Системы и центр масс
| English | Русский |
|---|---|
| center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | центр масс |
| system/ˈsɪstəm/ | система |
| internal forces/ɪnˈtɜːnl ˈfɔːsɪz/ | внутренние силы |
| external forces/ekˈstɜːnl ˈfɔːsɪz/ | внешние силы |
| point particle/pɔɪnt ˈpɑːtɪkl/ | материальная точка |
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | интеграла |
| net external force/net ekˈstɜːnl fɔːs/ | результирующая внешняя сила |
Бросьте вращающийся гаечный ключ
- Бросьте гаечный ключ через комнату, и он будет беспорядочно кувыркаться — однако одна единственная точка опишет плавную, простую дугу.
- Эта особая точка называется центром масс.
- Неважно, как вращается или покачивается объект, его центр масс движется так, словно вся масса сосредоточена в этой одной точке.
- Найдите его, и сложная задача о вращении превратится в простую задачу о точечной массе.
Рассматривайте систему как одну точку
- Система — это любая группа объектов, которую мы решили изучать вместе.
- Силы внутри системы называются внутренними силами; силы снаружи — внешними силами.
- Вся система движется так, будто она является единым точечным частицей, расположенным в её центре масс.
Выберите все верные утверждения о центре масс.
Первые два — основные правила. Третье неверно — это массово-взвешенный центр, а не середина формы.
Центр масс дискретных масс
- Для отдельных точечных масс на прямой центр масс — это взвешенное по массе среднее положение:
- Тяжелые массы притягивают центр масс к себе.
Масса $1\ \text{kg}$ находится в точке $x = 0$, а масса $3\ \text{kg}$ — в точке $x = 4\ \text{m}$. Где находится центр масс (в м)?
$x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ находится ближе к большей массе.
Переместите одну массу дальше от остальных. Центр масс...
Массово-взвешенное среднее следует за массой — перемещение массы наружу тянет $x_{cm}$ к ней.
Массы $2\ \text{kg}$ находятся в $x=0$, $2\ \text{kg}$ в $x=2$, и $4\ \text{kg}$ в $x=5$. Найдите $x_{cm}$ (в м).
$x_{cm} = \dfrac{2(0)+2(2)+4(5)}{2+2+4} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{m}$.
Центр масс через интегрирование
- Для непрерывного тела замените сумму интегралом по его массе:
- Разбейте тело на крошечные фрагменты $dm$, взвесьте каждый по положению и сложите их.
Центр масс системы
Нажмите на части, чтобы увидеть, где расположен центр масс двухтеловой системы.
Для непрерывного тела сумма в формуле центра масс становится ____.
$x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ — интеграл по распределению массы.
Только внешние силы заставляют его двигаться
- Центр масс ускоряется только под действием равнодействующей внешней силы.
- Внутренние силы, какими бы мощными они ни были, никогда не могут сместить центр масс.
- Именно поэтому центр масс перевертывающегося гаечного ключа следует такой же плавной траектории, как и простой брошенный мяч.
Скрытый взрыв внутри плавающей системы (без внешних сил) может сместить её центр масс.
Силы взрыва являются внутренними, поэтому они не могут сместить центр масс. Это может сделать только результирующая внешняя сила.
Масса $2\ \text{kg}$ находится в позиции $x = 0$, а масса $4\ \text{kg}$ — в позиции $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- Центр масс расположен ближе к более тяжелой массе $4\ \text{kg}$, как и следовало ожидать.
Центр масс не всегда совпадает с геометрическим центром. Для однородного стержня он находится посередине, но если нагрузить один конец, центр масс сместится к тяжелому концу — это взвешенное по массе среднее, а не середина формы.
Центр масс — это взвешенное по массе среднее положение: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (или $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ для непрерывного тела). Вся система движется так, будто вся её масса находится в этой точке, и только равнодействующая внешняя сила может придать ей ускорение.