Брусок скользит в пружину и сжимает её до остановки. Как сильно сожмется пружина? Попробуйте решить это с помощью кинематического уравнения. Вы не сможете — сила растет…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
3.1
Translational Kinetic Energy · Трансляционная кинетическая энергия
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 3.1.A: Describe the translational kinetic energy of an object in terms of the object's mass and velocity.
3.1.A.1 An object's translational kinetic energy is given by the equation
Equation:$K = \dfrac{1}{2}mv^2$
3.1.A.2 Translational kinetic energy is a scalar quantity.
3.1.A.3 Different observers may measure different values of the translational kinetic energy of an object, depending on the observer's frame of reference.
Русский
Цель обучения 3.1.A: Описать поступательную кинетическую энергию объекта с точки зрения массы и скорости этого объекта.
3.1.A.1 Поступательная кинетическая энергия объекта задается уравнением
Уравнение:$K = \dfrac{1}{2}mv^2$
3.1.A.2 Поступательная кинетическая энергия является скалярной величиной.
3.1.A.3 Разные наблюдатели могут измерять различные значения поступательной кинетической энергии объекта в зависимости от системы отсчета наблюдателя.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Kinetic energy 动能 is the energy of motion, a scalar 标量 measured in joules 焦耳 (J):
$$K=\tfrac{1}{2}mv^2.$$
It grows with the square of speed – doubling the speed quadruples $K$. One subtlety worth knowing: kinetic energy depends on the observer's reference frame 参考系. A passenger walking down a train has a small $K$ measured inside the train and a huge one measured from the ground – both observers are right, each in their own frame.
Русский
Кинетическая энергия — это энергия движения, скалярная величина, измеряемая в джоулях (Дж):
$$K=\tfrac{1}{2}mv^2.$$
Она растет пропорционально квадрату скорости — удвоение скорости увеличивает $K$ в четыре раза. Важный нюанс: кинетическая энергия зависит от системы отсчета наблюдателя. Пассажир, идущий по вагону поезда, имеет малую $K$, измеренную внутри поезда, и огромную энергию, измеренную с земли — оба наблюдателя правы, каждый в своей системе отсчета.
3.2
Work · Работа
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 3.2.A: Describe the work done on an object or system by a given force or collection of forces.
3.2.A.1 Work is the amount of energy transferred into or out of a system by a force exerted on that system over a distance.
3.2.A.1.i The work done by a conservative force exerted on a system is path-independent and only depends on the initial and final configurations of that system.
3.2.A.1.ii The work done by a conservative force on a system—or the change in the potential energy of the system—will be zero if the system returns to its initial configuration.
3.2.A.1.iii Potential energies are associated only with conservative forces.
3.2.A.1.iv The work done by a nonconservative force is path-dependent.
3.2.A.1.v The most common nonconservative forces are friction and air resistance.
3.2.A.2 Work is a scalar quantity that may be positive, negative, or zero.
3.2.A.3 The work done on an object by a variable force is calculated using
Equation:$W = \displaystyle\int_a^b \vec{F}(r) \cdot d\vec{r}$, where the integral is taken over the path from point $a$ to point $b$.
3.2.A.3.i The dot product between two vectors, $\vec{A}$ and $\vec{B}$, results in a scalar quantity of magnitude $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$.
3.2.A.3.ii Only the component of the force exerted on a system that is parallel to the displacement of the point of application of the force will change the system's total energy.
3.2.A.3.iii If the component of the force exerted on a system that is parallel to the displacement is constant, the work done on the system by the force is given by the derived equation $W = F_{\parallel}d = Fd\cos\theta$.
3.2.A.3.iv The component of the force exerted on a system perpendicular to the direction of the displacement of the system's center of mass can change the direction of the system's motion without changing the system's kinetic energy.
3.2.A.4 The work–energy theorem states that the change in an object's kinetic energy is equal to the sum of the work (net work) being done by all forces exerted on the object.
Equation:$\Delta K = \displaystyle\sum W_i = \sum F_{\parallel,i}\, d_i$
3.2.A.4.i An external force may change the configuration of a system. The component of the external force parallel to the displacement times the displacement of the point of application of the force gives the change in kinetic energy of the system.
3.2.A.4.ii If the system's center of mass and the point of application of the force move the same distance when a force is exerted on a system, then the system may be modeled as an object, and only the system's kinetic energy can change.
3.2.A.4.iii The energy dissipated by friction is typically equated to the force of friction times the length of the path over which the force is exerted.
3.2.A.5 Work is equal to the area under the curve of a graph of $F_{\parallel}$ as a function of displacement.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to analyze the transfer of mechanical energy, although students should be aware that mechanical energy may be dissipated in the form of thermal energy or sound.
Русский
Цель обучения 3.2.A: Описать работу, совершаемую над объектом или системой данной силой или совокупностью сил.
3.2.A.1 Работа — это количество энергии, переданное в систему или из нее силой, действующей на эту систему на определенном расстоянии.
3.2.A.1.i Работа консервативной силы, действующей на систему, не зависит от пути и определяется только начальным и конечным состояниями этой системы.
3.2.A.1.ii Работа консервативной силы над системой — или изменение потенциальной энергии системы — будет равно нулю, если система возвращается в свое начальное состояние.
3.2.A.1.iii Потенциальные энергии связаны исключительно с консервативными силами.
3.2.A.1.iv Работа неконсервативной силы зависит от пути.
3.2.A.1.v Наиболее распространенными неконсервативными силами являются трение и сопротивление воздуха.
3.2.A.2 Работа — это скалярная величина, которая может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
3.2.A.3 Работа, совершенная над объектом переменной силой, вычисляется с помощью
Уравнение:$W = \displaystyle\int_a^b \vec{F}(r) \cdot d\vec{r}$, где интеграл берется по траектории от точки $a$ до точки $b$.
3.2.A.3.i Скалярное произведение двух векторов, $\vec{A}$ и $\vec{B}$, дает скалярную величину величиной $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$.
3.2.A.3.ii Только составляющая силы, действующей на систему, параллельная перемещению точки приложения силы, изменяет полную энергию системы.
3.2.A.3.iii Если составляющая силы, действующей на систему, параллельная перемещению, постоянна, то работа, совершенная над системой этой силой, задается выведенным уравнением $W = F_{\parallel}d = Fd\cos\theta$.
3.2.A.3.iv Составляющая силы, действующей на систему, перпендикулярная направлению перемещения центра масс системы, может изменить направление движения системы, не изменяя ее кинетическую энергию.
3.2.A.4 Теорема о кинетической энергии гласит, что изменение кинетической энергии объекта равно сумме работ (суммарной работе), совершаемых всеми силами, действующими на объект.
Уравнение:$\Delta K = \displaystyle\sum W_i = \sum F_{\parallel,i}\, d_i$
3.2.A.4.i Внешняя сила может изменить конфигурацию системы. Произведение компоненты внешней силы, параллельной перемещению, на перемещение точки приложения силы дает изменение кинетической энергии системы.
3.2.A.4.ii Если центр масс системы и точка приложения силы перемещаются на одинаковое расстояние при действии силы на систему, то систему можно моделировать как объект, и может изменяться только кинетическая энергия системы.
3.2.A.4.iii Энергия, рассеиваемая трением, обычно приравнивается к силе трения, умноженной на длину пути, на котором эта сила действует.
3.2.A.5 Работа равна площади под кривой графика зависимости $F_{\parallel}$ от перемещения.
Граничное утверждение: AP Physics C: Mechanics требует от студентов только анализа передачи механической энергии, хотя студенты должны знать, что механическая энергия может рассеиваться в виде тепловой энергии или звука.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Work 功 is energy transferred into or out of a system by a force acting over a distance. For a variable force it is an integral 积分 along the path:
For a constant force this reduces to $W=Fd\cos\theta$; on a force–position graph, work is the area under the curve. Work is a scalar with a sign, and the sign is physics, not bookkeeping:
Positive – force has a component along the motion (it speeds the object up).
Negative – force opposes the motion (friction 摩擦力 and air drag do negative work).
Zero – force perpendicular to the motion (the normal force 法向力 on a sliding block, gravity on a horizontal move, tension in a circular swing).
The work–energy theorem 动能定理 collects every force's contribution: the net work equals the change in kinetic energy,
$$W_{\text{net}}=\sum W_i=\Delta K.$$
Worked example. A variable force $F(x)=3x^2\ \text{N}$ (along the motion) acts from $x=0$ to $x=2\ \text{m}$: $W=\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=\big[x^3\big]_0^2=8\ \text{J}$. Acting alone on a body starting from rest, it would raise the kinetic energy to exactly $8\ \text{J}$.
Русский
Работа — это энергия, передаваемая в систему или из нее под действием силы на определенном расстоянии. Для переменной силы это интеграл вдоль траектории:
Для постоянной силы это сводится к $W=Fd\cos\theta$; на графике зависимости силы от координаты работа равна площади под кривой. Работа — скалярная величина со знаком, и этот знак имеет физический смысл, а не является просто бухгалтерским учетом:
Положительная — сила имеет компоненту вдоль движения (она ускоряет тело).
Отрицательная — сила противодействует движению (трение и сопротивление воздуха совершают отрицательную работу).
Нулевая — сила перпендикулярна движению (сила реакции опоры на скользящий блок, гравитация при горизонтальном перемещении, натяжение при круговом качании).
Только компонента силы вдоль перемещения совершает работу
Теорема о работе и энергии объединяет вклад каждой силы: полная работа равна изменению кинетической энергии,
$$W_{\text{net}}=\sum W_i=\Delta K.$$
Разобранная задача. Переменная сила $F(x)=3x^2\ \text{N}$ (вдоль движения) действует от $x=0$ до $x=2\ \text{m}$: $W=\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=\big[x^3\big]_0^2=8\ \text{J}$. Действуя самостоятельно на тело, начинающее движение из состояния покоя, она увеличила бы его кинетическую энергию ровно до $8\ \text{J}$.
Learning Objective 3.3.A: Describe the potential energy of a system.
3.3.A.1 A system composed of two or more objects has potential energy if the objects within that system only interact with each other through conservative forces.
3.3.A.2 Potential energy is a scalar quantity associated with the position of objects within a system.
3.3.A.3 The definition of zero potential energy for a given system is a decision made by the observer considering the situation to simplify or otherwise assist in analysis.
3.3.A.4 The relationship between conservative forces exerted on a system and the system's potential energy is
Equation:$\Delta U = -\displaystyle\int_a^b \vec{F}_{cf}(r) \cdot d\vec{r}$
3.3.A.5 The conservative forces exerted on a system in a single dimension can be determined using the slope of the system's potential energy with respect to position in that dimension; these forces point in the direction of decreasing potential energy.
Equation:$F_x = -\dfrac{dU(x)}{dx}$
3.3.A.6 Graphs of a system's potential energy as a function of its position can be useful in determining physical properties of that system.
3.3.A.6.i Stable equilibrium is a location at which a small displacement in an object's position results in a force exerted on the object opposite to the direction of the small displacement, accelerating the object back toward the equilibrium position.
3.3.A.6.ii Unstable equilibrium is a location at which a small displacement in an object's position results in a force exerted on the object in the same direction as the small displacement, accelerating the object away from the equilibrium position.
3.3.A.6.iii In a given dimension, stable equilibrium positions exist at locations where the potential energy as a function of position in that dimension has a local minimum.
3.3.A.6.iv In a given dimension, unstable equilibrium positions occur at locations where the potential energy as a function of position in that dimension has a local maximum.
3.3.A.7 The potential energy of common physical systems can be described using the physical properties of that system.
3.3.A.7.i The elastic potential energy of an ideal spring is given by the following equation, where $\Delta x$ is the distance the spring has been stretched or compressed from its equilibrium length.
Equation:$U_s = \dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$
3.3.A.7.ii The general form for the gravitational potential energy of a system consisting of two approximately spherical distributions of mass (e.g., moons, planets, or stars) is given by the equation
Equation:$U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
3.3.A.7.iii Because the gravitational field near the surface of a planet is nearly constant, the change in gravitational potential energy in a system consisting of an object with mass $m$ and a planet with gravitational field of magnitude $g$ when the object is near the surface of the planet may be approximated by the equation
Equation:$\Delta U_g = mg\Delta y$
3.3.A.8 The total potential energy of a system containing more than two objects is the sum of the potential energy of each pair of objects within the system.
Русский
Цель обучения 3.3.A: Описать потенциальную энергию системы.
3.3.A.1 Система, состоящая из двух или более объектов, обладает потенциальной энергией, если объекты внутри этой системы взаимодействуют друг с другом только через консервативные силы.
3.3.A.2 Потенциальная энергия — это скалярная величина, связанная с положением объектов в системе.
3.3.A.3 Определение нуля потенциальной энергии для данной системы — это решение, принимаемое наблюдателем, рассматривающим ситуацию, для упрощения или иным образом содействия анализу.
3.3.A.4 Связь между консервативными силами, действующими на систему, и потенциальной энергией системы такова:
Уравнение:$\Delta U = -\displaystyle\int_a^b \vec{F}_{cf}(r) \cdot d\vec{r}$
3.3.A.5 Консервативные силы, действующие на систему в одном измерении, могут быть определены с помощью наклона потенциальной энергии системы по положению в этом измерении; эти силы направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии.
Уравнение:$F_x = -\dfrac{dU(x)}{dx}$
3.3.A.6 Графики потенциальной энергии системы как функции ее положения могут быть полезны для определения физических свойств этой системы.
3.3.A.6.i Устойчивое равновесие — это положение, при котором малое смещение объекта вызывает силу, действующую на него в направлении, противоположном малому смещению, ускоряющую объект обратно к положению равновесия.
3.3.A.6.ii Неустойчивое равновесие — это положение, при котором малое смещение объекта вызывает силу, действующую на него в том же направлении, что и малое смещение, ускоряющую объект прочь от положения равновесия.
3.3.A.6.iii В данном измерении положения устойчивого равновесия существуют там, где потенциальная энергия как функция положения в этом измерении имеет локальный минимум.
3.3.A.6.iv В данном измерении положения неустойчивого равновесия возникают там, где потенциальная энергия как функция положения в этом измерении имеет локальный максимум.
3.3.A.7 Потенциальная энергия распространенных физических систем может быть описана с помощью физических свойств этой системы.
3.3.A.7.i Потенциальная энергия упругости идеальной пружины задается следующим уравнением, где $\Delta x$ — расстояние, на которое пружина была растянута или сжата относительно своей длины в состоянии равновесия.
Уравнение:$U_s = \dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$
3.3.A.7.ii Общий вид уравнения для гравитационной потенциальной энергии системы, состоящей из двух приблизительно сферических распределений массы (например, лун, планет или звезд), задается уравнением
Уравнение:$U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
3.3.A.7.iii Поскольку гравитационное поле вблизи поверхности планеты почти постоянно, изменение гравитационной потенциальной энергии в системе, состоящей из объекта массой $m$ и планеты с гравитационным полем модуля $g$, когда объект находится вблизи поверхности планеты, может быть приближенно задано уравнением
Уравнение:$\Delta U_g = mg\Delta y$
3.3.A.8 Полная потенциальная энергия системы, содержащей более двух объектов, равна сумме потенциальных энергий каждой пары объектов внутри системы.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Potential energy 势能 is energy a system stores by the positions of its parts – it exists only for conservative forces 保守力, whose work is path independent. It is defined through work:
$$\Delta U=-\int_a^b\vec{F}\cdot d\vec{r},$$
and you are free to choose where $U=0$ – only changes in $U$ matter, so pick the zero that makes the problem simplest. The standard results:
Gravity near a surface: $\Delta U_g=mg\,\Delta y$.
Gravity in general: $U_g=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}$ (zero at infinite separation).
Spring: $U_s=\tfrac12k(\Delta x)^2$, with $\Delta x$ measured from natural length.
For systems of several objects, add the potential energy of each pair. Turning the definition around, a conservative force is minus the derivative 导数 of its potential energy:
$$F_x=-\frac{dU}{dx}.$$
The force points "downhill" on the $U(x)$ curve. Equilibrium sits where the slope is zero: a minimum is a stable equilibrium 稳定平衡 (displaced, the force pushes back), a maximum is an unstable equilibrium 不稳定平衡 (displaced, the force pushes away).
Worked example. Given $U(x)=2x^3-6x$ (joules), the force is $F=-\dfrac{dU}{dx}=6-6x^2$. Equilibria sit at $F=0$: $x=\pm1$. Since $\dfrac{d^2U}{dx^2}=12x$ is positive at $x=+1$ (a minimum – stable) and negative at $x=-1$ (a maximum – unstable), the two points behave oppositely.
Русский
Потенциальная энергия — это энергия, которую система накапливает за счет положения своих частей — она существует только для консервативных сил, работа которых не зависит от пути. Она определяется через работу:
$$\Delta U=-\int_a^b\vec{F}\cdot d\vec{r},$$
и вы можете свободно выбрать, где $U=0$ — важны только изменения в $U$, поэтому выбирайте ноль там, где решение задачи становится проще всего. Стандартные результаты:
Гравитация вблизи поверхности: $\Delta U_g=mg\,\Delta y$.
Гравитация в общем случае: $U_g=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}$ (ноль на бесконечном удалении).
Пружина: $U_s=\tfrac12k(\Delta x)^2$, где $\Delta x$ измеряется от естественной длины.
Для систем из нескольких объектов сложите потенциальную энергию каждой пары. Перевернув определение, консервативную силу можно выразить как минус производную её потенциальной энергии:
$$F_x=-\frac{dU}{dx}.$$
Сила направлена «вниз» по склону кривой $U(x)$. Равновесие находится там, где наклон равен нулю: минимум — это устойчивое равновесие (при смещении сила возвращает обратно), максимум — неустойчивое равновесие (при смещении сила удаляет дальше).
На кривой потенциальной энергии сила направлена вниз, а E = U обозначает точки разворота
Разобранная задача. Зная $U(x)=2x^3-6x$ (джоули), сила равна $F=-\dfrac{dU}{dx}=6-6x^2$. Точки равновесия находятся при $F=0$: $x=\pm1$. Поскольку $\dfrac{d^2U}{dx^2}=12x$ положительна при $x=+1$ (минимум — устойчиво) и отрицательна при $x=-1$ (максимум — неустойчиво), эти две точки ведут себя противоположным образом.
Explore · Исследовать
Store elastic potential energy in a spring · Сохранить упругую потенциальную энергию в пружине
Stretching a spring stores elastic potential energy$\tfrac12 kx^2$ — the area under the force-extension line. Release it and that energy becomes kinetic. · Растяжение пружины накапливает упругую потенциальную энергию$\tfrac12 kx^2$ — площадь под графиком зависимости силы от удлинения. Освободите её, и эта энергия превратится в кинетическую.
Learning Objective 3.4.A: Describe the energies present in a system.
3.4.A.1 A system composed of only a single object can only have kinetic energy.
3.4.A.2 A system that contains objects that interact via conservative forces or that can change its shape reversibly may have both kinetic and potential energies.
Learning Objective 3.4.B: Describe the behavior of a system using conservation of mechanical energy principles.
3.4.B.1 Mechanical energy is the sum of a system's kinetic and potential energies.
3.4.B.2 Any change to a type of energy within a system must be balanced by an equivalent change of other types of energies within the system or by a transfer of energy between the system and its surroundings.
3.4.B.3 A system may be selected so that the total energy of that system is constant.
3.4.B.4 If the total energy of a system changes, that change will be equivalent to the energy transferred into or out of the system.
Learning Objective 3.4.C: Describe how the selection of a system determines whether the energy of that system changes.
3.4.C.1 Energy is conserved in all interactions.
3.4.C.2 If the work done on a selected system is zero and there are no nonconservative interactions within the system, the total mechanical energy of the system is constant.
3.4.C.3 If the work done on a selected system is nonzero, energy is transferred between the system and the environment.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics expects students to know that mechanical energy can be dissipated as thermal energy or sound by nonconservative forces.
Русский
Цель обучения 3.4.A: Описать энергии, присутствующие в системе.
3.4.A.1 Система, состоящая только из одного объекта, может иметь только кинетическую энергию.
3.4.A.2 Система, содержащая объекты, взаимодействующие через консервативные силы, или способная обратимо изменять свою форму, может иметь как кинетическую, так и потенциальную энергии.
Цель обучения 3.4.B: Описать поведение системы, используя принципы сохранения механической энергии.
3.4.B.1 Механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы.
3.4.B.2 Любое изменение вида энергии внутри системы должно компенсироваться эквивалентным изменением других видов энергии в системе или передачей энергии между системой и окружающей средой.
3.4.B.3 Можно выбрать систему так, чтобы полная энергия этой системы оставалась постоянной.
3.4.B.4 Если полная энергия системы изменяется, это изменение равно энергии, переданной в систему или выведенной из нее.
Цель обучения 3.4.C: Описать, как выбор системы определяет, изменяется ли энергия этой системы.
3.4.C.1 Энергия сохраняется во всех взаимодействиях.
3.4.C.2 Если работа, совершенная над выбранной системой, равна нулю, а внутри системы нет неконсервативных взаимодействий, то полная механическая энергия системы постоянна.
3.4.C.3 Если работа, совершенная над выбранной системой, отлична от нуля, энергия передается между системой и окружением.
Граничное утверждение: AP Physics C: Mechanics ожидает, что студенты будут знать, что механическая энергия может рассеиваться как тепловая энергия или звук под действием неконсервативных сил.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Energy conservation: KE ⇄ PE
Energy is conserved in all interactions – the question is only where it goes. Mechanical energy 机械能 is the sum $E=K+U$. If the external work on a system is zero and nothing inside it acts through nonconservative forces 非保守力, then
$$K_1+U_1=K_2+U_2.$$
When friction or drag act, they convert mechanical energy into thermal energy 热能 ($\Delta E_{\text{mech}}=-F_fd$), and the balance must include that term. If external work is done, the system's total energy changes by exactly the energy transferred: $W_{\text{ext}}=\Delta E_{\text{sys}}$. Choosing the system is choosing the bookkeeping – a single object can only have kinetic energy; include the Earth or the spring and the system can store potential energy too.
A potential-energy graph is a complete motion map: the horizontal line at height $E$ is the total energy, the gap $E-U(x)$ is the kinetic energy at each $x$, and the crossings $E=U$ are the turning points 转折点 where the object momentarily stops and reverses.
Worked example. A $2.0\ \text{kg}$ block slides down a ramp from rest at height $1.5\ \text{m}$, arriving at the bottom at $4.0\ \text{m/s}$. Energy accounting: $mgh=29.4\ \text{J}$ available; $\tfrac12mv^2=16\ \text{J}$ arrives as kinetic energy; so friction converted $29.4-16=13\ \text{J}$ into thermal energy along the way.
Русский
Сохранение энергии: KE ⇄ PE
Энергия сохраняется во всех взаимодействиях — вопрос лишь в том, куда она переходит. Механическая энергия — это сумма $E=K+U$. Если внешняя работа над системой равна нулю и внутри неё не действуют неконсервативные силы, то
$$K_1+U_1=K_2+U_2.$$
Когда действуют трение или сопротивление, они превращают механическую энергию в тепловую энергию ($\Delta E_{\text{mech}}=-F_fd$), и баланс должен включать этот член. Если внешняя работа совершается, полная энергия системы изменяется точно на переданную энергию: $W_{\text{ext}}=\Delta E_{\text{sys}}$. Выбор системы — это выбор бухгалтерского учета — одно тело может иметь только кинетическую энергию; включите Землю или пружину, и система сможет также накапливать потенциальную энергию.
Маятник обменивается гравитационной потенциальной энергией на кинетическую и обратно
График потенциальной энергии представляет собой полную карту движения: горизонтальная линия на высоте $E$ — это полная энергия, зазор $E-U(x)$ — кинетическая энергия в каждой точке $x$, а пересечения $E=U$ — это точки поворота, где тело на мгновение останавливается и меняет направление.
Разобранная задача. Блок массой $2.0\ \text{kg}$ скользит с поверхности наклонной плоскости из состояния покоя с высоты $1.5\ \text{m}$, достигая дна со скоростью $4.0\ \text{m/s}$. Энергетический баланс: доступно $mgh=29.4\ \text{J}$ потенциальной энергии; к основанию приходит кинетическая энергия в размере $\tfrac12mv^2=16\ \text{J}$; следовательно, трение превратило в тепловую энергию на пути вниз величину $29.4-16=13\ \text{J}$.
Аттрацион «горки» обменивается энергией туда-обратно: максимальная (наибольшая PE) на вершине, максимальная скорость (наибольшая KE) на дне
Explore · Исследовать
Watch energy convert as an object falls · Наблюдать за преобразованием энергии при падении объекта
With no friction, mechanical energy is conserved: as an object falls, gravitational potential energy turns into kinetic energy while the total stays fixed. · При отсутствии трения механическая энергия сохраняется: при падении объекта гравитационная потенциальная энергия превращается в кинетическую, тогда как общая остается неизменной.
Learning Objective 3.5.A: Describe the transfer of energy into, out of, or within a system in terms of power.
3.5.A.1 Power is the rate at which energy changes with respect to time, either by transfer into or out of a system or by conversion from one type to another within a system.
3.5.A.2 Average power is the amount of energy being transferred or converted, divided by the time it took for that transfer or conversion to occur.
3.5.A.3 Because work is the change in energy of an object or system due to a force, average power is the total work done, divided by the time during which that work was done.
Equation:$P_{\text{avg}} = \dfrac{W}{\Delta t}$
3.5.A.4 The instantaneous power delivered to an object by a force is given by the equation
Equation:$P_{\text{inst}} = \dfrac{dW}{dt}$
3.5.A.5 The instantaneous power delivered to an object by the component of a constant force parallel to the object's velocity can be described with the derived equation
Цель обучения 3.5.A: Описать перенос энергии внутрь системы, из системы или внутри системы через понятие мощности.
3.5.A.1 Мощность — это скорость изменения энергии по времени, будь то перенос энергии в систему или из нее, либо преобразование одного вида энергии в другой внутри системы.
3.5.A.2 Средняя мощность — это количество переданной или преобразованной энергии, деленное на время, за которое произошло этот перенос или преобразование.
3.5.A.3 Поскольку работа представляет собой изменение энергии объекта или системы под действием силы, средняя мощность равна полной совершенной работе, деленной на время выполнения этой работы.
3.5.A.5 Мгновенная мощность, передаваемая объекту составляющей постоянной силы, параллельной скорости объекта, может быть описана с помощью выведенного уравнения
It measures how fast work is done, not how much. The dot product matters: only the force component along the velocity delivers power.
Worked example. A block released from rest at the top of a frictionless $3.0\ \text{m}$-high ramp reaches the bottom at $v=\sqrt{2gh}=7.7\ \text{m/s}$ (from $mgh=\tfrac12mv^2$). A motor that then drives it at a steady $7.7\ \text{m/s}$ against a $20\ \text{N}$ resistance delivers $P=Fv=20(7.7)\approx150\ \text{W}$.
Worked example. A $1200\ \text{kg}$ car climbs a hill that rises $1.0\ \text{m}$ for every $20\ \text{m}$ of road, at a steady $15\ \text{m/s}$. The engine must supply gravity's power drain: $P=mg\,v\sin\theta=1200(9.8)(15)\big(\tfrac{1}{20}\big)\approx8.8\ \text{kW}$ – before adding air resistance.
Exam skill. Energy FRQs reward the accounting sentence: name your system, state which forces do work on it, and write the balance ($W_{\text{ext}}=\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{thermal}}$) before plugging in numbers. "Friction is present, so mechanical energy is not conserved" is a scored statement.
Русский
Мощность — это скорость передачи энергии, измеряется в ваттах (Вт):
Она показывает, как быстро совершается работа, а не её объём. Важно скалярное произведение: только компонента силы вдоль скорости создаёт мощность.
Мощность — это наклон графика зависимости работы от времени: одна и та же работа за меньшее время означает большую мощность
Разобранный пример. Блок, отпущенный из состояния покоя с вершины рампы высотой $3.0\ \text{m}$ без трения, достигает дна со скоростью $v=\sqrt{2gh}=7.7\ \text{m/s}$ (из уравнения $mgh=\tfrac12mv^2$). Мотор, который затем приводит его в движение с постоянной скоростью $7.7\ \text{m/s}$ против сопротивления $20\ \text{N}$, развивает мощность $P=Fv=20(7.7)\approx150\ \text{W}$.
Разобранный пример. Автомобиль массой $1200\ \text{kg}$ поднимается по холму, который поднимается на $1.0\ \text{m}$ каждые $20\ \text{m}$ дороги, с постоянной скоростью $15\ \text{m/s}$. Двигатель должен компенсировать мощность, расходуемую на преодоление гравитации: $P=mg\,v\sin\theta=1200(9.8)(15)\big(\tfrac{1}{20}\big)\approx8.8\ \text{kW}$ — до учёта сопротивления воздуха.
Навык для экзамена. Развёрнутые вопросы по энергии (FRQ) оценивают предложение-учёт: назовите свою систему, укажите, какие силы совершают работу над ней, и запишите баланс ($W_{\text{ext}}=\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{thermal}}$), прежде чем подставлять числа. Фраза «Присутствует трение, поэтому механическая энергия не сохраняется» является оценочным утверждением.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
