Момент силы и вращательная динамика

Цель обучения 5.1.A: Описать вращение системы по отношению ко времени с использованием углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения.

• 5.1.A.1 Угловое перемещение — это величина угла (в радианах), на который поворачивается точка на жесткой системе вокруг заданной оси.
  • Уравнение: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
  • 5.1.A.1.i Жесткая система — это та, которая сохраняет свою форму, но при вращении различные точки которой движутся в разных направлениях. Жесткую систему нельзя моделировать как отдельный объект.
  • 5.1.A.1.ii Одно направление углового перемещения вокруг оси вращения — по часовой стрелке или против — обычно принимается математически положительным, а другое направление становится математически отрицательным.
  • 5.1.A.1.iii Если вращение системы вокруг оси можно хорошо описать с помощью движения центра масс системы, то систему можно рассматривать как единый объект. Например, вращение Земли вокруг своей оси можно считать пренебрежимо малым при рассмотрении обращения Земли вокруг центра масс системы Земля–Солнце.
• 5.1.A.2 Угловая скорость — это скорость изменения углового положения по времени.
  • Уравнение: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
• 5.1.A.3 Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости по времени.
  • Уравнение: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
• 5.1.A.4 Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение вокруг одной оси аналогичны линейному перемещению, скорости и ускорению в одном измерении и демонстрируют те же математические соотношения.
  • 5.1.A.4.i Для постоянного углового ускорения математические соотношения между угловым перемещением, угловой скоростью и угловым ускорением могут быть описаны следующими уравнениями:
    • $\omega = \omega_0 + \alpha t$
    • $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
    • $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
  • 5.1.A.4.ii Графики углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения как функций времени могут использоваться для нахождения взаимосвязей между этими величинами.

Граничное условие: AP Physics C: Механика ожидает, что студенты смогут математически манипулировать модулями углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения, используя векторные конвенции. Однако направления этих векторов не будут проверяться на экзамене.

Описания направлений кинематических величин вращения для точки или твердого тела ограничиваются顺时针 (по часовой стрелке) и против часовой стрелки относительно данной оси вращения.

Цель обучения 5.2.A: Описать линейное движение точки на вращающейся жесткой системе, соответствующее вращательному движению этой точки, и наоборот.

• 5.2.A.1 Для точки на расстоянии $r$ от неподвижной оси вращения линейное расстояние $s$, пройденное точкой при вращении системы на угол $\Delta\theta$, определяется уравнением $\Delta s = r\Delta\theta$.
• 5.2.A.2 Выведенные соотношения линейной скорости и тангенциальной составляющей ускорения к их соответствующим угловым величинам задаются следующими уравнениями:
  • $s = r\theta$
  • $v = r\omega$
  • $a_T = r\alpha$
• 5.2.A.3 Для жесткой системы все точки внутри нее имеют одинаковую угловую скорость и угловое ускорение.

Граничное условие: AP Physics C: Механика ожидает, что студенты смогут математически манипулировать модулями углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения, используя векторные конвенции. Однако направления векторов не будут проверяться на экзамене.

Описания направлений кинематических величин вращения для точки или твердого тела ограничиваются顺时针 (по часовой стрелке) и против часовой стрелки относительно данной оси вращения.

Цель обучения 5.3.A: Определить моменты сил, действующие на жесткую систему.

• 5.3.A.1 Момент силы возникает только вследствие компоненты силы, перпендикулярной вектору положения от оси вращения до точки приложения силы.
• 5.3.A.2 Плечо силы — это перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия приложенной силы.

Цель обучения 5.3.B: Описать моменты сил, действующие на жесткую систему.

• 5.3.B.1 Моменты сил можно описывать с помощью диаграмм сил.
  • 5.3.B.1.i Диаграммы сил похожи на диаграммы свободного тела и используются для анализа моментов сил, действующих на жесткую систему.
  • 5.3.B.1.ii Как и диаграммы свободного тела, диаграммы сил отображают относительную величину и направление сил, действующих на жесткую систему. Диаграммы сил также показывают точки приложения этих сил относительно оси вращения.
• 5.3.B.2 Момент силы, действующий на жесткую систему относительно выбранной точки опоры заданной силой, описывается формулой $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
  • 5.3.B.2.i Векторное произведение двух векторов, $\vec{A}$ и $\vec{B}$, дает векторную величину модуля $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$.
  • 5.3.B.2.ii Направление вектора, полученного из векторного произведения векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$, перпендикулярно обоим векторам $\vec{A}$ и $\vec{B}$ и, следовательно, нормально плоскости, определенной векторами $\vec{A}$ и $\vec{B}$.
  • 5.3.B.2.iii Направление вектора, полученного из векторного произведения векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$, можно определитьQualitatively, применив соответствующее правило правой руки.

Цель обучения 5.4.A: Описать вращательную инерцию жесткой системы относительно заданной оси вращения.

• 5.4.A.1 Вращательная инерция характеризует сопротивление жесткой системы изменению состояния вращения и связана с массой системы и распределением этой массы относительно оси вращения.
• 5.4.A.2 Момент инерции тела, вращающегося на перпендикулярном расстоянии $r$ от оси, описывается уравнением $I = mr^2$.
• 5.4.A.3 Полный момент инерции совокупности тел относительно оси равен сумме моментов инерции каждого тела относительно этой оси.
  • Уравнение: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
• 5.4.A.4 Для твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность дифференциальных масс, $dm$, момент инерции тела может быть рассчитан с использованием уравнения $I = \int r^2\, dm$, где $r$ — перпендикулярное расстояние от $dm$ до оси вращения.

Цель обучения 5.4.B: Описать вращательную инерцию жесткой системы, вращающейся вокруг оси, не проходящей через центр масс системы.

• 5.4.B.1 Вращательная инерция жесткой системы в данной плоскости минимальна, когда ось вращения проходит через центр масс системы.
• 5.4.B.2 Теорема о параллельных осях использует следующее уравнение для связи вращательной инерции жесткой системы относительно любой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс:
  • Уравнение: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Граничное условие: AP Physics C: Механика требует от студентов использования исчислений при выводе формул момента инерции тонких стержней с равномерной или неравномерной плотностью относительно произвольной оси, перпендикулярной стержню, а также выводе момента инерции тонкой цилиндрической оболочки, диска или твердых тел, которые можно считать состоящими из коаксиальных колец или оболочек относительно оси, проходящей через их центры (например, кольцевых дисков).

Студенты должны иметь качественное понимание факторов, влияющих на момент инерции; например, как момент инерции увеличивается, когда масса находится дальше от оси вращения, поэтому кольцо имеет больший момент инерции, чем сплошной диск той же массы и радиуса.

Цель обучения 5.5.A: Описать условия, при которых угловая скорость системы остается постоянной.

• 5.5.A.1 Система может находиться во вращательном равновесии (постоянная угловая скорость) без нахождения в поступательном равновесии, и наоборот.
  • 5.5.A.1.i Диаграммы свободного тела и диаграммы сил описывают характер сил и моментов, действующих на объект или жесткую систему.
  • 5.5.A.1.ii Вращательное равновесие представляет собой состояние моментов, при котором результирующий момент, действующий на систему, равен нулю.
    • Уравнение: $\sum \tau_i = 0$
  • 5.5.A.1.iii Вращательный аналог первого закона Ньютона гласит, что система будет иметь постоянную угловую скорость только тогда, когда результирующий момент, действующий на нее, равен нулю.
• 5.5.A.2 Вращательный следствие второго закона Ньютона гласит, что если моменты сил, действующие на жесткую систему, не скомпенсированы, угловая скорость системы должна изменяться.

Граничное условие: AP Physics C: Механика не ожидает, что студенты будут одновременно анализировать вращение в нескольких плоскостях.

Цель обучения 5.6.A: Описать условия, при которых угловая скорость системы изменяется.

• 5.6.A.1 Угловая скорость изменяется, когда результирующий момент, действующий на объект или систему, не равен нулю.
• 5.6.A.2 Скорость изменения угловой скорости жесткой системы прямо пропорциональна результирующему моменту, действующему на жесткую систему, и направлена в ту же сторону. Угловое ускорение жесткой системы обратно пропорционально ее вращательной инерции.
  • Уравнение: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
• 5.6.A.3 Для полного описания вращающейся жесткой системы могут потребоваться независимые линейный и вращательный анализы.