Энергия и импульс вращающихся систем

Цель обучения 6.1.A: Описать вращательную кинетическую энергию жесткой системы с точки зрения ее вращательной инерции и угловой скорости.

• 6.1.A.1 Вращательная кинетическая энергия объекта или жесткой системы связана с его вращательной инерцией и угловой скоростью и выражается уравнением $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$.
  • Уравнение: $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
  • 6.1.A.1.i Вращательная инерция объекта относительно фиксированной оси может быть использована для демонстрации того, что вращательная кинетическая энергия этого объекта эквивалентна его поступательной кинетической энергии, которая является его полной кинетической энергией.
  • 6.1.A.1.ii Полная кинетическая энергия жесткой системы равна сумме ее вращательной кинетической энергии, обусловленной вращением вокруг центра масс, и поступательной кинетической энергии, обусловленной линейным движением центра масс.
• 6.1.A.2 Жесткая система может обладать вращательной кинетической энергией, даже если ее центр масс неподвижен, благодаря тому, что отдельные точки внутри жесткой системы имеют линейную скорость, а следовательно, и кинетическую энергию.
• 6.1.A.3 Вращательная кинетическая энергия является скалярной величиной.

Учебная цель 6.2.A: Описать работу, совершенную над жесткой системой заданным моментом силы или совокупностью моментов.

• 6.2.A.1 Момент силы может передавать энергию в объект или жесткую систему и выводить её из них, если этот момент приложен на угловом перемещении.
• 6.2.A.2 Величина работы, совершенной над жесткой системой моментом силы, связана с величиной этого момента и угловым перемещением, на которое повернулась жесткая система в течение интервала времени действия этого момента.
  • Уравнение: $W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$
• 6.2.A.3 Работа, совершенная над жесткой системой заданным моментом силы, может быть найдена как площадь под кривой графика зависимости момента силы от углового положения.

Учебная цель 6.3.A: Описать момент импульса объекта или жесткой системы.

• 6.3.A.1 Величину момента импульса жесткой системы относительно определенной оси можно описать уравнением $L = I\omega$.
  • Уравнение: $L = I\omega$
• 6.3.A.2 Момент импульса тела относительно данной точки равен $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
  • Уравнение: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
  • 6.3.A.2.i Выбор оси, вокруг которой считается вращающимся объект, влияет на определение его момента импульса.
  • 6.3.A.2.ii Измеренный момент импульса объекта, движущегося по прямой, зависит от расстояния между опорной точкой и объектом, массы объекта, скорости объекта и угла между радиус-вектором и скоростью объекта.

Учебная цель 6.3.B: Описать угловой импульс, переданный объекту или жесткой системе моментом силы.

• 6.3.B.1 Угловой импульс определяется как произведение момента силы, приложенного к объекту или жесткой системе, и интервала времени, в течение которого этот момент действует.
  • Уравнение: $\text{angular impulse} = \displaystyle\int \tau \, dt$
• 6.3.B.2 Импульс момента силы имеет то же направление, что и передаваемый им момент силы.
• 6.3.B.3 Угловой импульс, переданный объекту или жесткой системе моментом силы, может быть найден как площадь под кривой графика зависимости момента силы от времени.

Учебная цель 6.3.C: Связать изменение момента импульса объекта или жесткой системы с угловым импульсом, переданным этому объекту или системе.

• 6.3.C.1 Модуль изменения момента импульса можно описать, сравнив модули конечного и начального импульсов тела или жесткой системы.
  • Уравнение: $\Delta L = L - L_0$
• 6.3.C.2 Вращательная форма теоремы об импульсе и импульсе движения связывает угловой импульс, переданный объекту или жесткой системе, и изменение её момента импульса.
  • 6.3.C.2.i Угловой импульс, действующий на объект или жесткую систему, равен изменению момента импульса этой системы.
    • Уравнение: $\Delta L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \tau \, dt$
  • 6.3.C.2.ii Вращательная форма теоремы об импульсе и моменте является прямым следствием второго закона Ньютона для случаев, когда момент инерции постоянен.
    • Уравнение: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{dL}{dt} = I\dfrac{d\omega}{dt} = I\alpha$
• 6.3.C.3 Равнодействующий момент силы, действующий на тело или жесткую систему, равен наклону графика зависимости момента импульса тела от времени.
• 6.3.C.4 Импульс момента силы, переданный телу или жесткой системе, равен площади под кривой графика зависимости равнодействующей внешней силы, действующей на тело, от времени.

Учебная цель 6.4.A: Описать поведение системы с использованием закона сохранения момента импульса.

• 6.4.A.1 Полный момент импульса системы относительно оси вращения равен сумме моментов импульса составляющих элементов этой системы относительно данной оси вращения.
• 6.4.A.2 Любое изменение момента импульса системы должно быть вызвано взаимодействием системы с окружающей средой.
  • 6.4.A.2.i Угловой импульс, оказываемый одним объектом или системой на второй объект или систему, равен по величине и противоположен по направлению угловому импульсу, оказываемому вторым объектом или системой на первый. Это прямое следствие третьего закона Ньютона.
  • 6.4.A.2.ii Можно выбрать такую систему, полный момент импульса которой будет постоянным.
  • 6.4.A.2.iii Угловая скорость нереальной системы может изменяться без изменения углового момента системы, если система меняет форму, перемещая массу ближе к или дальше от оси вращения.
  • 6.4.A.2.iv Если полный момент импульса системы изменяется, это изменение будет эквивалентно угловому импульсу, переданному системе.

Учебная цель 6.4.B: Описать, как выбор системы определяет, изменяется ли момент импульса этой системы.

• 6.4.B.1 Момент импульса сохраняется во всех взаимодействиях.
• 6.4.B.2 Если равнодействующий внешний момент силы, действующий на выбранный объект или жесткую систему, равен нулю, полный момент импульса этой системы постоянен.
• 6.4.B.3 Если равнодействующий внешний момент силы, действующий на выбранный объект или жесткую систему, отличен от нуля, происходит обмен моментом импульса между системой и окружающей средой.

Учебная цель 6.5.A: Описать кинетическую энергию системы, совершающей поступательное и вращательное движение.

• 6.5.A.1 Полная кинетическая энергия системы равна сумме поступательной и вращательной кинетических энергий системы.
  • Уравнение: $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Учебная цель 6.5.B: Описать движение системы, которая катится без проскальзывания.

• 6.5.B.1 При качении без скольжения поступательное движение центра масс системы связано с вращательным движением самой системы следующими уравнениями:
  • Уравнение: $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
  • Уравнение: $v_{\text{cm}} = r\omega$
  • Уравнение: $a_{\text{cm}} = r\alpha$
• 6.5.B.2 Для идеальных случаев качение без проскальзывания означает, что сила трения не рассеивает энергию катящейся системы.

Цель обучения 6.5.C: Описать движение системы, которая катится с проскальзыванием.

• 6.5.C.1 При проскальзывании движение центра масс системы и вращательное движение системы нельзя связать напрямую.
• 6.5.C.2 Когда вращающаяся система проскальзывает относительно другой поверхности, точка приложения силы трения скольжения, действующей на систему, перемещается относительно этой поверхности, поэтому сила трения скольжения будет рассеивать энергию из системы.

Граничное утверждение: Трение качения выходит за рамки программы AP Physics C: Mechanics.

Цель обучения 6.6.A: Описывать движения системы, состоящей из двух объектов или систем, взаимодействующих только посредством гравитационных сил.

• 6.6.A.1 В системе, состоящей только из массивного центрального объекта и орбитирующего спутника, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой центрального объекта, движение самого центрального объекта является пренебрежимо малым.
• 6.6.A.2 Движение спутников на орбитах ограничено законами сохранения.
  • 6.6.A.2.i В круговых орбитах полная механическая энергия системы, гравитационный потенциальный энергия системы, а также момент импульса и кинетическая энергия спутника остаются постоянными.
  • 6.6.A.2.ii В эллиптических орбитах полная механическая энергия системы и момент импульса спутника остаются постоянными, но гравитационный потенциальный энергия системы и кинетическая энергия спутника могут изменяться.
  • 6.6.A.2.iii Гравитационный потенциальный энергия системы, состоящей из спутника и массивного центрального объекта, принимается равной нулю, когда спутник находится на бесконечном расстоянии от центрального объекта.
    • Уравнение: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
• 6.6.A.3 Полная энергия системы, состоящей из спутника, движущегося по круговой орбите вокруг центрального тела, может быть выражена через потенциальную энергию гравитационного взаимодействия этой системы или кинетическую энергию спутника.
  • Уравнение: $K = -\dfrac{1}{2}U$
  • Уравнение: $E_{total} = \dfrac{1}{2}U = -\dfrac{GMm}{2r}$
• 6.6.A.4 Скорость убегания спутника — это скорость спутника, при которой механическая энергия системы «спутник–центральное тело» равна нулю.
  • 6.6.A.4.i Когда на спутник действует только сила тяжести со стороны центрального тела, спутник, достигший скорости убегания, будет удаляться от центрального тела до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю на бесконечном удалении от него.
  • 6.6.A.4.ii Скорость убегания спутника от центрального тела массой $M$ может быть выведена с использованием законов сохранения энергии.
    • Уравнение: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$