Автомобиль останавливается в аварию. С подушкой безопасности водитель уходит целым. Без неё — нет. В обоих случаях изменение импульса абсолютно одинаково — от полного…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
4.1
Linear Momentum · Линейный импульс
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 4.1.A: Describe the linear momentum of an object or system.
4.1.A.1 Linear momentum is defined by the equation $\vec{p} = m\vec{v}$.
4.1.A.2 Momentum is a vector quantity and has the same direction as the velocity.
4.1.A.3 Momentum can be used to analyze collisions and explosions.
4.1.A.3.i A collision is a model for an interaction where the forces exerted between the involved objects in the system are much larger than the net external force exerted on those objects during the interaction.
4.1.A.3.ii As only the initial and final states of a collision are analyzed, the object model may be used to analyze collisions.
4.1.A.3.iii An explosion is a model for an interaction in which forces internal to the system move objects within that system apart.
Русский
Цель обучения 4.1.A: Описать линейный импульс объекта или системы.
4.1.A.1 Линейный импульс определяется уравнением $\vec{p} = m\vec{v}$.
4.1.A.2 Импульс является векторной величиной и направлен туда же, куда и скорость.
4.1.A.3 Импульс можно использовать для анализа столкновений и взрывов.
4.1.A.3.i Столкновение — это модель взаимодействия, при котором силы, действующие между вовлеченными объектами системы, значительно больше результирующей внешней силы, действующей на эти объекты во время взаимодействия.
4.1.A.3.ii Поскольку анализируются только начальное и конечное состояния столкновения, для их анализа может использоваться модель точечного объекта.
4.1.A.3.iii Взрыв — это модель взаимодействия, при котором внутренние силы системы раздвигают объекты внутри этой системы.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Linear momentum 动量 is mass times velocity:
$$\vec{p}=m\vec{v}.$$
It is a vector 矢量 pointing along the velocity, and it is the quantity for analysing collisions 碰撞 and explosions 爆炸. A collection of objects can be treated as one system moving with the velocity of its center of mass 质心:
so the system's total momentum is its total mass times $\vec{v}_{\text{cm}}$ – one object's worth of bookkeeping for any number of parts.
Русский
Линейный импульс равен массе, умноженной на скорость:
$$\vec{p}=m\vec{v}.$$
Это вектор, направленный вдоль скорости, и он является основной величиной для анализа столкновений и взрывов. Совокупность тел можно рассматривать как одну систему, движущуюся со скоростью её центра масс:
поэтому полный импульс системы равен её общей массе, умноженной на $\vec{v}_{\text{cm}}$ — одна строка бухгалтерского учёта для любого количества частей.
4.2
Change in Momentum and Impulse · Изменение импульса и импульс силы
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 4.2.A: Describe the impulse delivered to an object or system.
4.2.A.1 The rate of change of a system's momentum is equal to the net external force exerted on that system.
4.2.A.3 Impulse is a vector quantity and has the same direction as the net force exerted on the system.
4.2.A.4 The impulse delivered to a system by a net external force is equal to the area under the curve of a graph of the net external force exerted on the system as a function of time.
4.2.A.5 The net external force exerted on a system is equal to the slope of a graph of the momentum of the system as a function of time.
Learning Objective 4.2.B: Describe the relationship between the impulse exerted on an object or system and the change in momentum of the object or system.
4.2.B.1 Change in momentum is the difference between a system's final momentum and its initial momentum.
Equation:$\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 The impulse–momentum theorem relates the impulse delivered to an object and the object's change in momentum.
4.2.B.2.i The impulse exerted on an object is equal to the object's change in momentum.
4.2.B.2.iii The impulse–momentum theorem also describes the behavior of a system in which the velocity is constant but the mass changes with respect to time.
4.2.A.3 Импульс силы является векторной величиной и направлен туда же, куда и результирующая сила, действующая на систему.
4.2.A.4 Импульс силы, переданный системе результирующей внешней силой, равен площади под кривой графика зависимости результирующей внешней силы, действующей на систему, от времени.
4.2.A.5 Результирующая внешняя сила, действующая на систему, равна наклону графика зависимости импульса системы от времени.
Цель обучения 4.2.B: Описать связь между импульсом силы, действующим на тело или систему, и изменением импульса этого тела или системы.
4.2.B.1 Изменение импульса — это разница между конечным импульсом системы и ее начальным импульсом.
Уравнение:$\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 Теорема об импульсе и моменте связывает импульс силы, переданный телу, и изменение его импульса.
4.2.B.2.i Импульс силы, действующий на тело, равен изменению импульса этого тела.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Newton's second law is really a statement about momentum:
$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$
which reduces to $m\vec{a}$ when the mass is constant – and handles a changing mass when it is not (the special case $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ holds only when the velocity is constant, e.g. a chain piling onto a scale or sand landing on a belt moving at fixed speed; a rocket does not fit, since it accelerates). The impulse 冲量 delivered by a force is its time integral, and the impulse–momentum theorem 冲量-动量定理 says it equals the change in momentum:
Impulse is a vector along the net force. Read it off graphs both ways:
On a force–time graph, impulse is the area under the curve.
On a momentum–time graph, the net force is the slope 斜率 at each instant.
Spreading the same $\Delta p$ over a longer time lowers the force – that is why airbags, crumple zones, and soft landings work, and why you bend your knees when you land.
Worked example. A time-varying force $F(t)=10t\ \text{N}$ acts on a $2.0\ \text{kg}$ object for $2.0\ \text{s}$. The impulse is $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, so the speed changes by $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$.
Русский
Второй закон Ньютона на самом деле является утверждением об импульсе:
$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$
который упрощается до $m\vec{a}$ при постоянной массе – и обрабатывает изменяющуюся массу, если она такова (частный случай $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ справедлив только при постоянной скорости, например, цепь, сваливающаяся на весы, или песок, падающий на ленту, движущуюся с постоянной скоростью; ракета сюда не подходит, так как она ускоряется). Импульс силы — это её интеграл по времени, а теорема об импульсе и импульсе движения гласит, что он равен изменению импульса:
Импульс — это вектор вдоль равнодействующей силы. Считывайте его с графиков двумя способами:
На графике силы–времени импульс равен площади под кривой.
На графике импульса–времени равнодействующая сила равна наклону в каждый момент.
Импульс силы — это площадь под кривой зависимости силы от времени, равная среднему значению силы, умноженному на время контакта
Растягивание одного и того же $\Delta p$ на более длительный срок снижает силу – именно поэтому работают подушки безопасности, зоны деформации и мягкие посадки, а также почему мы сгибаем колени при приземлении.
Разобранный пример. Переменная по времени сила $F(t)=10t\ \text{N}$ действует на объект массой $2.0\ \text{kg}$ в течение $2.0\ \text{s}$. Импульс составляет $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, поэтому скорость изменяется на $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$.
4.3.A.1.ii The velocity of a system's center of mass is constant in the absence of a net external force.
4.3.A.2 The total momentum of a system is the sum of the momenta of the system's constituent parts.
4.3.A.3 In the absence of net external forces, any change to the momentum of an object within a system must be balanced by an equivalent and opposite change of momentum elsewhere within the system. Any change to the momentum of a system is due to a transfer of momentum between the system and its surroundings.
4.3.A.3.i The impulse exerted by one object on a second object is equal and opposite to the impulse exerted by the second object on the first. This is a direct result of Newton's third law.
4.3.A.3.ii A system may be selected so that the total momentum of that system is constant.
4.3.A.3.iii If the total momentum of a system changes, that change will be equivalent to the impulse exerted on the system.
Equation:$\vec{J} = \Delta\vec{p}$
4.3.A.4 Correct application of conservation of momentum can be used to determine the velocity of a system immediately before and immediately after collisions or explosions.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to quantitatively analyze collisions and interactions in one or two dimensions. Three-dimensional collisions may be analyzed qualitatively.
Learning Objective 4.3.B: Describe how the selection of a system determines whether the momentum of that system changes.
4.3.B.1 Momentum is conserved in all interactions.
4.3.B.2 If the net external force on the selected system is zero, the total momentum of the system is constant.
4.3.B.3 If the net external force on the selected system is nonzero, momentum is transferred between the system and the environment.
Русский
Цель обучения 4.3.A: Описать поведение системы, используя закон сохранения линейного импульса.
4.3.A.1 Совоность объектов с индивидуальными импульсами можно описать как одну систему с одной скоростью центра масс.
4.3.A.1.i Для совокупности объектов скорость центра масс системы можно вычислить, используя следующее уравнение
4.3.A.1.ii Скорость центра массы системы постоянна при отсутствии результирующей внешней силы.
4.3.A.2 Полный импульс системы равен сумме импульсов составляющих систему частей.
4.3.A.3 При отсутствии результирующих внешних сил любое изменение импульса объекта внутри системы должно компенсироваться эквивалентным и противоположным изменением импульса в другом месте системы. Любое изменение импульса системы обусловлено передачей импульса между системой и окружающей средой.
4.3.A.3.i Импульс силы, оказываемый одним объектом на второй, равен по модулю и противоположен по направлению импульсу силы, оказываемому вторым объектом на первый. Это прямое следствие третьего закона Ньютона.
4.3.A.3.ii Система может быть выбрана таким образом, чтобы полный импульс этой системы оставался постоянным.
4.3.A.3.iii Если полный импульс системы изменяется, это изменение эквивалентно импульсу силы, действующему на систему.
Уравнение:$\vec{J} = \Delta\vec{p}$
4.3.A.4 Правильное применение закона сохранения импульса позволяет определить скорость системы непосредственно до и непосредственно после столкновений или взрывов.
Граничное условие: AP Physics C: Механика требует от студентов только количественного анализа столкновений и взаимодействий в одном или двух измерениях. Трехмерные столкновения могут рассматриваться качественно.
Цель обучения 4.3.B: Описать, как выбор системы определяет, изменяется ли импульс этой системы.
4.3.B.1 Импульс сохраняется во всех взаимодействиях.
4.3.B.2 Если результирующая внешняя сила, действующая на выбранную систему, равна нулю, полный импульс системы остается постоянным.
4.3.B.3 Если результирующая внешняя сила, действующая на выбранную систему, не равна нулю, происходит перенос импульса между системой и окружающей средой.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Internal forces come in Newton's-third-law pairs, so they cancel inside any system: they can shuffle momentum between parts but never change the total. Momentum only enters or leaves a system through a net external force ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). So, with zero net external force, total momentum is conserved 守恒:
Momentum is conserved in every collision, however violent – choose the system large enough that the collision forces are internal. Apply conservation separately along each axis; AP asks for quantitative work in one or two dimensions.
Worked example (explosion). A $6.0\ \text{kg}$ shell at rest splits into a $2.0\ \text{kg}$ piece moving at $9.0\ \text{m/s}$ east and a $4.0\ \text{kg}$ piece. Total momentum stays zero, so the heavy piece moves west at $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. The kinetic energy came from stored (chemical or spring) energy – momentum conservation does not require kinetic-energy conservation.
Русский
Внутренние силы образуют пары по третьему закону Ньютона, поэтому они компенсируют друг друга внутри любой системы: они могут перераспределять импульс между частями, но никогда не изменят общий. Импульс входит в систему или выходит из неё только через результирующую внешнюю силу ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). Таким образом, при нулевой результирующей внешней силе полный импульс сохраняется:
Импульс сохраняется в любом столкновении, каким бы жестким оно ни было – выбирайте систему достаточно большой, чтобы силы столкновения были внутренними. Применяйте сохранение отдельно по каждой оси; AP требует количественных расчетов в одном или двух измерениях.
Удар в лоб: суммарный импульс до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения
Разобранный пример (взрыв). Оболочка массой $6.0\ \text{kg}$, покоящаяся, распадается на кусок массой $2.0\ \text{kg}$, движущийся со скоростью $9.0\ \text{m/s}$ на восток, и кусок массой $4.0\ \text{kg}$. Полный импульс остается равным нулю, поэтому тяжелый кусок движется на запад со скоростью $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. Кинетическая энергия поступила из запасенной (химической или пружинной) энергии — закон сохранения импульса не требует сохранения кинетической энергии.
Explore · Исследовать
Collide two carts and conserve momentum · Столкните две тележки и сохраните импульс
In any collision the total momentum$\sum mv$ before equals the total after. Set the masses and speeds and check the momentum bookkeeping. · При любом столкновении полный импульс$\sum mv$ до него равен полному импульсу после. Задайте массы и скорости и проверьте баланс импульсов.
4.4
Elastic and Inelastic Collisions · Упругие и неупругие столкновения
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 4.4.A: Describe whether an interaction between objects is elastic or inelastic.
4.4.A.1 An elastic collision between objects is one in which the initial kinetic energy of the system is equal to the final kinetic energy of the system.
4.4.A.2 In an elastic collision, the final kinetic energies of each of the objects within the system may be different from their initial kinetic energies.
4.4.A.3 An inelastic collision between objects is one in which the total kinetic energy of the system decreases.
4.4.A.4 In an inelastic collision, some of the initial kinetic energy is not restored to kinetic energy but is transformed by nonconservative forces into other forms of energy.
4.4.A.5 In a perfectly inelastic collision, the objects stick together and move with the same velocity after the collision.
Русский
Цель обучения 4.4.A: Описать, является ли взаимодействие между объектами упругим или неупругим.
4.4.A.1 Упругое столкновение между объектами — это такое, при котором начальная кинетическая энергия системы равна конечной кинетической энергии системы.
4.4.A.2 При упругом столкновении конечные кинетические энергии каждого из объектов внутри системы могут отличаться от их начальных кинетических энергий.
4.4.A.3 Неупругое столкновение между объектами — это такое, при котором полная кинетическая энергия системы уменьшается.
4.4.A.4 При неупругом столкновении часть начальной кинетической энергии не восстанавливается в виде кинетической энергии, а преобразуется неконсервативными силами в другие формы энергии.
4.4.A.5 При абсолютно неупругом столкновении объекты слипаются и движутся с одинаковой скоростью после столкновения.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Conservation of momentum in a collision
All collisions conserve momentum; they differ in what happens to the kinetic energy 动能:
type
momentum
kinetic energy
elastic collision 弹性碰撞
conserved
total conserved (individual shares may change)
inelastic collision 非弹性碰撞
conserved
decreases – some becomes heat, sound, deformation 形变
perfectly inelastic collision 完全非弹性碰撞
conserved
largest possible loss – the objects stick and share one velocity
Strategy: always write momentum conservation first; add the kinetic-energy equation only when the problem says "elastic". Two useful elastic facts: equal masses in a 1D elastic collision simply exchange velocities, and in the center-of-mass frame each object just reverses its velocity.
Worked example. A $1000\ \text{kg}$ car at $20\ \text{m/s}$ strikes a stationary $1500\ \text{kg}$ car and they lock together – perfectly inelastic. Momentum: $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. Kinetic energy falls from $2.0\times10^5\ \text{J}$ to $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$: about $60\%$ is lost, even though momentum is exactly conserved.
Worked example (2D). A puck moving east at $4.0\ \text{m/s}$ strikes an identical puck at rest; after the glancing hit, one moves at $2.0\ \text{m/s}$ at $60^\circ$ north of east. Conserve each axis: east–west, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, so $v_x=3.0\ \text{m/s}$; north–south, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, so $v_y=1.7\ \text{m/s}$. The second puck moves at $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, about $30^\circ$ south of east.
Exam skill. On FRQs, justify with the condition, not the slogan: "the net external force on the two-puck system is zero during the collision, so its total momentum is constant." If asked whether the collision is elastic, compute the kinetic energy before and after and compare – never assume.
Русский
Сохранение импульса при столкновении
Все столкновения сохраняют импульс; они различаются тем, что происходит с кинетической энергией:
тип
импульс
кинетическая энергия
упругое столкновение
сохраняется
полная сохраняется (индивидуальные доли могут меняться)
неупругое столкновение
сохраняется
уменьшается – часть переходит в тепло, звук, деформацию
абсолютно неупругое столкновение
сохраняется
максимально возможная потеря – объекты слипаются и движутся с одной скоростью
Стратегия: всегда сначала записывайте закон сохранения импульса; добавляйте уравнение кинетической энергии только тогда, когда в задаче сказано «упругое». Два полезных факта об упругих столкновениях: при столкновении тел одинаковой массы в 1D они просто меняются скоростями, а в системе отсчета центра масс каждый объект просто меняет направление своей скорости.
Разобранный пример. Автомобиль массой $1000\ \text{kg}$ со скоростью $20\ \text{m/s}$ врезается в неподвижный автомобиль массой $1500\ \text{kg}$, и они сцепляются – абсолютно неупругое. Импульс: $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. Кинетическая энергия падает с $2.0\times10^5\ \text{J}$ до $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$: около $60\%$ теряется, хотя импульс сохраняется полностью.
Разобранный пример (2D). Шайба, движущаяся на восток со скоростью $4.0\ \text{m/s}$, ударяет идентичную шайбу в покое; после скользящего удара одна движется со скоростью $2.0\ \text{m/s}$ под углом $60^\circ$ к северу от востока. Сохраняем каждую ось: восток–запад, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, значит $v_x=3.0\ \text{m/s}$; север–юг, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, значит $v_y=1.7\ \text{m/s}$. Вторая шайба движется со скоростью $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, примерно под углом $30^\circ$ к югу от востока.
Удар в упругом столкновении, разложенный вдоль двух перпендикулярных осей
Навык для экзамена. В вопросах с развернутым ответом (FRQ) обосновывайте через условие, а не через лозунг: «суммарная внешняя сила, действующая на систему из двух шайб, равна нулю во время столкновения, поэтому их полный импульс сохраняется». Если спрашивают, является ли столкновение упругим, вычислите кинетическую энергию до и после и сравните – никогда не делайте предположений без расчетов.
Коробка Ньютона демонстрирует передачу импульса и кинетической энергии при почти упругом столкновении
Explore · Исследовать
Compare elastic and inelastic collisions · Сравните упругие и неупругие столкновения
Momentum is always conserved, but kinetic energy is only conserved in an elastic collision. In an inelastic one the carts stick and some energy becomes heat. · Импульс сохраняется всегда, но кинетическая энергия сохраняется только при упругом столкновении. При неупругом столкновении тележки слипаются, и часть энергии переходит в тепло.
4.4
Exam tips · Советы для экзамена
English
Impulse equals the momentum change: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, and it is the area under a force–time graph.
Momentum is conserved whenever the net external force is zero — always the go-to for collisions.
Distinguish elastic (kinetic energy conserved) from inelastic (kinetic energy decreases) collisions; in a perfectly inelastic collision the objects stick and move with one velocity.
Apply conservation to each component (x and y) separately in 2-D.
Connect to center of mass: total momentum $=M\vec v_{cm}$.
Русский
Импульс силы равен изменению импульса: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, и он представляет собой площадь под графиком зависимости силы от времени.
Импульс сохраняется всегда, когда суммарная внешняя сила равна нулю — это универсальный подход для анализа столкновений.
Различайте упругие столкновения (сохраняется кинетическая энергия) и неупругие (кинетическая энергия уменьшается); в абсолютно неупругом столкновении тела слипаются и движутся с одной скоростью.
Примените закон сохранения к каждому компоненту (x и y) отдельно в 2-D.
Связь с центром масс: полный импульс $=M\vec v_{cm}$.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
