.10.A.2.iii Компонента силы натяжения вносит вклад в результирующую силу, создающую центростремительное ускорение, испытываемое коническим маятником.
• 2.10.A.3 Тангенциальное ускорение — это скорость изменения скорости объекта и направлена касательно круговой траектории объекта.
• 2.10.A.4 Результирующее ускорение объекта, движущегося по окружности, является векторной суммой центростремительного и тангенциального ускорений.
• 2.10.A.5 Оборот объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной скоростью (равномерное круговое движение), можно описать с помощью периода и частоты.
  • 2.10.A.5.i Время, необходимое для завершения одного полного кругового пути, одного полного оборота или полного цикла колебательного движения, определяется как период, $T$.
  • 2.10.A.5.ii Скорость, с которой объект совершает обороты, называется частотой, $f$.
    • Уравнение: $T = \dfrac{1}{f}$
  • 2.10.A.5.iii Для объекта, движущегося с постоянной скоростью по круговой траектории, период задается выведенным уравнением
    • Выведенное уравнение: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$

Цель обучения 2.10.B: Описать круговые орбиты с использованием третьего закона Кеплера.

• 2.10.B.1 Для спутника на круговой орбите вокруг центрального тела центростремительное ускорение спутника вызвано исключительно гравитационным притяжением. Период и радиус круговой орбиты связаны с массой центрального тела.
  • Выведенное уравнение: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} R^3$

Уточнение: AP Physics C: Механика не требует от студентов знания первого или второго законов Кеплера о движении планет.