В научном музее латунный шар висит на очень длинной нити. Он качается весь день над размеченным полом, не касаясь его. Каждый цикл занимает столько же времени, как и предыдущий.…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
7.1.A.1 Simple harmonic motion is a special case of periodic motion.
7.1.A.2 SHM results when the magnitude of the restoring force exerted on an object is proportional to that object's displacement from its equilibrium position.
Derived equation:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i A restoring force is a force that is exerted in a direction opposite to the object's displacement from an equilibrium position.
7.1.A.2.ii An equilibrium position is a location at which the net force exerted on an object or system is zero.
Русский
Цель обучения 7.1.A: Описать простое гармоническое движение.
7.1.A.1 Простое гармоническое движение — это частный случай периодического движения.
7.1.A.2 ПГД возникает, когда модуль возвращающей силы, действующей на тело, пропорционален смещению этого тела от положения равновесия.
Выведенное уравнение:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i Возвращающая сила — это сила, которая действует в направлении, противоположном смещению тела от положения равновесия.
7.1.A.2.ii Положение равновесия — это место, в котором равнодействующая сила, действующая на тело или систему, равна нулю.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Simple harmonic motion
Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) is a special case of periodic motion 周期运动. It appears whenever two things are true: there is an equilibrium 平衡位置 position where the net force is zero, and displacing the object produces a restoring force 回复力 – a force pointing back toward equilibrium – whose magnitude is proportional to the displacement:
$$F=-k\,\Delta x.$$
Newton's second law then gives the defining differential equation 微分方程:
Its solution is sinusoidal, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. You do not need to prove this solution – you need to recognise the equation: any system whose motion obeys "$\ddot{x}=-\omega^2x$" is a simple harmonic oscillator, whatever it is made of. (A mass hanging on a vertical spring works the same way: gravity only shifts the equilibrium point; the oscillation about it is unchanged.)
Русский
Гармонические колебания
Механические колебания (SHM) — это частный случай периодического движения. Они возникают всегда, когда выполняются два условия: существует положение равновесия, где результирующая сила равна нулю, а смещение тела вызывает возвращающую силу — силу, направленную обратно к положению равновесия, модуль которой пропорциональна смещению:
$$F=-k\,\Delta x.$$
Второй закон Ньютона тогда дает определяющее дифференциальное уравнение:
Его решение синусоидально, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. Вам не нужно доказывать это решение — вам нужно его узнать: любая система, движение которой подчиняется «$\ddot{x}=-\omega^2x$», является гармоническим осциллятором, какой бы ни была ее природа. (Масса, подвешенная на вертикальной пружине, ведет себя аналогичным образом: гравитация лишь смещает точку равновесия; колебания вокруг нее остаются неизменными.)
В ПГК ускорение всегда направлено обратно к положению равновесия, противоположно смещению
7.2
Frequency and Period of SHM · Частота и период ПГК
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 7.2.A: Describe the frequency and period of an object exhibiting SHM.
7.2.A.1 The period of SHM is related to the angular frequency, $\omega$, of the object's motion by the following equation:
Two classic conceptual traps: the period of SHM never depends on the amplitude 振幅, and each system ignores one obvious variable – the pendulum's period does not involve its mass, and the spring's period does not involve $g$ (a spring–block oscillator keeps perfect time in orbit; a pendulum clock does not).
Русский
Угловая частота$\omega$ определяет период и частоту:
Два классических концептуальных ловушки: период SHM никогда не зависит от амплитуды, и каждая система игнорирует одну очевидную переменную — период маятника не включает его массу, а период пружины не включает $g$ (пружинно-массовый осциллятор сохраняет идеальный ход в невесомости; маятниковые часы — нет).
Explore · Исследовать
Time a pendulum's swing · Замерьте период маятника
A pendulum's period depends on its length and gravity, not its mass or (small) amplitude: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Lengthen it and each swing takes longer. · Период маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения, но не от массы или (малой) амплитуды: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Увеличьте длину, и каждый взмах займет больше времени.
7.3
Representing and Analyzing SHM · Представление и анализ ПГК
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 7.3.A: Describe the displacement, velocity, and acceleration of an object exhibiting SHM.
7.3.A.1 For an object exhibiting SHM, the displacement of that object measured from its equilibrium position can be represented by the equations $x = A\cos(2\pi ft)$ or $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Minima, maxima, and zeros of displacement, velocity, and acceleration are features of harmonic motion.
7.3.A.1.ii Recognizing the positions or times at which the displacement, velocity, and acceleration for SHM have extrema or zeros can help in qualitatively describing the behavior of the motion.
7.3.A.2 The position as a function of time for an object exhibiting SHM is a solution of the second-order differential equation derived from the application of Newton's second law.
7.3.A.3 Characteristics of SHM, such as velocity and acceleration, can be determined by or derived from the equation $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i The acceleration of an object exhibiting SHM is related to the object's angular frequency and position.
Derived equation:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii It can be shown that the maximum velocity and acceleration of an object exhibiting SHM are related to the angular frequency of the object's motion.
Derived equations:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 In the presence of a sinusoidal external force, a system may exhibit resonance.
7.3.A.4.i Resonance occurs when an external force is exerted at the natural frequency of an oscillating system.
7.3.A.4.ii Resonance increases the amplitude of oscillating motion.
7.3.A.4.iii The natural frequency of a system is the frequency at which the system will oscillate when it is displaced from its equilibrium position.
7.3.A.5 Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will not change its period.
7.3.A.6 Properties of SHM can be determined and analyzed using graphical representations.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to know the solution to the second-order differential equation that describes SHM, as well as be able to identify SHM. AP Physics C: Mechanics does not expect students to mathematically prove that the solution is correct.
Русский
Цель обучения 7.3.A: Описать смещение, скорость и ускорение объекта, совершающего ПГД.
7.3.A.1 Для объекта, совершающего ПГД, его смещение, измеренное от положения равновесия, может быть представлено уравнениями $x = A\cos(2\pi ft)$ или $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Минимумы, максимумы и нули смещения, скорости и ускорения являются характеристиками гармонического движения.
7.3.A.1.ii Распознавание положений или моментов времени, когда смещение, скорость и ускорение для ПГД имеют экстремумы или равны нулю, помогает качественно описать поведение движения.
7.3.A.2 Зависимость положения от времени для объекта, совершающего гармонические колебания, является решением дифференциального уравнения второго порядка, полученного путем применения второго закона Ньютона.
7.3.A.3 Характеристики гармонических колебаний, такие как скорость и ускорение, могут быть определены или выведены из уравнения $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i Ускорение объекта, совершающего гармонические колебания, связано с угловой частотой объекта и его положением.
Выведенное уравнение:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii Можно показать, что максимальная скорость и ускорение объекта, совершающего гармонические колебания, связаны с угловой частотой движения объекта.
Выведенные уравнения:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 В присутствии синусоидальной внешней силы система может проявлять резонанс.
7.3.A.4.i Резонанс возникает, когда внешняя сила приложена с частотой, равной собственной частоте колебательной системы.
7.3.A.4.ii Резонанс увеличивает амплитуду колебательного движения.
7.3.A.4.iii Собственная частота системы — это частота, при которой система будет колебаться, если ее вывести из положения равновесия.
7.3.A.5 Изменение амплитуды системы, совершающей гармонические колебания, не изменит её период.
7.3.A.6 Свойства гармонических колебаний можно определить и проанализировать с помощью графических представлений.
Граничное утверждение: AP Physics C: Mechanics ожидает, что студенты будут знать решение дифференциального уравнения второго порядка, описывающего гармонические колебания, а также смогут их идентифицировать. AP Physics C: Mechanics не требует от студентов математического доказательства правильности этого решения.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
So at the ends of the swing ($x=\pm A$) the speed is zero and the acceleration is largest; passing through equilibrium ($x=0$) the acceleration is zero and the speed is largest, $v_{\max}=A\omega$. The amplitude $A$ and the phase constant 相位常数$\phi$ come from the initial conditions: where the object starts and how fast it is moving. Eliminating $t$ (or using energy, below) gives speed as a function of position:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
Worked example. A $0.50\ \text{kg}$ mass on a $k=200\ \text{N/m}$ spring: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. With $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ at equilibrium, and at $x=0.050\ \text{m}$ the speed is $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
Таким образом, на концах траектории ($x=\pm A$) скорость равна нулю, а ускорение максимально; при прохождении через положение равновесия ($x=0$) ускорение равно нулю, а скорость максимальна, $v_{\max}=A\omega$. Амплитуда $A$ и фазовая постоянная$\phi$ определяются начальными условиями: где находится тело и с какой скоростью оно движется. Исключив $t$ (или используя энергию ниже), получаем зависимость скорости от положения:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
Перемещение изменяется синусоидально со временем при гармонических колебаниях
Разобранный пример. Масса $0.50\ \text{kg}$ на пружине жёсткостью $k=200\ \text{N/m}$: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. При $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ в положении равновесия, а при $x=0.050\ \text{m}$ скорость равна $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
7.4
Energy of Simple Harmonic Oscillators · Энергия простых гармонических осцилляторов
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 7.4.A: Describe the mechanical energy of a system exhibiting SHM.
7.4.A.1 The total energy of a system exhibiting SHM is the sum of the system's kinetic and potential energies.
Relevant equation:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Conservation of energy indicates that the total energy of a system exhibiting SHM is constant.
7.4.A.3 The kinetic energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's potential energy is at a minimum.
7.4.A.4 The potential energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's kinetic energy is at a minimum.
7.4.A.4.i The minimum kinetic energy of a system exhibiting SHM is zero.
7.4.A.4.ii Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will change the maximum potential energy of the system and, therefore, the total energy of the system.
Relevant equation for a spring–object system:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Русский
Цель обучения 7.4.A: Описать механическую энергию системы, совершающей ПГД.
7.4.A.1 Полная энергия системы, совершающей ПГД, равна сумме кинетической и потенциальной энергий системы.
Соответствующее уравнение:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Закон сохранения энергии указывает на то, что полная энергия системы, совершающей ПГД, остается постоянной.
7.4.A.3 Кинетическая энергия системы, совершающей ПГД, максимальна, когда потенциальная энергия системы минимальна.
7.4.A.4 Потенциальная энергия системы, совершающей МП, максимальна, когда кинетическая энергия этой системы минимальна.
7.4.A.4.i Минимальная кинетическая энергия системы, совершающей МП, равна нулю.
7.4.A.4.ii Изменение амплитуды системы, совершающей МП, изменит максимальную потенциальную энергию системы и, следовательно, полную энергию системы.
Соответствующее уравнение для системы «пружина–объект»:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
The total energy of the oscillator is the sum $E=U+K$, and with no friction it is constant – energy just trades back and forth between the spring's potential energy and the mass's kinetic energy:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
All potential at the ends (where $K=0$), all kinetic at equilibrium (where $U$ is minimum). Because $E\propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.
Worked example. Where is the energy split evenly? Set $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, so $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – much closer to the end than to the middle. For the system above ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Left alone, a system oscillates at its own natural frequency 固有频率 (set by $k$ and $m$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Drive it with a periodic force at that same frequency and the amplitude grows dramatically – resonance 共振. Each well-timed push adds energy faster than damping removes it, so the driven amplitude peaks sharply when the driving frequency matches $f_0$ (a swing pumped in time, a bridge shaken by wind).
Русский
Полная энергия осциллятора равна сумме $E=U+K$, и при отсутствии трения она постоянна — энергия просто обменивается между потенциальной энергией пружины и кинетической энергией массы:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
Вся энергия сосредоточена на концах (где $K=0$), вся кинетическая энергия — в положении равновесия (где $U$ минимальна). Поскольку $E\propto A^2$, удвоение амплитуды увеличивает энергию в четыре раза.
Кинетическая и потенциальная энергия обмениваются друг с другом в течение одного цикла, при этом полная энергия остается постоянной
Разобранный пример. Где энергия разделена поровну? Положите $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, тогда $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ — гораздо ближе к концу, чем к середине. Для системы выше ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Сам по себе система колеблется со своей собственной частотой (определяемой $k$ и $m$: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Приведите её в действие периодической силой с той же частотой, и амплитуда резко возрастет — это резонанс. Каждое своевременное толчок добавляет энергию быстрее, чем затухание её рассеивает, поэтому вынужденная амплитуда достигает пика, когда вынуждающая частота совпадает с $f_0$ (качели, разгоняемые в ритме, мост, сотрясаемый ветром).
Explore · Исследовать
Trade kinetic and potential energy in SHM · Обмен кинетической и потенциальной энергией при МП
In simple harmonic motion, energy sloshes between kinetic (fastest at the centre) and potential (greatest at the extremes) while the total stays constant. · При простом гармоническом движении энергия колеблется между кинетической (максимальной в центре) и потенциальной (наибольшей на краях), при этом общая энергия остается постоянной.
7.5
Simple and Physical Pendulums · Математический и физический маятники
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 7.5.A: Describe the properties of a physical pendulum.
7.5.A.1 A physical pendulum is a rigid body that undergoes oscillation about a fixed axis.
7.5.A.2 For small amplitudes of motion, the period of a physical pendulum is derived from the application of Newton's second law in rotational form.
7.5.A.3 A simple pendulum is a special case of physical pendulums in which the hanging object can be modeled as a point mass at a distance, $l$, from the pivot point.
7.5.A.4 A torsion pendulum is a case of SHM where the restoring torque is proportional to the angular displacement of a rotating system. For example, a horizontal disk that is suspended from a wire attached to its center of mass may undergo rotational oscillations about the wire in the horizontal plane.
Derived equation:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Русский
Цель обучения 7.5.A: Описывать свойства физического маятника.
7.5.A.1 Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания вокруг фиксированной оси.
7.5.A.2 Для малых амплитуд движения период физического маятника выводится из применения второго закона Ньютона в вращательной форме.
7.5.A.2.i При выводе из положения равновесия сила тяжести, действующая на центр масс физического маятника, создает возвращающий момент.
Выведенное уравнение:$\tau = -mgd\sin\theta$
7.5.A.2.ii Для малых амплитуд движения к возвращающему моменту можно применить приближение малых углов.
Выведенное уравнение:$\sin\theta \approx \theta$
$\tau = -mgd\theta = I\alpha$
7.5.A.2.iii Приближение малых углов и второй закон Ньютона в вращательной форме дают дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее гармонические колебания:
7.5.A.3 Простой маятник — это частный случай физических маятников, в котором подвешенный объект можно моделировать как точечную массу на расстоянии $l$ от точки подвеса.
7.5.A.4 Торсионный маятник — это случай гармонических колебаний, при котором возвращающий момент пропорционален углу поворота вращающейся системы. Например, горизонтальный диск, подвешенный на проводе, прикрепленном к его центру масс, может совершать вращательные колебания вокруг провода в горизонтальной плоскости.
Выведенное уравнение:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Energy conservation: KE ⇄ PE
A physical pendulum 物理摆 is any rigid body swinging about a fixed pivot. Displace it by an angle $\theta$ and gravity, acting at the center of mass a distance $d$ from the pivot, supplies a restoring torque
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
For small angles, apply the small-angle approximation 小角度近似$\sin\theta\approx\theta$ and Newton's second law in rotational form ($\tau=I\alpha$):
This is the same "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" pattern as before – recognising it is the derivation. A simple pendulum 单摆 is the special case of a point mass on a light string: $I=m\ell^2$ and $d=\ell$ give $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
Worked example. A uniform rod (mass $M$, length $L$) swings from one end: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, so
– shorter than a simple pendulum of length $L$, because the rod's mass sits nearer the pivot.
A torsion pendulum 扭摆 – a disk hanging from a wire that twists – is SHM one more time: the wire's restoring torque is proportional to the twist angle, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, giving $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Exam skill. Every pendulum FRQ wants the same three steps: write the restoring torque about the pivot, apply the small-angle approximation, and match the result to $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ to read off $\omega$. State the small-angle step explicitly – it is a scored point, and it is why large-amplitude swings are not simple harmonic.
Русский
Сохранение энергии: KE ⇄ PE
Физический маятник — это любое жесткое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной точки опоры. Отклоните его на угол $\theta$, и гравитация, действующая в центре масс на расстоянии $d$ от точки опоры, создаст возвращающий момент.
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
Для малых углов примените приближение малых углов$\sin\theta\approx\theta$ и второй закон Ньютона в вращательной форме ($\tau=I\alpha$):
Это та же схема «$\ddot\theta=-\omega^2\theta$», что и раньше — узнавание этого паттерна и есть вывод. Математический маятник — это частный случай точечной массы на невесомой нити: $I=m\ell^2$ и $d=\ell$ дают $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
Гравитация, действующая в центре масс, создает возвращающий момент физического маятника
Разобранный пример. Равномерный стержень (масса $M$, длина $L$) качается от одного конца: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, поэтому
— короче, чем математический маятник длины $L$, потому что масса стержня расположена ближе к точке опоры.
Крутильный маятник — диск, подвешенный на проводе, который закручивается, — снова демонстрирует SHM: возвращающий момент провода пропорционален углу закручивания, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, что дает $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Навык для экзамена. Каждая задача FRQ про маятник требует тех же трех шагов: записать возвращающий момент относительно точки опоры, применить приближение малых углов и сравнить результат с $\ddot\theta=-\omega^2\theta$, чтобы считать $\omega$. Явно укажите шаг приближения малых углов — это балл, и именно поэтому колебания с большой амплитудой не являются простыми гармоническими.
Маятник Фуко: длинный тяжелый маятник, медленные качания которого обнажают вращение Земли под ним
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
