Сопротивляющиеся силы
| English | Русский |
|---|---|
| resistive force/rɪˈzɪstɪv fɔːs/ | сопротивляющая сила |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
| terminal velocity/ˈtɜːmɪnl vəˈlɒsɪti/ | terminal velocity |
Почему парашютист перестает ускоряться
- Прыжок с парашютом вызывает ускорение — но не бесконечное.
- Сопротивление воздуха растет вместе со скоростью падения, пока не уравновесит гравитацию.
- После этого падение становится равномерным, достигнув terminal velocity.
- Для понимания этого требуется сила, растущая со скоростью, и немного математического анализа.
Сила сопротивления
- Сопротивляющая сила (сопротивление воздуха, лобовое сопротивление) противодействует движению через жидкость.
- В отличие от трения, она возрастает с ростом скорости -- чем быстрее движение, тем сильнее сопротивление.
- В состоянии покоя сопротивления нет совсем; на высокой скорости оно может быть огромным.
Сопротивляющаяся сила увеличивается по мере роста скорости объекта.
В отличие от обычного трения, сопротивление увеличивается с ростом скорости — именно поэтому оно может в итоге уравновесить гравитацию.
Моделирование сопротивления
- Сопротивление часто моделируют как пропорциональное скорости, $F = -bv$, или квадрату скорости, $F = -cv^2$.
- Знак минус означает, что сила всегда направлена противоположно движению.
- Применение $\sum F = ma$ дает дифференциальное уравнение для скорости.
Применение второго закона Ньютона к зависимости силы сопротивления от скорости дает ____ уравнение для v(t).
$m\,dv/dt = mg - bv$ является дифференциальным уравнением, решение которого показывает, как скорость v приближается к конечной.
Терминальная скорость
- По мере ускорения сопротивление растет до тех пор, пока не уравновесит движущую силу (тяжесть).
- Тогда результирующая сила становится равной нулю, ускорение прекращается, и скорость стабилизируется.
- Эта постоянная предельная скорость называется терминальной скоростью.
Сопротивляющиеся силы и терминальная скорость
По мере ускорения падающего тела сопротивление растет, пока не уравновесит вес, и тело перестает ускоряться.
При конечной скорости ускорение объекта равно...
Сила сопротивления воздуха уравновешивает гравитацию, поэтому результирующая сила — и ускорение — равны нулю.
Приближение к пределу
- Решение задачи для $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv$ показывает, что $v$ поднимается плавно к значению $v_t = mg/b$.
- Она становится все ближе, но никогда не превышает его.
- Именно поэтому скорость парашютиста выходит на плато вместо того, чтобы расти безгранично.
Тело весом $mg = 60\ \text{N}$ падает с сопротивлением $F = -bv$, где $b = 3\ \tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$. Найдите его терминальную скорость (в м/с).
При терминальной скорости $mg = bv_t$, следовательно $v_t = 60/3 = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Выберите все верные утверждения о конечной скорости.
Сопротивление действует на всем пути. Конечная скорость — это лишь момент, когда оно становится достаточным для компенсации гравитации.
При том же коэффициенте сопротивления $b$ более тяжелый объект имеет конечную скорость, которая...
$v_t = mg/b$ растет вместе с массой, поэтому более тяжелый объект падает быстрее при максимальной скорости.
Падающий объект массой $m$ испытывает сопротивление $F = -bv$.
- Терминальная скорость достигается там, где $\dfrac{dv}{dt} = 0$, следовательно, $mg = b v_t$.
- Решая, получаем $v_t = \dfrac{mg}{b}$ -- более тяжелые объекты или меньшее сопротивление означают более высокую предельную скорость.
Терминальная скорость — это не момент, когда появляется сопротивление: оно действует на всем пути вниз. Это особая скорость, при которой сопротивление вырастает достаточно, чтобы компенсировать гравитацию. Ниже этой скорости объект все еще ускоряется (просто всё меньше и меньше).
Сопротивляющая сила возрастает со скоростью ($F = -bv$ или $-cv^2$), поэтому $\sum F = ma$ превращается в дифференциальное уравнение. По мере роста скорости сопротивление нарастает до тех пор, пока не компенсирует гравитацию — результирующая сила достигает нуля на терминальной скорости $v_t = mg/b$, к которой объект стремится плавно, но никогда не превышает.